<<
>>

12.2. Вероятностная неопределенность (стохастика)

щих моделей достаточно хорошо разработаны и применяются на практике. Опишем некоторые из таких элементов.

Если случайных параметров много и они взаимосвязаны (например, распределение показателей в некотором году зависит от их значений в предыдущем), то для оценки эффективности обычно используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

При этом наступление или ненаступление тех или иных случайных событий моделируется (на ЭВМ — с помощью датчика случайных чисел). Этим способом можно моделировать параметры проекта, имеющие любое вероятностное распределение, и получить достаточно большое количество возможных сценариев реализации проекта, которые можно считать представительными для всей их совокупности и равновероятными. Тем самым задача сводится к оценке проекта с конечным (но большим) числом равновероятных возможных сценариев.

Возможность сценариев, связанных с какими-либо "сбоями" (авариями и т. п.), обычно моделируется следующим образом. Задается интенсивность сбоев, т.

е. вероятность возникновения сбоя в течение года р. Сбои на разных шагах расчетного периода считаются независимыми. Если нас интересует трлько один, т-й шаг длительностью Ат меньше года, то вероятность сбоя на таком шаге определяется как произведение интенсивности сбоев и длительности шага — рАт. При этом с дополнительной вероятностью сбоя не возникает. Таким образом, если расчетный период заканчивается шагом Т, то вероятность сценария, при котором сбои возникают только на шагах с номерами mv..., mk, а на остальных шагах сбоев нет, может быть рассчитана по формуле произведения вероятностей:

(1 -рд0)....• (1 >рдт, ¦ (1 -рдті+1 >...•

' (l - РЬщ,-і)' рЬщ, ¦ (l - Pbmk+1 )•... • (1" рДг) •

При использовании метода Монте-Карло этой формулой не пользуются, а при каждом статистическом испытании определяют для каждого га-го шага расчетного периода случайное число, равное единице с вероятностью рАт и нулю с дополнительной вероятностью.

Если такое число оказалось равным единице, считается, что на этом шаге произошел сбой, и в соответствии с этим изменяются затраты и результаты проекта. В ряде случаев необходимо учитывать не только саму по себе возможность аварий или стихийных бедствий, но и те потери, к которым они приводят. Такие потери также могут быть рассмотрены как случайные величины, при этом закон их распределения обычно существенно отличается от нормального (некоторые данные, относящиеся к наводнениям, землетрясениям и ураганам, приведены в [50]).

В ситуации, когда цены на какой-либо товар подвержены случайным колебаниям, эти колебания могут быть описаны следующей моделью (модель случайного процесса с независимыми приращениями).

Исходной считается цена товара Ц(0) = Ц(?0) на момент времени 0 — начало расчетного периода1. Колебания цены характеризуются среднеквадратичным колебанием цен за год ст — эта величина (волатильность цен) может быть оценена по ретроспективным данным. Случайные значения цены товара на начало каждого шага расчетного периода определяются исходя из длительности этого шага и значения цены на начало предыдущего шага по формуле

где Ат — длительность т-го шага;

— случайный множитель, имеющий стандартное нормальное распределение.

В случае если цены одних товаров зависят от цен других, то соответствующие случайные множители моделируются с учетом корреляционных связей между ними. Имеются и другие, более сложные, но и более адекватные модели рассмотренного процесса, широко используемые в финансовой математике при решении задач, связанных с покупкой и продажей производных ценных бумаг.

4. Несколько сложнее моделируется ситуация временного снижения спроса на продукцию. Здесь на каждом m-м шаге необходимо задать распределение вероятностей для величины снижения спроса. Это может быть сделано, например, в табличной форме: спрос может не упасть против "нормального" с вероятностью 0,72, упасть на 5% с вероятностью 0,12, на 10% — с вероятностью 0,08 или на 15% — с вероятностью 0,03- Такие распределения могут также задаваться аналитически (или таблично заданные значения могут аппроксимироваться какой-либо зависимостью).

После этого динамика спроса (а следовательно, динамика объема реализации продукции) при каждом статистическом испытании рассчитывается путем моделирования случайных коэффициентов снижения спроса, имеющих указанное распределение. В дальнейшем мы не будем останавливаться на подобных "технических" тонкостях, хотя они имеют большое значение при проведении практических расчетов, — специалисты, хорошо знакомые с методом статистических испытаний, как правило, могут сформировать этим методом необходимый и представительный набор возможных сценариев реализации проекта, а неподготовленным читателям достаточно иметь о нем самое общее представление и знать, что этот метод практически реализуем.

