<<
>>

ГЛАВА 2ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (5).
В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ),
где А В — произведение событий А и В.
Теорема сложения вероятностей для нескольких событий
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:

В случае, когда события Л, совместны, вероятность их суммы выражается формулой
г=1
* і з
\п-1
+ 1?P(AiAjAk)-...+ (-l)n~1P(A1A2Ai...An),
г , j, к
где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов г, j, к,взятых по одному, по два, по три и т. д.
Если события Av А2,Ап несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:
i=i
Событие А называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
р(л) + Р(І) = І.
Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р (А | В).
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий
Р(Л|Я) = Р(Л); Р(5|Л) = Р(5).
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:
Р(АВ) = Р(А)Р(В\А)
или
Р(АВ) = Р(В)Р(А\В). Для независимых событий А и В
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
Теорема умножения вероятностей для нескольких событий
В случае, когда события независимы, т. е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных,
П А<
Кі= і
2.1. Может ли сумма двух событий А и В совпадать с их произ-ведением?
Решение. Да, может, если события эквивалентны (равнозначны), т.е. если из события А вытекает В и, наоборот, из В вытекает А. Например, пусть производится один выстрел по мишени. Предположим, что попадание в мишень непременно приводит к ее разрушению и никаким другим способом мишень разрушена быть не может.
Тогда два события:
А — попадание в мишень,
В — разрушение мишени — эквивалентны (А = В) и для них
А + В = А = В; АВ = А = В.
2.2. Доказать, что вероятность суммы двух событий не больше, чем сумма вероятностей этих событий:
Р(А + В)<Р(А) + Р(В).
Решение. Это неравенство вытекает из формулы (*), так как Р(АВ) > 0.
Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:
А — появление герба на первой монете; В — появление цифры на первой монете; С — появление герба на второй монете; D — появление цифры на второй монете; Е — появление хотя бы одного герба; F— появление хотя бы одной цифры; G — появление одного герба и одной цифры; Н — непоявление ни одного герба; К — появление двух гербов.
Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) А + С) 2) АС; 3) EF; 4) G+E; 5) GE; 6) BD; 7 )Е+К
Ответ.
1) А+С=Е; 2) АС=К; 3) EF=G; 4) G+ Е = Е; 5) GE= G) 6) BD=H; 7)Е+К=Е.
По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события А{ — попадание при г-м выстреле (г = 1, 2, 3).
Представить в^иде сумм, произведений или сумм произведений событий А{и А • следующие события: А — все три попадания; В — все три промаха; С — хотя бы одно попадание; D — хотя бы один промах; Е — не меньше двух попаданий; F — не больше одного попадания;
G — попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле. Ответ. \)А = А^А^ 2)i? = Z1Z2Z3; 3) С = + А2 + А3 или
С=Аг + АгА2 + А1А2А3 ИЛИ С=А1А2А3 + AXA2AZ + АгА2А3 +
+ А1А2А.з + АгА2А3 + АгА2А3 + АгА2А3; 4) 0 = Аг +А2 + Л3; 5) Е =
= АгА2А3 + АгА2А3 +АгА2; 6) F = АгА2А3 + АгА2А3 + АгА2; 7) G =
= АгА2.
2.5. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:
А — обнаружен ровно один из четырех объектов; В — обнаружен хотя бы один объект; С — обнаружено не менее двух объектов; D — обнаружено ровно два объекта; Е — обнаружено ровно три объекта; F — обнаружены все четыре объекта. Указать, в чем состоят события: 1 )А + В; 2) АВ; 3) В + С; 4) ВС; 5) D + Е + F; 6) BF. Совпадают ли события BF и CF? Совпадают ли события ВС иО?
Ответ. 1 )А + В=В; 2) АВ — А; 3)В+С=В; 4) ВС = С; 5)D + E + F= С; 6) BF = F.
BF и CF совпадают; ВС и Due совпадают.

Событие В является частным случаем события А, т.е. из появления события В с достоверностью вытекает появление события А (рис. 2.6). Чему равны: 1) их сумма; 2) их произведние?
Ответ. 1) А + В = А; 2) АВ = В.
Назвать противоположные для следующих событий:
А — выпадение двух гербов при бросании Рис. 2.6 двух монет;
В — появление белого шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых, 3 черных и 4 красных шара;
С — три попадания при трех выстрелах;
D — хотя бы одно попадание при пяти выстрелах;
Е— не более двух попаданий при пяти выстрелах;
F — выигрыш первого игрока при игре в шахматы.
Ответы. А — выпадение хотя бы одной цифры;
В — появление черного или красного шара;
С — хотя бы один промах;
D — все пять промахов;
Е — более двух попаданий;
F — выигрыш второго или ничья.
Событие В есть частный случай события А, т.е. из появления события В следует, что событие А произошло. Следует ли из By что А произошло?
Ответ. Нет, не следует! Например: опыт состоит из двух выстрелов; А — хотя бы одно попадание; В — два попадания. Если произошло В, из этого следует, что А произошло. Если же произошло В (менее двух попаданий), из этого еще не следует,_что произошло А (ни одного попадания). Наоборот, из А следует В.
Если событие В представляет собой частный случай события Ау зависимы эти события или нет?
Ответ. Зависимы, если P(j4) з* 1, так как Р (А \В) = 1.
Зависимы или независимы:
несовместные события;
события, образующие полную группу;
равновозможные события?
Ответ. 1) Зависимы, так как появление любого из них обращает в нуль вероятности всех остальных; 2) зависимы, так как непоявление всех, кроме одного, обращает в единицу вероятность последнего; 3) могут быть как зависимы, так и независимы.
Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:
А — выпадение герба на первой монете;
D — выпадение хотя бы одного герба;
Е — выпадение хотя бы одной цифры;
F — выпадение герба на второй монете.
Определить, зависимы или независимы пары событий: 1) А и Е; 2) А и F; 3) Dn Е; 4) Dn F.
Определить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре. Ответ. 1)Р (Е) = 3 4' Р(Е\А) = -; события зависимы. 2 2)Р (А) = 1
2' Р(Л|^) = і; события независимы. 2 3)Р (D) = 3 4' P(D\E) = события зависимы.
