<<
>>

ГЛАВА 1ОСНОВНЫЕ понятия. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной ВОЗМОЖНОСТИ этого события.

Вероятность события А обозначаетсяР(Л), Рили р.

Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно должно произойти.

P(tO = i.

Невозможным называется событие V\ которое в результате опыта не может произойти.

P(V) = 0.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

0 < Р(І4) < 1.

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможны, то они называются случаями («шансами»).

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется по формуле

Р(Л) = —,

п

где п — общее число случаев; т — число случаев, благоприятных событию А.

Образуют ли полную группу следующие группы событий:

а) опыт — бросание монеты; события: Ах — появление герба; А2 — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет; события: Вх — появление двух гербов; В2 — появление двух цифр;

в) опыт — два выстрела по мишени; события: А0 — ни одного попадания; Ах — одно попадание; А2 — два попадания;

г) опыт — два выстрела по мишени; события: Сх — хотя бы одно попадание; С2 — хотя бы один промах;

д) опыт — вынимание карты из колоды; события: Dx — появление карты червонной масти; D2 — появление карты бубновой масти; Д> — появление карты трефовой масти?

О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.

Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт — бросание монеты; события: Ах — появление герба; А2 — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет; события: Вх — появление герба на первой монете; В2 — появление цифры на второй монете;

в) опыт — два выстрела по мишени; события: С0 — ни одного попадания; Сх — одно попадание; С2 — два попадания;

г) опыт — два выстрела по мишени; события: Dx — хотя бы одно попадание; D2 — хотя бы один промах;

д) опыт — вынимание двух карт из колоды; события: Ех — появление двух черных карт; Е2 — появление туза; Е3 — появление дамы?

О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.

Являются ли равновозможными следующие события:

а) опыт — бросание симметричной монеты; события: Ах — появление герба; А2 — появление цифры;

б) опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; события: Вх — появление герба; В2 — появление цифры;

в) опыт — выстрел по мишени; события: Сх — попадание; С2 — промах;

г) опыт — бросание двух монет; события: Dx — появление двух гербов; D2 — появление двух цифр; D3 — появление одного герба и одной цифры;

д) опыт — вынимание одной карты из колоды; события: Ех — появление карты червонной масти; Е2 — появление карты бубно-вой масти; Е3 — появление карты трефовой масти;

е) опыт — бросание игральной кости; события: Fx — появление не менее трех очков; F2 — появление не более четырех очков?

О т в е т: а) да; б) нет; в) общем случае нет; г) нет; д) да; е) да.

Являются ли случаями следующие группы событий:

а) опыт — бросание монеты; события: Ах — появление герба; А2 — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет; события: Вх — появление двух гербов; В2 — появление двух цифр; В3 — появление одного герба и одной цифры;

в) опыт — бросание игральной кости; события: Сх — появление не более двух очков; С2 — появление трех или четырех очков; Съ — появление не менее пяти очков;

г) опыт — выстрел по мишени; события: Dx — попадание; D2 — промах;

д) опыт — два выстрела по мишени; события: Е0 — ни одного попадания; Ех — одно попадание; Е2 v— два попадания;

е) опыт — вынимание двух карт из колоды; события: Fx — появление двух красных карт; F2 — появление двух черных карт?

О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) нет.

Приведите примеры:

а) трех событий, образующих группу случаев;

б) трех событий, равновозможных и несовместных, но не образующих полной группы;

в) двух событий, несовместных и образующих полную группу, но не равновозможных;

г) двух событий, равновозможных и образующих полную группу, но совместных.

О т в е т: а) см.

1.4 в); б) см.
1.3 д); в) см. 1.3 в); г) см. 1.3 е).

В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый.

~ а

Ответ. .

а + Ь

В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

~ а - 1

Ответ. .

а + Ъ-1

В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, — тоже белый.

~ а — 1

Ответ. .

а + Ь - 1

Из урны, содержащей а белых и Ъ черных шаров, вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белым. 1.24. О

и

ТВЄТ. .

а + 6

Из урны, в которой а белых шаров и Ъ черных, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

~ а

Ответ. .