Перейдем теперь к основному вопросу: как устроен здесь критерий ожидаемого эффекта, обеспечивающий рациональное экономическое

' Это ограничение несущественно. Процедура легко модифицируется для случая, когда цепа задана для более раннего момента времени.

поведение инвесторов в условиях вероятностной неопределенности? Этому вопросу посвящена обширная литература, в том числе [82, 106, 124, 133, 156]. Приведем некоторые результаты соответствую-щих исследований, которые могут быть использованы на практике.

Как показывает анализ рационального экономического поведения, "хорошие" критерии ожидаемого эффекта должны удовлетворять трем требованиям, формулировки которых для упрощения изложения мы даем без должной математической строгости.

Непрерывность. При малых изменениях возможных эффектов или вероятностей их осуществления ожидаемый эффект должен меняться мало. Другими словами, близким законам распределения вероятностей эффектов должны отвечать и близкие значения ожидаемого эффекта.

Согласованность. Если при всех сценариях эффект проекта один и тот же, то таким же должен быть и ожидаемый эффект проекта. Эта аксиома обеспечивает согласованность расчетов эффекта при наличии и при отсутствии неопределенности.

Для формулировки следующей аксиомы нам потребуется понятие усреднения.

Пусть имеются два проекта А и Б со случайными эффектами. Реализуем их совместно. При этом будет достигнут некоторый "суммарный" случайный эффект. Разделим его на 2. Величину, которую мы при этом получим, можно трактовать как реализацию случайного эффекта некоторого проекта, являющегося усреднением А и Б. Такой усредненный проект обозначим АоБ.

Инвариантность к усреднению. Если проекты. А и Бравноэффек- тивны, то тот же ожидаемый эффект имеет и проект АоБ.

Оказывается, что этим аксиомам удовлетворяет только критерий математического ожидания:

Э0Ж = Е ІРІ> (12Л>

і

где Эож — ожидаемый интегральный эффект проекта;

Эг — интегральный эффект (ЧДД) при г'-м сценарии;

р{ — вероятность реализации г-го сценария.

*Не претендуя на достаточную математическую строгость, изложим кратко хотя бы общую схему доказательства данного утверждения, приведенную в [101].

"Пусть эффект проекта А — случайная величина, MuD — его математическое ожидание и дисперсия, Э — ожидаемый эффект такого проекта. В силу инвариантности к усреднению тот же ожидаемый эффект будет иметь и проект А1 = АоА. Соответствующая случайная величина равна полусумме двух независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение, и поэтому у нее будет то же математическое ожида- ниеМ, а дисперсия будет в два раза меньше. Аналогично, тот же ожидаемый эффект Э будет и у проекта А2 =А1оА1, которому отвечает случайная величина с тем же математическим ожиданием Ми дисперсией D/4, и т.д. Испсльвуя закон больших чисел, можно доказать, что распределения вероятностей эффекта проектов А рА2г. стремятся к вырожденному распределению сосредоточенному в точке М. Поэтому в силу аксиомы непрерывности распределению 8М отвечает тот же ожидаемый эффект Э. Однако у такого распределения эффект уже не случайный, а детерминированный, и в силу аксиомы согласованности он равен М. Поэтому Э-М, так что ожидаемый эффект проекта А совпадает с математическим ожиданием случайного эффекта этого проекта, я

Тот же критерий математического ожидания получается, если вместо инвариантности к усреднению потребовать выполнения двух других аксиом.

Однородность.

При пропорциональном изменении всех возможных эффектов проекта ожидаемый эффект изменяется во столько же раз.

Аддитивность. Ожидаемый эффект от одновременной реализации независимых проектов равен сумме ожидаемых эффектов этих проектов (ср. п. 2.1.2).

ПРИМЕР 12.4. Пусть имеются всего два сценария реализации проекта — нормальный, в котором эффект проекта равен 100, и аварийный, в котором он оказывается равным -20. Если вероятность нормального сценария равна 0,8, а аварийного, следовательно, 1 - 0,8 = 0,2, то ожидаемый эффект проекта составит 0,8x100 - 0,2x20 = 76.