3 4)Р (D) = 3 4' P(D\F) = 1; события зависимы.
Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события:
А — появление туза; В — появление карты красной масти; С — появление бубнового туза; D — появление десятки.
Зависимы или независимы следующие пары событий: 1) А и В; 2) А и С; 3) Ви С; 4) Ви D; 5) Си D? Ответ:
независимы, так как Р (А) = — = —; Р (А\В) = — = —;
4 52 13 26 13
зависимы, так как Р(Л) = —; Р(Л|С) = 1;
13
зависимы, так как Р (В) = -; Р (В | С) = 1;
2
независимы, так как Р (В) = -; Р (В \D) =
2 2
зависимы, так как несовместны.
В урне а белых (б) и b черных (ч) шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми1*.
Ответ. По теореме умножения вероятностей
Р(бб) = -2
а+Ьа+Ь—1
В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми.
Ответ. I—-—
а + Ъ
Данная задача, как и ряд других в гл. 2, может быть решена и с помощью непо-средственного подсчета числа случаев; здесь требуется решить их с помощью теорем сложения или умножения.
2.15. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.
Решение. Событие может появиться в двух несовместных ва-риантах: бч или чб; по теоремам сложения и умножения
тъ/а: . а Ъ Ь а 2а6
Р(бч + чб) = Ь
а+ба + б- 1 a + ba + b- 1 (а + Ь)(а+Ь-1)
Та же задача, но шары вынимаются последовательно и после вынимания первый шар возвращается в урну.
^ п аЪ
Ответ. 2
(а + Ъ)
В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут бе-лый шар.
Решение. Вероятность события может быть найдена непосредственно (см. задачу 1.10). Тот же результат может быть получен и по теоремам сложения и умножения:
Р(бб + чб) = — +
а + 6 а + 6-1 а + ба + б —1 а + 6
2.18. В урне а белых, b черных и с красных (к) шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными.
Решение. Чтобы найти вероятность события А — по крайней мере два шара будут одноцветными, — перейдем к противоположному А — все шары разных цветов: 6 комбинаций
ъ
Р (Л) = Р (бчк + бкч + кчб +...) =
= 6а + Ъ + с а + 6 + с — 1 а + 6 + с — 2 Отсюда
Р(А) = 1-Р(А) = 1- 6(11)0
(а + b + с)(а + b + с - 1)(а + b + с - 2)
2.19. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?
Решение. Событие А может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты не- игранные мячи. Первый раз это обеспечено; поэтому
9 8 7 9 8 7 1764
В коробке N= 1М новых теннисных мячей; для одной игры из коробки вынимают М мячей; после игры их возвращают в коробку. Найти вероятность того, что после I игр в коробке не останется неигранных мячей.
(N - М)\
Ответ. Р(А) = і —.
[ЛҐ(ЛГ-і)...(ЛГ-М + 1)]м
В ящике лежат п новых теннисных мячей; А; из них вынимаются и ими играют к < После игры мячи возвращаются в
ящик. Следующий раз из ящика снова берут наугад к мячей. Найти вероятность того, что все эти к мячей будут новыми (неигран- ными).
^ п-кп-к-1 П-2& + 1 [(п-А;)!]2
Ответ, р = ... = — —— .
п п— 1 п — к1 п\(п— 2к)\
Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковые размеры обуви, надевают калоши в темноте. Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою от чужой. Найти вероятности следующих событий:
А — каждый гость наденет свои калоши;
В — каждый гость, наденет калоши, относящиеся к одной паре (может быть и не свои).
Решение. Каждый гость выбирает одну правую калошу и одну левую; правых калош N и левых N. По теореме умножения
РМ)-^—1
N2(N- 1)2 22 (TV!)2
P(B) = i__L_...i = —. v ) N N-l N\
2.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий А и Ву если гости не могут отличить правой калоши от левой и просто берут первые попавшиеся две калоши. Р е ш е н и е. По теореме умножения
г !-... =
Vy 2N 2N-1 2N-2 2N-3 (2ЛГ)!
Р(В) = 1—І—1—І—1—І— ... = І ,
2N — 1 2N — З 2N — 5 (2АГ-1)!!
где(2N - 1)!! = 1 • 3 • 5...(2N - 1).
Бросаются две монеты. Рассматриваются события:
А — выпадение герба на первой монете;
В — выпадение герба на второй монете.
Найти вероятность события С = А + В.
Решение. Р (С) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ) = ! + !- ! = - у 4 2244
или, через противоположное событие, Р (С) = 1- Р(С) = 1 — _1 = 3
4~ 4
Ведется стрельба по самолету, уязвимыми частями которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна pv второго двигателя р2у кабины пилота р3. Части самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.
Решение. Событие А — поражение самолета есть сумма двух совместных событий:
D — поражение обоих двигателей;
К — поражение кабины.
Р (А) = Р(D) + Р(К)-Р(DK) = ргр2+р3- рхр2ръ.
Два стрелка, независимо один от другого, делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка pv для второго р2. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность Рх того, что выиграет первый стрелок.
О т в е т. рг = р\ (1 - р2 У2 + 2 р\р2 (l-p2) + 2pl(l-pl)(l-p2)\
В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются 2к шаров (2к < а; 2к < Ь). Найти вероятность того, что среди них бу-дет больше белых, чем черных.
Решение. Данную задачу проще решить, комбинируя методы непосредственного подсчета вероятностей с теоремой сложения. Событие А — больше белых шаров, чем черных — можно представить в виде суммы
2 к
А = Ак+1 + Аь+2 + ••• + ^2к = ХМ» '
где А{ — появление г белых шаров (і = к + 1,..., 2к).
лі s~i2к—і 2к Ґ^і /~і2к—і
= >откудаР(Л)= Е^Ьа +6 і=к+1 Ьа+Ъ
В партии, состоящей из N изделий, имеется М дефектных. Из партии выбирается для контроля п изделий. Если среди контрольных окажется более т дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована.