а + Ъ

В урне а белых и Ъ черных шаров (а > 2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Общее число случаев

2 (fl + b)(fl + b-l) п = Г^ •

Число благоприятных случаев

т=С2 =

2 а(а - 1)

1-2

Вероятность события А — два белых шара — равна Р(Л) = —= ¦ а(а_1)

п (a + b)(a + b-l)

В урне а белых и Ъ черных шаров (а > 2, Ъ > 3). Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность р того, что два из них будут белыми, а три черными.

Решение.

_ (а + Ь)(а + Ъ - 1)(а + Ь - 2)(а + Ь - 3){а + 6-4)

П ~ " 1.2.3.4.5 5

^ а(а-1)Ь(Ь-1)(Ь-2)<

771= о ц = ,

1-2 1-2-3

_ т 10а(а — 1)6(6 — 1)(Ь — 2)

Р~~п~ (а + Ь)(а + Ъ- 1)(а + Ъ - 2)(о + Ь - 3)(а + Ъ- 4)'

В партии, состоящей из к изделий, имеется I дефектных. Из партии выбирается для контроля г изделий.

Найти вероятность р того, что из них ровно 5 изделий будут дефектными.

ctcrf

Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: А — появление четного числа очков; В — появление не менее 5 очков; С — появление не более 5 очков.

Ответ. Р(Л) = ±; Р(Б) = ±; Р(С) = |.

ZOO

Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков.

т^ „ті

Решение, п = 6 ]тп = 6;р = — = -.

п 6

(Другое решение. Искомая вероятность есть вероятность того, что при втором бросании выпадет то же число очков, которое выпало при первом бросании: п = 6, га = 1, р = - .)

6

Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

А — сумма выпавших очков равна 8;

В — произведение выпавших очков равно 8;

С — сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

Ответ. РШ = —; Р(В) = — = —; Р(С) = —.

36 36 18 36

Бросаются две монеты. Какое из событий является более вероятным:

А — монеты лягут одинаковыми сторонами;

В — монеты лягут разными сторонами?

Ответ. Р(А) = Р(В).

В урне а белых и 6 черных шаров (а > 2; b > 2). Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно:

А — шары одного цвета;

В — шары разных цветов?

D Са^Сь а(а-1) +6(6-1)

Решение. Р(Л) = а 0 —

'а+Ь Г1

' а b

СІСІ 2ab

С2а+Ь (а + 6)(а + 6-1) '

р (В) = г

С2а+Ь (a + b) (a + 6-1)

Сравнивая числители этих дробей, находим

Р(Л) < Р(В) при а (а - 1) + Ь(Ь - 1) < 2аЬ, т.е. (a -b)2 < а + Ь;

Р(Л) = Р(В) при (а — b)2 — а + 6; Р(Л) > Р(В) при (а - Ъ)2 > а + Ь.

Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и две карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 — не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырех и берет себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит две бубновые карты.

Решение. Из 32 карт игроку известно 10, а остальные 22 — нет. Взять 2 карты из прикупа это все равно, что взять их из 22. В числе 22 карт две бубновых. Вероятность события равна

1 _ 1 С222 "231"

Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти ве-роятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2,..., п.

Ответ. —. п!

Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., п.

Ответ. .

пп

Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:

А — в каждой из пачек окажется по два туза;

В — в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой — все четыре;

С — в одной из пачек будет один туз, а в другой — три.

Решение. Общее число случаев п = СЦ. Число благоприятных событию А случаев т =

4 ' г* 26

52

Событие В может осуществиться двумя способами: либо в пер-вой пачке будут все четыре туза, а во второй — ни одного, либо наоборот:

Р(Д)= 4 48 .

4 ' ^26

съ2

Аналогично

3^23

Р(С)= 4 48

/о 26 52

Интересно сравнить эти вероятности:

Р(Л) : Р(В) : Р(С) = « 3,5 :1 : 4,5.

23-24 25-26 23-25

2С55С14з _ 1 .

34'

^5^13 + ^5^13 _ 12

Ci8 17

1.23. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий: А — все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу; В — две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три — в другую.

сур 5^4

Ответ. Р5 13

р (В) =

На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т. п. Найти вероятность того, что число будет четным.

Решение. Четность числа определяется его последней цифрой, которая должна быть четной (нуль — тоже четное число). Искомая вероятность есть вероятность того, что на втором месте

появится одно из чисел 0,2,4, 6, 8, т. е. -.