ПРИМЕР 12.5• Затраты на приобретение машины составляют 50, с ее помощью ежегодно производится продукция стоимостью 62, при этом годовые затраты по эксплуатации машины (без амортизации, но с учетом налогов) составляют 47. Кроме того, один раз в 3 года проводится капитальный ремонт машины стоимостью 21. Срок службы машины — случайный. Он может составлять 2, 3 или 4 межремонтных цикла (6, 9 или 12 лет) с вероятностями соответственно 0,3; 0,4 и 0,3. Норма дисконта составляет 0,09Определим теперь интегральные эффекты приобретения машины (Э^) по трем возможным сценариям. При этом предполагаются равномерное поступление доходов и осуществление текущих расходов в каждом году, затраты на приобретение и ремонт относятся к началу соответствующего года. Приведение затрат и поступлений производится к моменту приобретения машины. Учитывая, что равномерным денежным потокам в соответствии с формулой (7.4) отвечает коэффициент распределения 0,958, а в году, когда ремонт не производится, сальдо денежных поступлений равно 62 - 47 = 15, для сценария 1 имеем

Для сценария 2 к этому выражению добавляются дополнительные затраты на второй ремонт и доходы в последующем межремонтном цикле:

„ „ 15x0,958-21 15x0,958 15x0,958 ,,1Q .л, н т 1 =j 1 g— = 1 о.

1,09 1,09 1,09

„ _ 15x0,958-21 15x0,958 15x0,958

Аналогично Э,-Э, + 5 + г^— + п— = 23,77.

5 1,09 1,09 1,09й

Таким образом, ожидаемый эффект составит Эож = 4,06x0,3 + 15,18x0,4 + + 23,77x0,3 = 14,42.

В то же время средний срок службы машины равен 6x0,3 + 9x0,4 + 12x0,3 = 9 лет. Таким образом, при случайном сроке службы оборудования ожидаемый эффект не совпадает с эффектом, исчисленным при среднем сроке службы этого оборудования, — это обсто-ятельство носит общий характер и применимо не только к сроку службы, но и к почти любому техническому или экономическому параметру проекта.

ПРИМЕР 12.6 [143]. Необходимо надстроить плотину, защищающую от наводнения некоторый регион. Требуется определить оптимальную высоту Н этой надстройки. В настоящее время плотина имеет определенную высоту, и ей отвечает некоторая вероятность (р0) того, что максимальный в течение года уровень воды будет выше. На основе гидрологических исследований можно заключить, что по мере повышения высоты плотины эта вероятность будет экспоненциально снижаться и при высоте Н составит р{Н)= p0e~qH, где q — гидрологический параметр. Продолжительность строительства плотины принимается равной 1 году. Инвестиционные затраты К(Н) на надстройку зависят от высоты, причем нелинейно, поскольку с увеличением высоты необходимо расширять основание. Однако в рассматриваемом диапазоне высот эту зависимость можно аппроксимировать линейной (т. е. разделить инвестиции на условно-постоянные и пропорциональные высоте): К(Н) = KQ + kli.

Расчет производится путем минимизации затрат и потерь, связан-ных с реализацией проекта (т. е. результаты проекта оцениваются снижением потерь). Принимается, что если в некотором году максимальный уровень воды был ниже верхнего края плотины, то какие-либо потери отсутствуют (затратами на содержание плотины пренебрегаем). В противном случае происходит наводнение и имеют место потери, величина которых пропорциональна стоимости имущества, размещенного в регионе. На момент начала проекта эти потери оценены величиной Y. В последующие годы по мере экономического развития региона стоимость имущества, а стало быть, и размер потерь будут возрастать. Принимается, что такой рост равен 100g % в год, таким образом, если наводнение произойдет в т-м году, то потери составят У(1 +g)m. Считая срок службы плотины бесконечно большим, определим ожидаемое значение указанных потерь при социальной норме дисконта Е:

= Ур0(н)

р0Щ)У(i + g)'

(1 + Е)т

Для нахождения оптимальной высоты надстройки плотины сопоставим затраты и результаты по проекту. Если учесть в затратах только инвестиции К(Н) в плотину, а результаты оценить как уменьшение ожидаемых потерь региона по сравнению с вариантом, когда плотина не надстраивается и вероятность наводнений остается прежней, получаем: Эож = У[ро (0)- р0 (яЯ-iiS--К(Н)= YPo (l - -K0-kH.