Решение. Событие А — партия забракована — можно представить в виде суммы
п
А = Ат+1 + Ат+2 + ... + Ап = ?
г =т +1
где А{ — событие, состоящее в том, что среди контрольных изделий і дефектных.
ЛІ ЛП-І п Ґ1І лп-і
Р(Л ) — м N~M • р(А)= У^ N-M
^ * ' ҐЧП ' \ ' ZL4 ҐЧП
°ЛГ г =га +1
Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Рассматриваются события:
А — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновой масти; В — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонной масти. Найти вероятность события С = А + В. __
Решение. Переходя к противоположному событию С — нет карты ни бубновой, ни червонной масти, имеем
р (С)- ——
52 51 50 49'
откуда
Р(С) = 1-Р(С) «0,945.
При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с веро-ятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при п циклах объект будет обнаружен.
Ответ. 1 — (1 — р)п .
Имеется га радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью р (независимо от других циклов и от других станций). За время Т каждая станция успевает сделать п циклов.
Найти вероятности следующих событий:
А — объект будет обнаружен хотя бы одной из станций;
В — объект будет обнаружен каждой из станций.
Ответ. Р(А) - 1 - (1 - р)тп ; Р(В) = [1 - (1 - р)п Г .
Имеется группа из к космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью р. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга т радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.
Решение. Переходим к противоположному событию А — все объекты будут обнаружены:
P(J) = [1 - (1 - р)т }к; Р(А) = 1 -[1 - (1 - р)т ?.
Над изготовлением изделия работают последовательно к рабочих; качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью pv второй — р2 и т.д. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак.
к
О т в е т. 1 - Yl (1 - Pi: ) •
г=і
32 буквы русского алфавита написаны на карточках раз-резной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «конец».
1 1 1 1 1 27!
Ответ. = —.
32 31 30 29 28 32!
Те же условия, но вынутые пять карточек можно менять местами произвольным образом. Какова вероятность того, что из вынутых пяти карточек можно сложить слово «конец».
Решение. Существует 5! перестановок из 5 букв; вероятность каждой из них вычисляется, как в предыдущей задаче; ис5!27! 1 комая вероятность равна = —-.
32!
В лотерее п билетов, из которых I выигрышных. Некто по-купает к билетов. Определить вероятность того, что он выиграет хотя бы на один билет.
Ответ.
п-In-1-1 n-l-k +1 (п-1)\(п-к)\
п П — 1 ті — К 1 п\(п—1 — К)\
Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 по- падает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики по-падут в соседние ячейки.
Решение. Событие А — шарики попали в соседние ячейки — разобьем на столько вариантов, сколько можно образовать пар соседних ячеек; получим
А = Аг + А2 + Аг,
где Аг — шарики попали в первую и вторую ячейки;
А2 — шарики попали во вторую и третью ячейки;
Аг — шарики попали в третью и четвертую ячейки.
Вероятность каждого из вариантов одна и та же и равна
-.1-2 = -; Р (Л) = -.
4 4 8 8
2.38. Пусть к шариков разбрасываются случайным образом и независимо друг от друга по п ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии (к < п). Найти вероятность того, что они займут к соседних ячеек.
Решение, к соседних ячеек из п можно выбрать п — к +1 способами. Вероятность попадания к шариков в каждую из групп
к\ (так как их можно разбросать по
соседних ячеек равна —
этим ячейкам А;! способами). Вероятность события А — шарики
попали в А;соседних ячеек — равна Р(А) = — к\(п — А; + 1).
\п)
2.39. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одина-ковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится.
Решение. Событие А — воспламенение самолета — есть сумма двух несовместных вариантов:
А — А^ -Ь А2,
где Аг — оба снаряда попали в один и тот же бак; А2 — снаряды попали в соседние баки.
fl)2 1
Р(4) = 4
14J 4
Вероятность события А2 находим согласно задаче 2.37:
Р(А2) = -; отсюда Р(А) = - + - = - 2 8 4 8 8
Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты бу-дут разных мастей.
Решение. Первая карта может быть какой угодно масти; вторая должна быть не такой, как первая; третья — не такой, как первая и вторая; четвертая — не такой, как три первые. Искомая ве, 39 26 13 Л1ПЛ ^ роятность равна р = 1 «0.106.
51 50 49
Та же задача, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.
п , 39 26 13 ПАЛ/|
Ответ. р = 1 « 0.094.
52 52 52
Вычислительная машина состоит из п блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение времени Т первого блока равна pv второго — р2 и т. д. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает машина. Найти вероятность того, что машина откажет за время Т.
п
Ответ. 1 — Y[Piі =1
При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. 1) Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания; 2) найти вероятность того, что для ввода двигателя в работу придется включить зажигание не более двух раз.
Ответ. 1) (1 - р)рі 2) 1 - (1 - р)2 = {2- р)р.
Производится обстрел некоторой цели с к позиций; с г-й позиции производится щ выстрелов; каждый выстрел независимо
от других попадает в цель с вероятностью р{ (г =1,2, , к). Найти
вероятности следующих событий:
А — хотя бы один выстрел попадет в цель;
В — не все выстрелы попадут в цель.
Ответ. Р(А) = 1 - П(1 - Рі )"<; Р(В) = 1 - ПК'.
1=1 1=1
По некоторой цели одновременно производится п выстрелов. Каждый выстрел независимо от других поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью р. Найти вероятность того, что после п выстрелов цель будет поражена. Изменится ли эта вероятность, если выстрелы производятся последовательно, результат каждого выстрела наблюдается и после поражения цели стрельба немедленно прекращается? Сколько надо произвести выстрелов, чтобы поразить цель с вероятностью не менее Р(Р > р)?
Решение. Обозначим А поражение цели; переходя к событию А, получим Р(А) = 1 — Р(Л) = 1 - (1 - р)п; при наблюдении вероятность не изменится.
Полагая 1 - (1 - p)n > Р и решая это неравенство относитель- lg (1 - Р)
но п, получим п > — L В качестве решения задачи берется
Ig(l-P)
наименьшее целое число п, удовлетворяющее этому условию.