9

На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

Решение. Опыт имеет два возможных исхода: А — второе число больше первого, В — второе число меньше первого.

Так как условия опыта симметричны относительно А и 5, то

Р(Л) = Р(Я) = ±.

Тот же вопрос, что в задаче 1.25, но первая карточка после вынимания кладется обратно и перемешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается.

Решение. Возможны три исхода опыта: А — второе число больше первого; В — второе число меньше первого; С — второе число равно первому.

Всего возможно 52 = 25 случаев; из них пять:

1, 1; 2, 2; 3, 3; 4, 4; 5, 5

благоприятны событию С, а остальные 20 случаев поровну делятся на благоприятные событиям А и В. Следовательно,

р(д) = р(в) = і2 = 2.

В урне а белых, Ь черных и с красных шаров. Из урны вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белый цвет появится раньше черного.

Решение. Так как в условиях задачи наличие или отсутствие красных шаров роли не играет, то искомая вероятность равна вероятности вынуть первым белый шар из урны, в которой имеется

а белых и Ь черных шаров, т. е. равна .

а + b

Имеется две урны: в первой а белых и Ь черных шаров; во второй с белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут бедыми.

Решение. Каждый шар из первой урны может комбинироваться с каждым шаром из второй; число случаев п = (а + b) х х(с + d). Число благоприятных случаев т = ас; вероятность собы- ас

ти я .

(a + b)(c + d)

В условиях задачи 1.28 найти вероятность того, что вынутые шары будут разных цветов.

~ ad + be

Ответ. .

(a + 6)(c + d)

В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность р того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим.

Решение. Так как любое гнездо при первом выстреле может сочетаться с любым при втором, число случаев п = 7 • 7 = 49. Число благоприятных случаев равно числу комбинаций пустых гнезд:

т=2-2 = 4; р = — = —.

п 49

В тех же условиях найти вероятность того, что оба раза выстрел произойдет.

Решение. По-прежнему п = 49. Число благоприятных случаев m = 5 • 4 = 20, так как при первом выстреле гнездо с патроном можно выбрать пятью способами, а при втором выстреле — чет 20 тырьмя; р — — = —.

п 49

В урне имеется & шаров, помеченных номерами 1, 2, ..., к Из урны I раз вынимается по одному шару (I < к), номер шара за-писывается и шар кладется обратно в урну. Найти вероятность р того, что все записанные номера будут различны.

Решение. Число случаев п = к1. Число благоприятных случаев равно числу размещений из к элементов по Z, т.е. т — = к (к — 1 )...(& — I + 1). Вероятность события

_ т _ k(k-l)...(k-l + 1)= к\ Р~ п к1 ~к1(к-1)\'

Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово «книга».

Ответ. р = 1 /5! = 1 /120.

Тот же вопрос, если было составлено слово «ананас».

Решение. Число случаев п = 6!; число благоприятных случаев уже не один, как в задаче 1.33, а т = 3!2!, так как повторяющиеся буквы «а» и «н» можно произвольным образом перестав. „ 3!2! 1

лять между собой; р = = —.

6! 60

Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

Решение. Обозначим Ак наличие среди к вынутых карт не менее двух одной масти.

При к = 2:п = С522 ; т = С^ • 4; Р(А2) = — < 0,50.

51

При А;=3: п = С\2; т = С?3 • 4 + Сх23 С*9 • 4; Р(Л3) = 0,602 > 0,50.

Итак, нужно вынуть к > 3 карт.

TV человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N > 2). Найти вероятность р того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом. Решение. Общее число случаев п = N1; подсчитываем число благоприятных случаев т. Двух лиц Аи В можно посадить рядом

двумя способами; остальных (N — 2)! способами; т = 2N(N — 2)!; р = 2N(N — 2)!/ N\ = 2 / (TV - 1). Эту же задачу можно решить проще: пусть лицо Л садится куда угодно, тогда для В остается N— 1 место, из них 2 благоприятных; р = 2 / (TV - 1).

Та же задача, но стол прямоугольный, и 7V человек расса-живаются случайно вдоль одной из его сторон.

Решение. n=N\; благоприятные случаи делятся на две группы: 1) А сидит с краю, 2) А сидит не с краю. Число первых т1 = 2(N -2)!,число вторых m2 = 2(N - 2)(JV - 2)!;

р = (тг + m2) / п = 2(АГ - 1)(ЛГ -2)\/ N\ = 2 / N.