E-g

E-g При оптимальном Н производная этого выражения должна обратиться id"

q [ k(E-g)

в нуль. Простые вычисления приводят к формуле Н = Таким образом, высота плотины возрастает при увеличении возможного ущерба при наводнении, темпа его роста и вероятности наводнения в настоящее время что согласуется со здравым смыслом. Зависимость от гидрологического параметра q более сложная. При очень малых q эта формула приводит к отрицательным Я, так что оптимум на самом деле достигается, если плотину не наращивать, ибо это не дает существенного снижения вероятности наводнения. Если же q велико, то формула приводит к малым значениям высоты, поскольку даже при небольшой надстройке вероятность наводнения резко снижается.

Выше уже отмечалось, что одним из направлений снижения риска является получение дополнительной информации о параметрах проекта или его внешней среды. В этой связи интерес представляет вопрос о выявлении условий, при которых оказывается выгодным приобретение такой дополнительной информации. По этому поводу в [63] дается такая рекомендация: приобретение дополнительной информации целесообразно, если ее стоимость С не превышает "среднего риска", рассчитываемого по формуле ^pj (втах ~ Вгде В- — выигрыш от реализации проекта при у'-м сценарии; Вт2х — максимальный из выигрышей Bj. Обоснованность такой рекомендации обсуждается в следующем примере.

ПРИМЕР 12.7. Фирма хочет реконструировать цех, заменив оборудование новым. Эффект реконструкции зависит от технического параметра z (например, от производительности оборудования). Величина z может меняться от 10 до 20, ее распределение в этом интервале предполагается равномерным. При z = 20 реконструкция дает эффект 600, при z = 10 — отрицательный эффект -400. При других значениях z эффект изменяется по линейному закону: Э = 100 (z - 14). Предлагается провести НИОКР, которые позволят определить неизвестный параметр z точно. В соответствии с указанной рекомендацией затраты на НИОКР оправданны, если их стоимость будет меньше математического ожидания разности 600 - Э = 100(20 - z). В данном примере математическим ожиданием z будет 15, так что средний риск составит 500 и при С < 500 в соответствии с рекомендацией [63] проведение НИОКР следует считать целесообразным. Проверим это при С = 450.

Заметим вначале, что мы имеем дело с двумя проектами: проект А предусматривает реконструкцию без проведения НИОКР, а проект Б — по результатам НИОКР. При этом эффект проекта А равномерно распределен в пределах от 600 до -400, и поэтому ожидаемый эффект этого проекта будет равен (600 - 400)/2 = 100. Оценим теперь ожидаемый эффект проекта Б. Пусть НИОКР проведены и неизвестное z определено. При этом возможны два случая:

z > 14. Вероятность такого исхода НИОКР равна, очевидно, (20 - -14)/(20 - 10) = 0,6. При этом реконструкция оказывается эффективной и фирма станет ее осуществлять. Математическое ожидание эффекта, который будет получен, определится средним значением z в соот-ветствующем интервале и составит 100х(20 - 17) = 300.

z < 14. В этом случае фирма убедится, что реконструкция цеха невыгодна, и откажется от нее, получив нулевой эффект.

Таким образом, средний эффект, который может быть получен фирмой после проведения НИОКР, если определять его в момент заказа такой работы, будет 0,6x300 + 0,4x0 = 180. Из этой суммы надо вычесть затраты на НИОКР, равные 450, после чего получаем ожидаемый эффект проекта Б: 180 - 450 = -270. Как видим, проект Б оказывается для фирмы менее эф-фективным, чем А (отказ от проведения НИОКР). Чтобы проведение НИОКР было выгодным, надо, чтобы проект Б был эффективнее, чем А Это произойдет, если 180 - С > 100, т. е. когда стоимость НИОКР меньше 80. Как видим, приведенная выше рекомендация завышает предельную границу для стоимости дополнительной информации на порядок

Несмотря на широкое распространение, критерий математического ожидания вызывает резкие возражения ряда экономистов, поскольку он не учитывает разброс эффекта относительно своего среднего значения. В частности, периодически появляются предложения исчислять показатель ожидаемого эффекта по формуле: М - kd, где М —- математическое ожидание эффекта; d — его среднеквадратичное отклонение; k — некоторый постоянный коэффициент. На первый взгляд формула представляется разумной — неопределенность эффекта учтена в ней путем уменьшения ожидаемого эффекта на величину, пропорциональную среднему разбросу возможных эффектов. Однако легко убедиться, что применение этой формулы может привести к абсурдным результатам.