Истребитель, вооруженный двумя ракетами, посылается на перехват воздушной цели. Вероятность вывода истребителя в такое положение, из которого возможна атака цели, равна pv Если истребитель выведен в такое положение, он выпускает по цели обе ракеты, каждая из которых независимо от другой выводится в окрестность цели с вероятностью р2. Если ракета выведена в окрестность цели, она поражает ее с вероятностью р3. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
Ответ. Pl[l- (1- р2р3)2].
Производится стрельба одним осколочным снарядом по беспилотному самолету-разведчику. Уязвимыми частями самолета являются: двигатель и отсек с аппаратурой. Поражение любой части приводит к выходу самолета из строя. При данном положении точки разрыва снаряда в двигатель попадает т1 осколков, а в отсек аппаратуры га2 осколков. Каждый осколок, попавший в двигатель, поражает его независимо от других с вероятностью pv а попавший в отсек аппаратуры — с вероятностью р2. Найти вероятность вывода из строя самолета при данном положении точки разрыва.
Ответ. 1 — (1 — )Ші (1 — р2Г2.
Производится стрельба двумя снарядами по к бакам с горючим (к > 2), расположенным рядом друг с другом в одну линию (рис. 2.48).
Каждый снаряд независимо от других попадает в первый бак с вероятностью pv во второй — с вероятностью р2 и т.д. Для воспламенения баков требуется два попадания в один и тот же бак или два попадания в соседние баки. Найти вероятность воспламенения баков.
Решение. Событие А — воспламенение баков — распадается на сумму двух вариантов:

Рис. 2.48
где Аг — оба снаряда попали в один бак; А2 — снаряды попали в соседние баки.
Р(4) = р? + раа+... + ла=1>?;
і =1
V(A2) = PiP2 +Р2Р1 +
к-1
+Р2Рз + PzP2 + — +Pk-lPk + РкРк-1 = 1'
1=1
к-1
г =1 г =1
2.49. Завод выпускает определенного вида изделия; каждое изделие может иметь дефект; вероятность дефекта р. После изготовления изделие осматривается последовательно к контролерами; г-й контролер обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью р{ (г = 1,2, В случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Определить вероятности событий:
А — изделие будет забраковано;
В — изделие будет забраковано вторым контролером;
С — изделие будет забраковано всеми контролерами.
к 1-Ш1-*)
Ответ. Р(Л) = р
2'
Р(В) = Р(1-Р1)Р t=i
к
Р(С) = РЦРі.
і =1
Завод изготовляет определенного типа изделия; каждое изделие имеет дефект с вероятностью р. Изделие осматривается одним контролером; он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью pv а если дефект не обнаружен, пропускает изделие в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта; вероятность этого равна а. Найти вероятности следующих событий:
А — изделие будет забраковано;
В — изделие будет забраковано, но ошибочно;
С — изделие будет пропущено в готовую продукцию с дефектом.
О т в е т. Р(А) = ррг + (1 - р)а; Р(В) = (1 - р)а; Р(С) = р( 1 - рг).
В условиях предыдущей задачи Изделие осматривается не одним контролером, а двумя. Вероятности забраковать дефектное изделие для первого и второго контролера равны соответственно pv р2, вероятности по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта, равны соответственно а г, а 2. Если хотя бы один контролер бракует изделие, оно идет в брак. Найти вероятности событий А, В, С.
Ответ. Р(Л) = р[1- (1 - ^>(1 —р2)] + (1- р)[ 1 - (1 - аг) х х(1 - а2)]; Р(В) = (1- р)[ 1 - (1 - а, )(1 - а2)]; Р(С) = „(1 - ) х х(1-р2).
Прибор состоит из п блоков (рис. 2.52); выход из строя каждого блока означает выход из строя прибора в целом. Блоки
ш и ш-ш
Рис. 2.52
выходят из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна р. Найти надежность Р прибора в целом. Какова должна быть надежность рх каждого блока для обеспечения заданной надежности Рг системы?
Примечание. Здесь и в дальнейшем на схемах элементы, без которых работа системы невозможна, изображаются как звенья, соединенные «последовательно»; дублирующие друг друга элементы изображаются соединенными «параллельно». Надежность каждого элемента записывается в соответствующем прямоугольнике.
Ответ. Р = рп • р V 2.50. Рис. 2.53
Для повышения надежности прибора он дублируется другим точно таким же прибором (рис. 2.53); надежность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна р. При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определить надежность системы двух дублирующих друг друга приборов.
Решение. Отказ системы требует совместного отказа обоих приборов; надежность системы равна 1 — (1 — р) .

П
Рис. 2.54
Та же задача, но надежность переключающего устройства П, обеспечивающего переключение с отказавшего первого прибора на второй, равна рг (рис. 2.54).
Ответ. Надежность системы 1 — (1 - р) х
x(l-PiP)Для повышения надежности прибора он дублируется (тг — 1) другими такими же приборами (рис. 2.55); надежность каж- р р р Рис. 2.55
дого прибора равна р. Найти надежность Р системы. Сколько надо взять приборов, чтобы повысить надежность до заданной
Л?
Ответ.Р—1 — (1 — р)" ~ ^^
-lg(l-p)
2.56. Та же задача, но для включения каждого дублирующего прибора применяется устройство с надежностью рг (рис. 2.56).
Ответ.Р = 1 — (1 - р)( 1 - рхр)п~{; n>ig(i-p1)-ig(i-p) + i
lg(l - PiP) Pi р Pi р ... Pi р 2.57*. Техническая система состоит из п блоков, надежность каждого из которых равна р. Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы.
Рис. 2.56
С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще п таких же блоков. Надежность переключающих устройств полная. Определить, какой способ дублирования дает большую надежность системы:
а) дублирование каждого блока (рис. 2.57, а),

а
б
Рис. 2.57 б) дублирование всей системы (рис. 2.57, б). Решение. Надежность системы, дублированной по способу а), будет ра = [1 - (1 - р)2]п , по способу б): рб = 1 - (1 - рп )2.