На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются два. Найти вероятности следующих событий:

А — на обоих бочонках написаны числа, меньшие чем к (2 < к < 7V);

В — на одном из бочонков написано число, большее чем к, а на другом — меньшее чем к.

Решение. Число случаев п = С^ .Для события А получим:

"-1' V ; Cl N(N-1)

Имея в виду, что к — 1 бочонков имеют номера меньше чем к, N— к бочонков — номера больше чем к и один бочонок — номер к, получим для события В:

771 = С. , Слг L F(i) ) = .

^ ^ к К J N(N-1)

Батарея из М орудий ведет огонь по группе, состоящей из N целей (М < N). Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будут обстреляны цели с номерами 1, 2,..., М.

Решение. Число способов, которыми можно распределить М орудий по N целям, равно п = N(N - l)...(7V-M-fl) (число размещений из N элементов по М). Число благоприятных случаев (при которых обстреливаются только первые Мцелей) m = М!;

N(N — 1)...(N — М + 1) СМ\ 1

1.40. В урне имеется К шаров; из них:

Кг шаров 1-го цвета;

К% шаров г-го цвета;

Кт шаров га-го цвета

і =1

Из урны вынимают одновременно к шаров. Найти вероятность того, что среди них будет:

кг шаров 1-го цвета;

к{ шаров г-го цвета; =к

кт шаров га-го цвета \ і =1

Решение. Общее число случаев п равно числу способов, какими можно вынуть /г шаров из К: п = СкК, Число благоприятных случаев: га —

= Ск\Ск\-Скт =UCh

і =1 так как группу шаров первого цвета можно выбрать С? способами, группу шаров второго цвета — С^2 способами и т. д. Вероятность события

ш

IK

rk

к—1

Ответ. —

I* I

1.41. Батарея, состоящая из /г орудий, ведет огонь по группе, состоящей из I самолетов (k < I). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все к орудий будут стрелять по одной и той же цели.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что все орудия будут стрелять по разным целям.

Решение. Группу из к обстрелянных целей можно выбрать Ск способами, а в пределах группы распределить орудия к\ спосо-бами: т = Скк\; общее число случаев п =1к; искомая вероятность

события gr*l = С - !)(' - 2)-С - * + ').

1к 1к~г

Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой — один, а в двух остальных лунках шариков не будет.

Решение. Общее число случаев п = 44. Число способов, ко-торыми можно выбрать одну лунку, где будут три шарика, С\ = 4. Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет один шарик, С\ = 3. Число способов, которыми можно выбрать из четы-рех шариков три, чтобы положить их в первую лунку, С\ = 4. Об-щее число благоприятных случаев т = 4-3-4. Вероятность событ 4-3-4 3

тия: р — — = — = —.

п 4 16

Имеются М шариков, которые случайным образом раз-брасываются по N лункам (N> М). Определить вероятность того, что в первых М лунках будет ровно по одному шарику.

~ М\

Ответ. гг.

NM

1.45*. Имеется М шариков, которые случайным образом разбрасываются по N лункам. Найти вероятность того, что в первую лунку попадет ровно кх шариков, во вторую — к^ шариков и т.д., в N-ю — kN шариков,

кг + k2+...+kN =М.

Решение. Число случаев п = NM. Число благоприятных случаев подсчитывается следующим образом. Число способов, какими можно выбрать из М шариков kv равно Cfy; число способов, какими можно из оставшихся М— кх шариков выбрать равно Ск$_к и т.д.; число способов, какими можно из М — (кг + k2-\-...-\-kN_1) = kN выбрать kN, равно

CkN

— 1. Все эти числа нужно перемножить:

т = Ck^Ck^_ki ^At—^ki +к2 +.лN_2) '1 =

м\ (М-к.у. [M-(k1+k2+...+kN_2)}\

к1 \{М - к,)1к2 \[М - (к, + *,)]!"• Vx !

Ml Ml

N 1=1

кх lk2 l...kN !

Вероятность события p = — =z ^'

п NMf\k,l

1=1

1.46*. В условиях задачи 1.45 найти вероятность того, что в одной из лунок (все равно, в какой) будет кх шариков, в другой — и т.д., в N-й — А;^ шариков (числа kv •> kN предполагаются различными).