1. Пусть возможны всего два сценария реализации проекта, причем в первом из них (имеющем вероятность р) эффект проекта нулевой, а во втором (имеющем вероятность 1 - р) — равен единице. Ясно, что такой проект эффективен (в результате его реализации заведомо не возникает убытков, а с некоторой вероятностью инвестор получает положительный доход). Однако если вероятностьр достаточно мала, то для этого проекта имеем: M-kd = p-k^jp(\-p) < О, вследствие чего эффективный проект будет оценен как неэффективный.

Пусть, например, k = 0,5 и есть всего четыре возможных сценария реализации проекта, имеющих вероятности соответственно 0,1; 0,4; 0,2 и 0,3. Эффект проекта при этих сценариях равен соответственно 10, 12,14 и 22. Легко проверить, что здесь М — kd = -2,29. Если улучшить проект так, чтобы его эффект при последнем сценарии увеличился до 23, то величина М - kd уменьшится до -2,51. Кстати, о некорректности данного метода свидетельствует и тот факт, что ожидаемый эффект проекта здесь отрицателен, хотя все возможные значения эффекта проекта положительны.

Эффекта проекта положителен и имеет экспоненциальное распределение с плотностью где К > 5/k2. Однако рассматриваемая формула дает отрицательное значение ожидаемого эффекта: М - kd = т- ъ к

- < 0. Более того, разделив любой возможный эффект проекта попо•V К

лам, мы получим менее эффективный проект, тогда как величина М — kd при этом возрастет

Подчеркнем, что такое противоречие не случайно — такого рода примеры построены в [110] для любых формул, включающих математическое ожидание эффекта, его среднеквадратичное отклонение или любые другие аналогичные характеристики разброса эффекта .

При использовании критерия математического ожидания риск неэффективности проекта (РН) и средний ущерб от реализации проекта в случае его неэффективности (УН) определяются по формулам:

РН = 5>у; ш = С12-2)

где суммирование ведется только по тем j-м сценариям, для которых интегральные эффекты Э^ отрицательны.

Зная ожидаемый эффект Эож, можно оценить и размер премии (g) за риск неполучения доходов, предусмотренных основным (с номером j =1) сценарием проекта. Действительно, если мы применяем метод оценки ожидаемого эффекта и используем при этом безрисковую норму дисконта Е, то ожидаемый эффект проекта оказывается равным Э0Ж(Е). Если же мы ограничиваемся только базовым сценарием проекта, то при норме дисконта Е его "обычный" эффект составит Э} (Е). Если мы хотим не ошибиться в оценке эффективности проекта, ограничившись расчетом только базового сценария, то его эффект надо определять при иной норме дисконта (Е + g), включающей премию за риск. При этом должен быть получен тот же самый результат. Отсюда следует, что "подходящий" размер премии за риск определяется из уравнения Эож(Е) = Эг(Е + g). В этом случае средние потери от неполучения предусмотренных базовым сценарием доходов при неблагоприятных сценариях покрываются средним выигрышем от получения более высоких доходов при благоприятных сценариях .

Обратим внимание, что при изложенной схеме устойчивость проекта характеризуется дополнительными показателями РН и УН. Этот набор показателей не единственный — наряду с ним в литературе можно встретить и другие. Однако все подобные показатели следует рассматривать как характеристики устойчивости, а не эффективности проекта. Подробное описание практического опыта применения различных показателей к оценке устойчивости проектов в нефтяной промышленности с точки зрения инвестора и государства содержится в [121]. В этой работе показывается, в частности, как влияют на устойчивость проекта система налогообложения и механизм распределения добываемой нефти между инвестором и государством в случае, если проект реализуется на основе соглашения о разделе продукции.

Обоснование критерия математического ожидания, основанное на несколько иной Системе аксиом, содержится в [106]. Этот критерий, по нашему мнению, применим на практике в случаях, когда колебания параметров проекта обусловлены повторяющимися природными или технологическими процессами, о протекании которых имеется достаточная статистическая информация, позволяющая считать такие процессы случайными и оценить их вероятностные характеристики. В частности, этим методом может оцениваться эффективность проектов:

создания или реконструкции систем массового обслуживания;

реализация которых определяется природно-климатическими или горно-геологическими условиями или сопряжена с риском отказа технологического оборудования, могущим повлечь за собой значительные негативные последствия и/или потребовать значительных затрат на устранение последствий отказа;

существенно зависящих от непрерывно меняющихся случайных параметров (например, от темпов роста цен) — в этих случаях формула математического ожидания применяется к непрерывным вероятностным распределениям, а расчеты обычно выполняются аналитически.