Покажем, что ра > рб при любом тг>1и0<^<1. Так как Л лп
= рп{2-р)\
р, = [1-(1 ~р2)]п -[1-1 + 2р p6=l-{l-pnY =l-l + 2pn -pin =рп(2-рп),
то достаточно доказать неравенство: (2 — р)п > 2 — рп. Положим q = 1 — р (q > 0); неравенство примет вид
(2 -! + 2 — (1 — q)n
или
(1 + q)n +(!-2.
Применяя формулу бинома, замечаем, что все отрицательные члены уничтожаются: (1 + їГ +(1 -qy
+
піп - 1) о l + nq і }-ql +... = 2 + п(п - 1 )q2 +... >2,
+
піп - 1) о 1 nq И V -... что и доказывает требуемое неравенство.
2.58. В технической системе дублированы не все, а только не-которые (наименее надежные) узлы. Надежности узлов проставлены на рис. 2.58. Определить надежность Р системы.
Ответ. Р = [1 — (1 — рг)2][1 — (1 — P2)3]PZPA1 (1 -Р5)2]- Ръ
Pi и P2
P4
Рз Рь
Pi J Рис. 2.58
2.59. Прибор состоит из трех узлов. В первом узле щ элементов, во втором п2 и в третьем П3. Для работы прибора безусловно необходим узел I; два других узла II и III дублируют друг друга (рис. 2.59). Надежность каждого элемента одна и та же и равна р. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего
узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти надежность прибора Р. II I III Рис. 2.59 2.60. Решение. Надежность узла I: pY = рп 1. Надежность узла II: ри = рп*.
Надежность узла III: рт = рПъ.
Надежность дублированного узла (II и III):
Надежность прибора
р=рп'[1-(1-РП2)(1-РПз)]Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна р; попадания отдельных ракет независимы. Каждая попавшая ракета поражает цель с вероятностью pv Стрельба ведется до поражения цели или до израсходования всего боезапаса; на базе имеется боезапас п ракет (п > 2). Найти вероятность того, что не весь этот боезапас будет израсходован. __
Решение. Переходим к противоположному событию А — весь боезапас израсходован. Чтобы произошло событие А, первые п - 1 ракет не должны поразить цель:
P(I) = (l-pp1)n"1; отсюда Р(А) = 1 - (1 - ррг )п~\
В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что после поражения цели в запасе останутся неизрасходованными не менее двух ракет. __
Решение. Противоположное событие А — останется менее двух ракет — равносильно тому, что первые п - 2 ракет не поразили цели:
P(I) - (1 - ррг Г'2- Р(А) = 1 - (1 - т Г'2.
В условиях задачи 2.60 найти вероятность того, что будет израсходовано не более двух ракет.
Решение. Чтобы было израсходовано не более двух ракет, достаточно, чтобы при первых двух выстрелах цель была поражена; вероятность этого Р(А) — 1 — (1 — ррх )2.
Производится стрельба двумя ракетами по самолету. Самолет имеет оборонительное вооружение, позволяющее ему произ-вести по каждой ракете два независимых выстрела. Каждым из этих выстрелов ракета поражается с вероятностью р. Если ракета не поражена, то она независимо от другой поражает самолет с вероятностью Р. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.
Решение. Чтобы поразить самолет, ракета должна быть не поражена. Вероятность поражения самолета одной ракетой с уче- том противодействия будет (1 — р)2Ру а двумя ракетами 1 — -[i-(i-p)2P]2.
Радиолокационная станция ведет наблюдение за к объектами. За время наблюдения г-й объект может быть потерян с вероятностью рі (і = 1, 2,..., к). Найти вероятности следующих событий:
А — ни один объект не будет потерян;
В — будет потеряно не менее одного объекта;
С — будет потеряно не более одного объекта.
Ответ. Р(Л) = П(1-Рі); Р(Я) = 1-П(1-Р<);
г =1 і =1
Р(С) = П(1 - рі) + рх(1 - р2)... (1 - Рк) +
і= 1
+(l-p1)p2(l-ps)...(l-pfc) + + ... + (1-р1)(1-р2)...(1- рк-г)рк.
Последнюю вероятность можно записать в виде
р (с)=п (і - Л) + І2 T^-tl ^ - ^
г=1 j=1 ^ Р j г =1
Техническое устройство, состоящее из А; узлов, работало в течение некоторого времени t За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью qv второй — с вероятностью q2 и т.д. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью ру ас вероятностью q = 1 — р объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
Решение. Вероятность г-му узлу быть неисправным после осмотра равна вероятности того, что он стал неисправным за время ty умноженной на вероятность того, что наладчик не обнаружит этой неисправности: q{q. Вероятность того, что это событие
случится хотя бы с одним из узлов, равна 1 — Y[ (1 ~ Q і Q )•
і —1
К условиям предыдущей задачи добавляется новое: по истечении времени t с вероятностью Q наладчика не оказывается на месте, и устройство пускается в ход без профилактического осмотра. Найти вероятность того, что после пуска хотя бы один узел устройства будет неисправным. і-Ш1-^)
+ Q
Ответ. (1-Q)
і-Ш1-*^) і =1
»=і 2.67. N стрелков независимо один от другого ведут стрельбу каждый по своей мишени. Каждый из них имеет боезапас к патронов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для г-го стрелка равна р{{г = 1, 2,..., N). При первом же попадании в свою мишень стрелок прекращает стрельбу. Найти вероятности следующих событий:
А — у всех стрелков вместе останется неизрасходованным хотя бы один патрон;
В — ни у кого из стрелков не будет израсходован весь боезапас;
С — какой-либо один из стрелков израсходует весь боезапас, а все остальные — не весь. __
Решение. Событие А — весь боезапас израсходован — требует, чтобы у всех TV стрелков первые к - 1 выстрелов дали промах:
Р(І) = П (1 - Pi f- ; Р(А) = 1 - П (1 - Pi f-1.