Р е ш е н и е. По сравнению с задачей 1.45 число благоприятных случаев увеличится в N1 раз (это число способов, каким можно переставить между собой N чисел: kv ... kN). Вероятность события

MINI

Р = ^Цк,! »= і

1.47*. В условиях задачи 1.45 найти вероятность того, что из N лунок будет Iq таких, в которые не попадет ни одного шарика; 1Х таких, в которые попадет ровно один шарик, и т.д.; 1Мтаких, в которые попадут все М шариков:

/0 +1г+..Л*м =N;0-l0 + 1.1г+...+М'1м = М.

Решение. Общее число случаев п = NM. Чтобы наити число благоприятных случаев га, нужно перемножить число способов, какими можно выбрать лунки, и число способов, какими мож* IT * N1 N\ но выбрать шарики, лунки можно выбрать = —

JoWi'-Jtf! jpj

к—О

способами.

Найдем число способов, какими можно выбрать шарики. Шарики распадаются на группы: начальная группа (по 0 шариков) пустая; первая содержит 1Х шариков; вообще к-я — Ык шариков (к = 1, 2,..., М). Группы шариков можно выбрать

Ml Ml

)і...(мім)і

k=1

способами. Теперь определим, сколькими способами можно выбрать шарики внутри к-й группы так, чтобы в каждой из 1к лунок лежало по к шариков. Это число способов равно

(klk)l _(klk)l

klkl...kl (kl)lt '

\ /

lk раз

а число способов, какими можно выбрать все шарики для всех групп,

7 гг№)! гт

равно произведению таких чисел для разных к: 11 ^ ^ . Перемножая, получим число способов, какими можно выбрать шарики:

м

м, ПС.). М!

мм м

Л(к1к)1цтк П'

к=1 к=1 к=1

Умножая это на число способов, какими можно выбрать лунки, находим число благоприятных случаев:

N1 М\

т = •

м м

n^rw*

1=0 к=1

откуда вероятность события

N\M\ Р ~ мм

і —0 к=1

1.48. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А — все пассажиры выйдут на четвертом этаже; В — все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже); С — все пассажиры выйдут на разных этажах.

Решение. Задача того же типа, что и задачи о разбрасывании шариков по лункам. Этажи играют роль «лунок» (N= 6), пассажи- ры—«шариков» (М = 3). Число случаев п = б3 = 216, Р(А) =

Вероятность события В вшестеро больше вероятности события А (так как этажей, на которых можно выйти, шесть); т = 6 и

Р(В) = = —.Для события С число способов, которыми можно

216 36

распределить трех пассажиров по шести этажам: т = С\ = 20; 20 5

Р(С) = = —. Те же вероятности Р(В) и Р(С) можно найти и по общей формуле решения задачи 1.47, полагая

/0 = 5; 1г = 12 = 0; l3 = 1 для события 5,

/0 = 3; Zx = 3; 12 = /3 = 0 для события С.

<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА 1ОСНОВНЫЕ понятия. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

  1. ГЛАВА 2ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  2. ГЛАВА ЗФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА
  3. 71. ПОНЯТИЕ ДЕМОКРАТИИ. НЕПОСРЕДСТВЕННАЯ ИПРЕДСТАВИТЕЛЬНАЯ ДЕМОКРАТИЯ
  4. ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  5. 7. ПОРЯДОК ПОДСЧЕТА СТРАХОВОГО СТАЖА
  6. 6.2. Подсчет объемов работ по разделам локальной сметы
  7. ВЕРОЯТНОСТЬ
  8. ВЕРОЯТНОСТЬ
  9. ВЕРОЯТНОСТЬ
  10. § 6. Возможность и действительность. Вероятность
  11. 13.6. Угрозы, обязательства и вероятность
  12. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ И ОПОСРЕДСТВОВАННОЕ
  13. 13.6. Угрозы, обязательства и вероятность
  14. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ
  15. Непосредственно движущее
  16. Идеи как непосредственный материал знания
  17. 50. ВЫБОРЫ И РЕФЕРЕНДУМ В РФ КАК ФОРМА НЕПОСРЕДСТВЕННОГО 1 НАРОДОВЛАСТИЯ
  18. 2.2. Меры обеспечения, непосредственно ограничивающие личные свободы