Рассматривая показатель ожидаемого эффекта как критериальный, в соответствии с ним можно корректно определить ожидаемые значения и других показателей эффективности. В частности:

ожидаемый срок окупаемости определяется как срок, начиная с которого математическое ожидание накопленной суммы чистых доходов становится и остается положительным;

ожидаемый индекс доходности инвестиций определяется как отношение математических ожиданий интегральных чистых доходов и инвестиций;

ожидаемая внутренняя норма доходности определяется как такая норма дисконта, при которой ожидаемый интегральный эффект обращается в нуль (это определение может быть перенесено и на другие типы неопределенности, для которых определен показатель ожидаемого интегрального эффекта). Поэтому ожидаемая ВНД может быть рассчитана как ВНД денежного потока, сформированного на базе математических ожиданий поступлений и расходов. В общем случае она не совпадает с математическим ожиданием случайной ВНД.

'Критикуя использование математического ожидания эффекта в качестве критерия эффективности, многие авторы отмечают, что он плохо учитывает риск, связанный с отклонениями (разбросом) эффекта от его среднего значения. Конкретно это выражается в том, что одинаковые по величине, но противоположные по знаку отклонения при использовании этого способа расчета взаимно погашаются, в то время как для субъекта они могут иметь разную значимость (подобное явление характеризуется обычно как склонность или несклонность субъекта к риску). Учет разброса оказывается возможным, если ослабить требование инвариантности к усреднению.

Для формулировки альтернативной аксиомы нам потребуется понятие смеси. Рассмотрим два проекта А и Б, каждый из которых характеризуется случайными результатами. Возьмем несимметричную монету, выпадающую "орлом" с вероятностью р, и бросим ее. После этого будем реализовать проект А, если монета выпадет "орлом", и проект Б в противном случае. Такой "сложный" проект, имеющий, очевидно, случайные результаты, называется смесью проектов А и Б.

Потребуем теперь, чтобы критерий ожидаемого эффекта помимо аксиом непрерывности и согласованности удовлетворял трем следующим.

Монотонность Увеличение возможных результатов и/или уменьшение возможных затрат хотя бы при одном сценарии не уменьшает ожидаемого эффекта.

Независимость от дополнительных проектов. Пусть один проект не менее эффективен, чем второй, а третий проект не зависит ни

от первого, ни от второго . Тогда совместная реализация первого и третьего проектов не менее эффективна, чем совместная реализация второго и третьего.

Сильная инвариантность к смешиванию. Если проекты А и Б равноэффективны, то и смеси этих проектов с любым проектом В тоже равноэффективны.

Можно доказать (см. [108, 110]), что помимо критерия математического ожидания этим аксиомам удовлетворяют только предложенные П. Массе [69] критерии вида цЭ,Г

(12.3)

Э„ж = —In ож ц При этом положительные значения ц отвечают ситуации, когда экономический субъект не склонен к риску и оценивает случайное уменьшение эффекта выше, чем такое же по величине случайное его увеличение, а отрицательные ц отвечают обратной ситуации (несклонности к риску). Критерий математического ожидания является предельным случаем критерия Массе при JJ.—>0. Интересно отметить, что в частном случае, когда эффект проекта — случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением М и дисперсией S, критерий Массе принимает (раскритикованный ранее) вид: М - \iS/2. Однако такое совпадение имеет место только в исключительных ситуациях.

Сравним критерий Массе с критерием математического ожидания.

ПРИМЕР 12.8. Пусть при нормальном сценарии (вероятность 0,6) эффект проекта равен 30, а при "аварийном" (вероятность 0,4) он отрицателен и равен -10. Математическое ожидание эффекта равно здесь 0,6x30 - 0,4x10 = 14. Пусть ц = 0,05. Тогда ожидаемый эффект, рассчитанный по формуле Массе, будет равен

г-1п(о,6е"0'05*30 + 0,4е°'05х10)= 4,63.

0,05

Таким образом, оценка проекта стала значительно менее оптимистичной.