і =1 і =1
Событие В требует, чтобы у каждого стрелка хотя бы один из первых к — 1 выстрелов дал попадание:
n
\к—11
Р(5) = П[1-(1-РіГ
і =1
Событие С может осуществиться в N вариантах: С = С1 +... + CN, где С{ — г-й стрелок израсходовал весь боезапас, а остальные — не весь (г = 1,..., N).
Р(С) = Р(С1) + ... + Р(САГ) =
2.68. Для стрельбы по некоторой цели выделено п снарядов. Каждый снаряд попадает в цель независимо от других с вероятно-стью р. Сразу же после попадания дается команда о прекращении стрельбы, но за время передачи команды установка успевает произвести еще s выстрелов (s< п- 1). Найти вероятности следующих событий:
А — в запасе останется не менее т неизрасходованных снарядов (1 = (1 - Pl Г1 [1 - (1 - Р2 Г1}... [1 - (1 - Pn +... + +(i - Pn f-1 [і - (і - Pl )i-1 ]... [і - (і - p^ Г1} =
В — к-й по порядку выстрел не будет осуществлен (s + 1 < < к < п). _
Решение. Событие А означает, что при первых n — s — m выстрелах попадание не произойдет; поэтому
Р(А) = (1 - p)n~s~m ; р(А) = 1 - (1 - р)п-*-т .
Событие В означает, что не позже, чем за s выстрелов до (к - 1)-го, произошло попадание в цель; вероятность события В равна вероятности хотя бы одного попадания при первых (к - 1) - 5 = к - (s + 1) выстрелах. P(В) = 1 - (1 - p)k~{s+l).
2.69*. N стрелков стреляют поочередно по одной мишени. Стрельба ведется до первого попадания. Вероятность попасть в
мишень для каждого стрелка равна р{ (г =1,2, , N). Выигравшим
считается тот стрелок, который первым попадет в мишень. У каждого стрелка в запасе имеется п патронов. Определить вероятность того, что выиграет г-й стрелок.
Решение. Рассмотрим событие А^ состоящее в том, что г-й стрелок выиграет соревнование, израсходовав ./патронов.
)=р* п?4п«* 1 =pi Qiк=і U=i
где
і
Рк> Qi
к=1
Вероятность выиграть г-му стрелку равна
Р(А{) = ) =Pi Q^Qt = Pi Q
j=і j=i 1 ~ 4n
2.70*. По некоторому объекту ведется стрельба п независимы-ми выстрелами. Объект состоит из Участей (элементов). Вероят-ность попадания в г-й элемент при одном выстреле равна р. (г = 1,..., к). Найти вероятность P/q ^ 1к того, что в результате стрельбы будет L промахов, 1Х попаданий в первый элемент и
к
т.д., вообще /-попаданий в г-й элемент (г =1,2,..., = пг= 0
Решение. Число способов, какими можно из п снарядов выбрать Iq таких, которые дадут промахи; 1Х таких, которые попадут в
72 '
1-й элемент, и т.д., равно (см. задачу 1.45).
Вероятность каждого конкретного варианта расположения пок
паданий равна pf°, р[1,..., р1кк, где р0 = 1 - (вероятность
г =1
промаха). Умножая эту вероятность на число вариантов, получим
„ І і к 4-тг4І»*-п!іі77
J~J I I г =0 г =0 6 і '
г =0
2.71*. В условиях предыдущей задачи найти вероятность пора-жения (вывода из строя) объекта, если для этого требуется пора-зить не менее двух элементов, а для поражения элемента достаточно одного попадания.
Решение. Обозначим А — поражение объекта. Противоположное событие А может осуществиться в (к + 1) вариантах:
А=В0 +Вг +... + В, +... + Вк,
где В0 — ни один элемент не поражен;
Bt — поражен только г-й элемент, остальные не поражены (і = 1, 2,..., к).
Р(В0) = Pq (все выстрелы дали промах).
Вероятность события В • подсчитаем, разложив его на ряд слагаемых: В- = в[1) +в\2) + + ... + В\п),тдеВ\з) - элемент поражен ровно sснарядами (s = 1, 2,..., п).
р (вР) = с'пр'іРГ; р(Я,.) = ?0;ровЛ
5=1
откуда
г =1 5=1
І= 1 S=1
2.72. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят — она оказалась дамой; после этого две вынутые карты перемешивают, и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом.
Решение. Чтобы событие А — появление туза при втором вынимании — имело место, нужно прежде всего, чтобы мы вынули не ту карту, которую вынули первый раз (вероятность этого
14 2
1/2 ); затем, чтобы вторая карта была тузом. Р(А) = = —.
2 51 51
Условия опыта те же, что в предыдущей задаче, но первая (посмотренная) карта оказалась тузом; найти вероятность того, что при втором вынимании мы получим тоже туз.
Решение. Событие А — туз при втором вынимании — может произойти в двух вариантах:
Ах — второй раз появился тот же туз, что первый раз;
А2 — второй раз появился не тот, а другой туз.
Р(Л) = Р(Л,) + Р(Л2);
Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу п карт (п< 52); одну из них смотрят; она оказывается тузом, после чего ее перемешивают с остальными вынутыми. Найти вероятность того, что при втором вынимании карты из этих п снова получим туз.
ГЛ т>/ л\ 1 , п — 1 3
Ответ. Р(А) = —I .
п п 51
Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью рх. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью р2. Если истребитель этим выстрелом не сбит, он еще раз стреляет по бом-бардировщику и сбивает его с вероятностью р3. Найти вероятно-сти следующих исходов боя:
А — сбит бомбардировщик;
В — сбит истребитель;
С — сбит хотя бы один из самолетов.
Ответ.Р(Л) =р1+(1 — рг)(1 - р2 )р3; Р(В) = (1 - Рг )р2; Р (С) = = Р(А) + Р(В).
Происходит воздушный бой между бомбардировщиком и двумя атакующими его истребителями. Стрельбу начинает бомбардировщик; он дает по каждому истребителю один выстрел и сбивает его с вероятностью pv Если данный истребитель не сбит, то он независимо от судьбы другого стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью р2.
Определить вероятности следующих исходов боя:
А — сбит бомбардировщик;
В — сбиты оба истребителя;
С — сбит хотя бы один истребитель;
D — сбит хотя бы один самолет;
Е — сбит ровно один истребитель;
F — сбит ровно один самолет.
Решение. Вероятность того, что один истребитель собьет бомбардировщик, равна (1 — рг )р2; вероятность того, что хотя бы один из них собьет бомбардировщика:
Р(Л) = 1-[1-(1-Р1)Р2]2; Р(В) = Pi;
P(C) = l-(l-Pl)2; P(I>) = l-(l-Pl)2(l-P2)2;
Р(Я) = 2Рі(1-Рі).
Событие F представляется в виде
F = FX +F2 + F3,
где Ft — сбит бомбардировщик, а оба истребителя целы;
F2 — первый истребитель сбит, а второй истребитель и бомбардировщик целы;
F3 — второй истребитель сбит, а первый истребитель и бомбардировщик целы.
Р(*і) = (1-Рі)2[1-(1-Р2)2];
P(F2) = P(F,) = Pl(l-Pl)(l-Pa);
P(F) = (1 - Pl)2[l - (1 - p2)2} + 2Pl(l - Pl)(l - p2).
Условия и вопросы те же, что в задаче 2.76, но с тем изменением, что истребители идут в атаку только попарно: если сбит один из них, то другой выходит из боя.
Ответ. Р(Л) = (1-Рі)а[1-(1-Р2)2); Р(В) = Р2; Р (С) = = 1 - (1 - Vl )2; Р(D) - 1 - (1 - Pl )2 (1 - р2 )2; Р(Е) - 2рг (1 - Pl); Р (F) = (1-р1У[1-(1-р2У] + 2р1(1-р1).
Прибор состоит из трех узлов; один из них безусловно не-обходим для работы прибора; два других дублируют друг друга. В результате работы устройства в нем появляются неисправности; каждая неисправность с одной и той же вероятностью появляется в любом из элементов, составляющих узлы. Первый узел состоит из щ элементов; второй — из п2 элементов, третий — из щ элемен- тов (rzj + n2 + nз = n). При неисправности хотя бы одного элемента узел выходит из строя.
Известно, что в приборе имеется четыре неисправности (в четырех разных элементах). Найти вероятность того, что наличие этих неисправностей делает невозможной работу прибора.
Решение. Событие А — невозможность работы прибора — распадается на два варианта: 2 '
А = А + А где Ах — вышел из строя первый узел;
А2 — первый узел не вышел из строя, но второй и третий — вышли.
Чтобы произошло событие Av нужно, чтобы хотя бы одна из четырех неисправностей пришлась на первый узел:
72 — 72, 72 — 72, — 1 77, — 77,1 — 2 72 — П, — 3
Р(А1) = 1-Р(А1) = 172 72 — 1 72—2 72—3
Для определения вероятности события А2 надо вероятность события А{ — первый узел не вышел из строя — умножить на вероятность того, что второй и третий узлы вышли из строя (с учетом того, что все четыре неисправности приходятся на второй и третий узлы). Последнее событие может осуществиться в трех ва-риантах: или одна неисправность будет во втором, а три других — в третьем узле, или наоборот: три во втором и одна в третьем; или же во втором и третьем узлах будет по две неисправности.
Вероятность первого варианта:
72 2 72 3 723 — 1 72 3 — 2

72 2 ~Ь 723 722 + 723 — 1 722 + 723 — 2 722 + 723 — 3
Вероятность второго варианта: + 723 — 2 722 + 723 — 3
П2 — 1 722 — 2

П2 ПЪ П2 nZ ~~ 1 П2 П\ Вероятность третьего варианта: пз -1
П2 -1

722 ~b 723 722 + 723 — 1 722 + 723 — 2 722 + 723 — 3 Отсюда P(^2) = P(^)x
y n2nz[C\(nz- l)(n3-2)+ C\{n2- 1 ){n2 - 2)+ СЦп2- l)(n3- !)]_
(n2 + n3)(n2 + n3 - 1 )(n2 + n3 - 2)(n2 + n3 - 3) _ 2n2n3[2(n3 - l)(n3 - 2) + 2(n2 - 1 )(n2 - 2) + 3(n2 - l)(n3 - 1)] n(n - l)(n -2)(n -3)
Р(Л) = Р(4) + Р(Л2).
Имеется электроприбор, который может выходить из строя (перегорать) только в момент включения. Если прибор включался до сих пор к — 1 раз и еще не перегорел, то условная ве-роятность ему перегореть при к-м включении равна Qk. Найти вероятности следующих событий:
А — прибор выдержит не менее п включений; В — прибор выдержит не более п включений; С — прибор перегорит ТОЧНО при 72-м включении. Решение. Вероятность события А равна вероятности того, что при первых 72 включениях он не перегорит:
р(Л) = П(1-д4).
і =1
Чтобы найти вероятность события В, переходим к противопо-ложному:
В — прибор выдержит более 72 включений. Для этого достаточно, чтобы при первых (п + 1) включениях прибор не перегорел:
Р(5)=П(1-<&); Р(Я) = 1-П(1-к=1 к=1
Чтобы прибор перегорел ТОЧНО при 72-М включении, надо, чтобы ОН не перегорел при первых (72-1) ВКЛЮЧЄНИЯХ, а при 72-М перегорел:Р(С) = Qn - Qk).
і =1
Прибор состоит из четырех узлов; два из них (I и II) безусловно необходимы для исправной работы прибора, а два (III и IV) дублируют друг друга (рис. 2.80). Узлы могут выхо-дить из строя только при включе-
ill И
_ tv нии. При к-м включении исправный узел I (независимо от других) выходит из строя с вероятностью q[k
узел II — С вероятностью узлы
III и IV — с одинаковой вероятно- Рис. 2.80
qk. Найти вероятности тех же событий А, Д С,
что в задаче 2.79.
Решение. Задача сводится к предыдущей, но здесь находим условную вероятность Qk выхода из строя исправного прибора при А;-м включении:
¦ Ч IV
стью
2.81. В урне а белых и Ъ черных шаров. Два игрока поочередно вынимают из урны по одному шару, каждый раз вкладывая его обратно и перемешивая шары. Выигравшим считается тот, кто раньше вынет белый шар. Найти вероятность Р(1) того, что выиг-рает первый игрок (тот, кто вынимал шар первым).
Решение. Выигрыш первого игрока может осуществиться или при первом же вынимании, или при третьем (для чего первые два вынимания должны дать черные шары, а третье — белый), и т.д.
2 к а
Р(1):
¦ +
[а + Ъ) 1
а + Ъ а
а + Ъ) Ь
а + Ъ
а+Ъ _ а+Ъ а +2Ъ
2 к
у
а + Ъ)
а + Ъ
1 а + Ъ)
2.82. (очевидно, Р(1) > при любых а и Ъ).
2
В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность Р(1) того, что выиграет первый игрок.
Решение. Р(1) = - + -.-.- = -, 5 5 4 3 5
Производятся испытания прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью р. После первого вы-хода из строя прибор ремонтируется; после второго — признается негодным. Найти вероятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности при к-м испытании.
Решение. Для того чтобы произошло данное событие, нужно, во-первых, чтобы прибор вышел из строя при к-м испытании — вероятность этого р. Кроме того, нужно, чтобы за предыдущие к - 1 испытаний прибор вышел из строя ровно один раз; вероятность этого равна (к — 1)р(1 — р)к~2. Искомая вероятность равна
(к — 1)р2(1 — р)к~2Самолет, по которому ведется стрельба, состоит из трех различных по уязвимости частей: 1) кабина летчика и двигатель, 2) топливные баки и 3) планер. Для поражения самолета достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую, или трех попаданий в третью. При попадании в самолет одного снаряда он с вероятностью рх попадает в первую часть, с вероятностью р2 — во вторую и с вероятностью р3 — в третью. Попавшие снаряды распределяются по частям независимо друг от друга. Известно, что в самолет попало га снарядов. Найти условную вероятность поражения самолета Р(А\тп) при этом условии для га = 1, 2, 3, 4
Решение. Чтобы самолет оказался пораженным при одном попадании, нужно, чтобы снаряд попал в первую часть:
р(л|і)=Рі.
Для того чтобы найти_Р(А |га) при т > 1, перейдем к противоположному событию Р(А |га) — непоражение самолета при га попаданиях.
Чтобы самолет не был поражен при двух попаданиях, надо, чтобы оба снаряда попали в планер или один — в баки, а другой — в планер:
?(А\2) = рІ + 2р2р3; Р(А\2) = 1-(р23+2р2р3).
Аналогично получаем
Р(Л|3) = 1-Зр2р32; Р(Л|4) = 1.
Те же условия, что в предыдущей задаче, но первая часть забронирована и сделана неуязвимой для попадающих в нее снарядов. Найти Р(і4|1), Р(і4|2)и Р(А|га)прига >2.
Ответ. Р(4|1) = 0; Р(А\2) = р22] Р(А\т) = 1 - [р™ Л-тр™"1 х
Х (Р2 + Рз) + С2т рГ2 (Рз2 + 2Р2Р3) + С3Ш РГ3ЗР2Р321 •
Прибор состоит из трех узлов. При включении прибора с вероятностью pt появляется неисправность в первом узле, с вероятностью р2 — во втором узле, с вероятностью р3 — в третьем узле. Неисправности в узлах возникают независимо друг от друга. Каждый из трех узлов безусловно необходим для работы прибора. Для того чтобы узел отказал, необходимо, чтобы в нем было не менее двух неисправностей. Найти вероятность того, что прибор благополучно выдержит п включений. Решение. Чтобы прибор работал (событие А), нужно, чтобы работали все три узла. Вероятность того, что первый узел выдержит п включений, равна вероятности того, что при п вклю- чениях в нем окажется не более одной неисправности (0 или 1): (1 -Pl)n +npx{l-piy-1.
Вероятность того, что все три узла выдержат п включений, равна
Р(Л) = П[(1-Р<)" +nPi(i-Pi)n-1\
І= 1
2.87. Лвиабомба, предназначенная для бомбометания по наземной цели, снабжена радиовзрывателем, работающим по сигналу от поверхности земли. Взрыватель срабатывает на высоте h. Эффективное действие бомбы по наземной цели имеет место тогда, когда hx < h < h2. При h > h2 наблюдается преждевременный разрыв; при h < hx — запоздалый разрыв; оба неэффективны. Вероятность нормального разрыва равна р, преждевременного — pv запоздалого - р2; рг + р2 + р = 1.
С целью повысить вероятность нормального разрыва на бомбе устанавливается второй взрыватель, имеющий те же характеристики, что и первый, но работающий независимо от него.
При каком условии эта мера повысит вероятность нормального разрыва бомбы?
Решение. При одном взрывателе вероятность нормального разрыва р = 1 — р1 — р2. При двух взрывателях вероятность нормального разрыва равна pf = р2 + 2рр2 (либо оба взрывателя сработают нормально, либо один нормально, другой запоздает). Решая неравенство р' = р2 + 2рр2 > р, получаем требуемое условие
для р' > р:
р + 2р2>1, т.е. р2>рг.
<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003
Помощь с написанием учебных работ

Еще по теме ГЛАВА 2ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

  1. ГЛАВА 1ОСНОВНЫЕ понятия. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  2. ГЛАВА ЗФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА
  3. ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  4. 7.7. Сложение (уменьшение) размера штрафа
  5. ВЕРОЯТНОСТЬ
  6. ВЕРОЯТНОСТЬ
  7. 1. 7. Дела о сложении штрафов, наложенных на должника судебным приставом-исполнителем
  8. ВЕРОЯТНОСТЬ
  9. ВСЕ О ДИПЛОМАТИИ. ДИПЛОМ (греч. diploma - лист, документ, сложенный вдвое
  10. § 6. Возможность и действительность. Вероятность
  11. 11.7. Метод определения таможенной стоимости товарана основе сложения стоимости
  12. 13.6. Угрозы, обязательства и вероятность