Если имеются основания считать, что интересам инвестора в части учета неопределенности отвечает критерий Массе, то при оценке эффективности его участия в конкретном проекте А возникает необходимость оценить соответствующее значение параметра "несклонности к риску" ц. В этих целях можно использовать следующий прием. Предъявим инвестору, например, следующую совокупность проектов:

• проект Bj, в результате которого инвестор совершенно достоверно получает доход Ф (размер дохода должен иметь тот же порядок, что и объем инвестиций по проекту А);

проект Б095, обеспечивающий достоверное получение дохода 0,95Ф;

проект Б09, обеспечивающий достоверное получение дохода 0,9Ф;

проект Б005, обеспечивающий достоверное получение дохода 0,0 5 Ф;

проект Б0, обеспечивающий достоверное получение нулевого дохода;

проект В, эффективность которого определяется бросанием монеты: если выпадет "орел", то инвестор получает доход Ф, если "решка" — не получает ничего.

После этого поставим такой вопрос: по сравнению с проектом В проект Bj явно более предпочтителен, а проект Б0 явно менее предпоч-тителен. Какой же из проектов типа Б является для инвестора столь же предпочтительным, что и проект В? Ответ на этот вопрос позволит оценить (с точностью до 0,05) такое значение z, при котором проекты ВИБ2 будут одинаково предпочтительными. Приравнивая ожидаемые эффекты этих проектов, получаем уравнение для определения ц:

^ 1, fl + e-"®

гФ = —In

ц I 2

Решения этого уравнения приведены в следующей таблице: zO 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 цф 13,85 6,92 4,55 3,28 2,44 1,80 1,28 0,82 0,40 0 zO 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 цФ -13,85 -6,92 -4,55 -3,28 -2,44 -1,80 -1,28 -0,82 -0,40 0 При этом положительные значения ц отвечают инвесторам, не склонным к риску, отрицательные — инвесторам, склонным к риску.

Несколько более широкий класс критериев можно получить, заменив требование сильной инвариантности к смешиванию менее ограничительным.

Слабая инвариантность к смешиванию. Если проекты А иБрав- поэффективны, то и любая их смесь имеет тот же ожидаемый эффект.

Как доказано в [108, 110], помимо критериев математического ожидания и критериев вида (12.3) полученной системе аксиом будут удовлетворять и критерии вида

-v3,

МЭ,

\ / -In

In

ІР.е (12.4)

Э =|i + v

иож где (х и v — положительны и отражают предпочтительность для экономического субъекта соответственно положительных и отрицательных отклонений эффекта от среднего значения.

Этот критерий можно рассматривать как обобщенный критерий Массе. Можно проверить, что в случае, когда эффект проекта имеет нормальное распределение со средним значением га и дисперсией S, ожидаемый эффект, исчисленный по этой формуле, будет равен т. - (у - |х)5/2. Это означает, что экономическим субъектам, не склонным к риску, отвечают положительные значения разности v - (д, и наоборот.

ПРИМЕР 12.9¦ Оценим эффективность проекта, рассмотренного в предыдущем примере, по формуле (12.4) при |i = 0,02, v = 0, 05:

_ ln(o,6xe0,02x3° + 0,4 х e~°'02xl 0)- ln(o,6 x e~°'05x3° + 0,4 x g°'05xl 0)

0,02 + 0,05 ' '

Таким образом, учет значимого для экономического субъекта большого положительного отклонения повысил оценку эффективности проекта.

Представляется, что приведенные критерии можно использовать в практических расчетах, однако неясно, как устанавливать входящие в них нормативы |х и v. ¦

<< | >>
Источник: Виленский ПЛ., Лившиц В.Н., Смоляк С.А.. Оценка эффективности инвестиционных проектов. 2002

Еще по теме 12.2. Вероятностная неопределенность (стохастика):

  1. ДИНАМИЧЕСКИЕ И ВЕРОЯТНОСТНО - СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
  2. Стохастики
  3. СТОХАСТИК
  4. ПОДРОБНЕЕ О СТОХАСТИКЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СИЛЕ
  5. ВЫБОР В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
  6. Глава 5. ВЫБОР В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
  7. 19-2. Ограниченность политики активизма в условиях неопределенности
  8. 17.1. Неопределенность качества и рынок «лимонов
  9. 17.1. Неопределенность качества и рынок «лимонов
  10. Тема 12. ЭКОНОМИКА ИНФОРМАЦИИ, НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКАЗАДАНИЯ