<<
>>

ГЛАВА 5СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной (в широком смысле слова) называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу-чайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может иметь разные формы.

Ряд распределения

Рядом распределения дискретной случайной величины X называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины хх, х2,..., хп с соответствующими им вероятностями Xi Х\ Х2 Хп Рг Pi Р2 Рп , где Pi = Р(Х = х{); J2 Pi = L

і =1

Графическое изображение ряда распределения (рис. 5.0.1) называется многоугольником распределения.

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины X называется функция F (х), выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшее чем х:

F(x) = P(X <х).

Функция F (х) есть неубывающая функция; F(-oo) = 0,F(+oo) = 1.

Для дискретных случайных величин функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Если функция распределения F (х) везде непрерывна и имеет производную, Рис. 5.0.1 случайная величина называется непре

рывной в узком смысле слова или просто непрерывной.

Если функция распределения F (х) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, случайная величина называется смешанной.

Плотность распределения

Плотностью распределения непрерывной (в узком смысле слова) случайной величины называется функция f(x) = F'(x).

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, f{x) > 0, и обладает свойством

J f(x) (h = 1.

График плотности f(x) называется кривой распределения.

Элементом вероятности для случайной величины X называется величина f(x) dx, приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки X в элементарный отрезок dx, примыкающий к точке х.

Функция распределения F (х) выражается через плотность распределения формулой

X

F(x) = -Jf(x) dx.

Вероятность попадания случайной величины X на участок от а до (3 (включая а) выражается формулой

Р(а < X < (3) = F(P) — F(OL).

Если случайная величина хнепрерывна, то Р(Х = а) = 0 и

Р(а < X < (3) = F(fi) — F(OL).

dx.

Р(а <Х<р) = f/(x)

Вероятность попадания на участок от а до (3 для непрерывной случайной величины выражается формулой

Математическим ожиданием случайной величины X называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

п

М [X] = х{ р{ — для дискретной случайной величины;

і =1

00

М [X] = J xf(x) dx — для непрерывной случайной величины.

-00

Для смешанной случайной величины математическое ожидание выражается суммой двух слагаемых:

М [X] = Ъ Pi + j xF'(x) dx,

(н)

где сумма распространяется на все точки разрыва функции распределения, а интеграл — на все участки ее непрерывности.

В некоторых случаях Ы[Х] будем обозначать строчной буквой с индексом

М[Х} = тх.

- Центрированной случайной величиной называется разность между случайной величиной Хи ее математическим ожиданием:

X = X — тх.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

В[Х]=Ы[Х2}.

Дисперсия вычисляется по формулам:

п

D [X] = (х{ — тх)2 pt — для дискретной случайной величины;

і =1

00

D[X] = J (х — mx)2f(x) dx — для непрерывной случайной величины;

-00

И[Х] = (хі ~ mx)2Pi + f (x ~ mx)2F\x) dx — для смешанной

(н)

случайной величины. Дисперсия D [X] кратко обозначается Dx.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X назы-вается корень квадратный из дисперсии

Начальным моментом k-то порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени этой случайной величины:

ак[Х}=М[Хк].

Для дискретной, непрерывной и смешанной случайной величины а к[Х] вычисляется соответственно по формулам

п

ot k[X] = Е *ї*і' а k[X] = f xkf(x)dx,

» =1 -ос

CLk[X]=J2*fri + f xkF'{x)dx.

(H)

Центральным моментом к-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени центрированной случайной

величины X:

»к[Х} = М[Хк]. Вычислительные формулы цля\ік[Х]:

п

VklX] = ~ тх)кРг і

і =1

оо

Рк[Х] = / - mx)kf(x) dx, —оо

чЛ*] = ?(*.¦ + / {x-mx)kF\x)dx.

(н)

Математическое ожидание случайной величины X есть ее первый начальный момент, а дисперсия — второй центральный:

М[^] = а1[Л']; Ъ[Х] = »2[Х].

Второй и третий центральные моменты выражаются через начальные формулами

\i2[X] = OL2[X]~ т*; 113[Х} = а3[Х)-Зтха2[Х) + 2т1

Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0,1,..., га, а вероятность того, что X = га, выражается формулой

Р(Х = т) = Ртп =C:Pmqn~m1

где

О С р С 1; q = 1 - р.

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, равно тх = пр, а дисперсия Dx = npq.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2,..., т, а вероятность того, что X = т, выражается формулой

т

Р (Х = т) = Рт=?-е-\ т !

где а > 0 — параметр закона Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х} распределенной по закону Пуассона, равны параметру закона а: тх = а; Dx = a.

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.

Плотностью (интенсивностью) потока называется среднее число событий в единицу времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность появления на любом участке времени того или иного числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным участки.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке At двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассонов - ским.

Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, попадающих на любой участок времени (^, ^ + т), распределено по закону Пуассона:

Л т

Р =—е~а

1 т I '

т !

где а — математическое ожидание числа точек, попадающих на участок:

t0+T

а = J \(t) dt, \(t) — плотность потока.

Если \(t) = const, пуассоновский поток называется «стационарным пуассоновским» или простейшим потоком.

Для простейшего потока число событий, попадающих на любой участок длины т, распределено по закону Пуассона с параметром а = \т.

№ =

О при t < 0. \e"Xl при t > 0.

Расстояние Тмежду двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону, с плотностью

Для случайной величины Т, распределенной по показательному зако- 1 п 1

Случайным полем точек называется совокупность точек, случайным образом распределенных на плоскости (в пространстве).

Плотностью поля называется среднее число точек, попадающих на единицу площади (объема).

Если плотность поля постоянна, оно называется равномерным.

Поле точек называется пуассоновским, если оно обладает свойствами:

Вероятность появления того или другого числа точек в любой области плоскости (пространства) не зависит от того, сколько точек попало в любые области, не пересекающиеся с данной;

Вероятность попадания в элементарную область двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.

Число точек пуассоновского поля, попадающих в любую область S

плоскости (пространства), распределено по закону Пуассона:

Л т

Р =—е~а

т , с 5

771 !

где а — математическое ожидание числа точек, попадающих в область S.

Если поле равномерно и имеет плотность X, то а = s\, где s — площадь (объем) области S.

Если поле неравномерно, то а = JJ X (я, у) dx dy (для плоскости),

а = JJJ X (я, ?/, z) dx dy dz (для пространства).

(*)

Для вычислений, связанных с распределением Пуассона, применяютат т ak

ся таблицы функций Р(ш, а) = —е~а и R(m, а) = V} — е~а. Таблица

т\

функции Q (m, а) = 1 - R (т, а) дана в прил. 1 (табл. 1).

Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной в интервале (а, (3), если ее плотность распределения в этом интервале постоянна:

при я Є (а, (3),

(3 — а

О при х g (а, (3),

где запись х є (а, (3) означает: «х лежит на участке от а до |3», a х ? (а, (3) означает: «хне лежит на участке от а до (3».

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распре/ оч <* + Рп (Р-°02 деленной равномерно на участке (а, р), равны тх = \их = —

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна 1

(х—771 ) ,2

2ctz ол/2К 5.1. Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно тх = т, а дисперсия Dx = or2.

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал (а, (3) выражается формулой

(3 — ml

. ф*

Р(а <Х<(3) = Ф*

I х

где Ф* (я) = Г е 2 dt — табулированная функция (см. прил. 1 табл. 2).

V2ir J

-оо

Может ли при каком-либо значении аргумента быть:

Функция распределения больше единицы?

Плотность распределения больше единицы?

Функция распределения отрицательной?

Плотность распределения отрицательной?

Ответ: 1) нет; 2) да; 3) нет; 4) нет.

Какова размерность: 1) функции распределения; 2) плот-ности распределения; 3) математического ожидания; 4) дисперсии; 5) среднего квадратического отклонения; 6) третьего начального момента?

Ответ. 1) Безразмерна; 2) обратная размерности случайной величины; 3) размерность случайной величины; 4) размерность квадрата случайной величины; 5) размерность случайной величины; 6) размерность куба случайной величины.

Рассматривая неслучайную величину а как частный вид случайной, построить для нее функцию распределения, найти для нее математическое ожидание, дисперсию и третий начальный момент. при х < а,

при х > а.

Ответ. F(x) =

М[а] = а; D[a] = 0; а3[а] = а3

Рис. 5.4

5.4. Дан график плотности распределения f(x) случайной величины X (рис. 5.4). Как изменится этот график, если: а) прибавить к случайной величине 1; б) вычесть из случайной величины 2; в) умножить случайную величину на 2; г) изменить знак величины на обратный? сительно оси ординат.

Ответ, а) Сдвинется влево на 1; б) сдвинется вправо на 2; в) масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат уменьшится вдвое; г) график переменится на свое зеркальное отражение отно5.5. Дан график функции распределения F(x) случайной величины X (рис. 5.5). Как изменится этот график, если: а) прибавить к случайной величине 1; б) вычесть из случайной величины 2; в) умножить случайную величину на 2; г) изменить знак случайной величины на обратный?

Ответ, а) Сдвинется влево на 1; б) сдвинется вправо на 2; в) масштаб по оси абсцисс удвоится; г) график нужно зеркально отразить относительно оси ординат и каждую ординату вычесть из единицы.

К случайной величине X прибавили постоянную, неслучайную величину а. Как от этого изменятся ее характеристики: 1) математическое ожидание; 2) дисперсия; 3) среднее квадратиче- ское отклонение; 4) второй начальный момент?

Ответ. 1) Прибавится слагаемое а; 2) не изменится; 3) не изменится; 4) прибавится слагаемое а2 +2атх (так как а2[Х] =

= Dx+ml).

Случайную величину Xумножили на а. Как от этого изменятся ее характеристики: 1) математическое ожидание; 2) диспер-сия; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) второй начальный момент?

Ответ. 1) Умножится на а; 2) умножится на а ; 3) умножится на |а|; 4) умножится на а.

Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие А; вероятность события А равна р. Рассматривается случайная величина Ху равная единице, если событие А произошло, и нулю, если не произошло (число появлений события А в данном опыте). Построить ряд распределения случайной величины Хи ее функцию распределения, найти ее м. о., дисперсию, второй начальный момент, третий центральный момент.

Ответ. Ряд распределения: 0 1 Pi Ч Р

Функция распределения F(x) представлена на рис. 5.8. ms=0-q + l-p = p\

01 гЙП-q + I2 ¦ р = р\ Jf^

Dx=<*2[X]-m2x=p-p2=p(l-p) = pq; Q І

I

(О - P)*Q + (1 - Р)3Р = Р9 (« - р)' "ot 1

0,936 0,648

0,216

5.9. Производится три независимых опыта, в Рис. 5.8 каждом из которых событие А появляется с ве-роятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X — число появлений события А в трех опытах.

Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X. Найти ее математическое ожидание тху дисперсию Dx, среднее квадратическое отклонение их и третий центральный момент

hWОтвет. Ряд распределения: хі 0 1 2 3 Pi 0,216 0,432 0,288 0,064

Функция распределения показана на рис. 5.9; тх = 1,2; ^ = 0,72; стх =0,85; ц3[*] = 0,144.

5.10. Монета подбрасывается п раз; рассматривается случайная величина X — число выпавших гербов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее характеристики: Хт 0 1 ТП 71 Prn f-Г

ы "И fiV

/Of ТП і2,

п n п Vn , тх = —; Dx=—; crx = ; [л J = 0 (так как распределение сим2 4 2

метрично относительно тх = —).

5.11. Производится п независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Написать ряд распределения случайной величины X — числа появлений противоположного А события А в п опытах — и найти ее математическое ожидание и дисперсию. Ответ. 0 1 т п Рт п

Р СпЯР т _ m „ п— т

4 9 Р п

q

гдед = 1 - р; тх = nq\ Dx = npq.

5.12. Производится п независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Рассматривается случайная величина R — частота появления события А в п опытах, т.е. отношение числа появления события А в п опытах к общему числу произведенных опытов п. Написать ряд распределения этой случайной величины; найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Ответ. 0 1

п т п і Рт qn Г»1

^nPq гчт ^т п—т

^пР q п

Р

гдеq =1 — р] тх= р; Dx =

п

5.13*. Производится п независимых выстрелов по мишени. Ве-роятность попадания при каждом выстреле равна р. Определить наивероятнейшее число попаданий в мишень га*.

Решение. Рассмотрим, при каком условии га* = 0. Если

га* = 0, тоqn > Clnpqn~l илиq > up,откудар < .

72 + 1

Если 772* = 72, ТО р П > C\qpn~l ИЛИ р > 72^, откуда—J9 > —- .

72 + 1

Рассмотрим случай, когда 0 < га* < п; в этом случае должны выполняться совместно два неравенства

C

m* m* п —га* \ /-y га*+1 _ га*+1 п—га*—1

п р q >ьпр q

C

m* m* п —га* \ га*—1 _ га*—1 п —ra*-fl

п р я >спр q Эти два неравенства эквивалентны следующим:

(т* + l)g > (п - т*)р, (п - т * + 1)р > т * q, откуда га* должно быть целым числом, удовлетворяющим неравенству

(п + 1)р - 1 < га* < (п + 1 )р.

Можно убедиться в том, что это неравенство выполняется и в

1 п

случае р < (га* = 0) и в другом крайнем случае: р >

п + 1 п +1

(т* = п).

Поскольку правая часть неравенства на единицу больше левой, то между ними лежит только одно целое число га*; исключение составляет только случай, когда (п + 1)р — целое. В этом случае имеется два наивероятнейших числа попаданий: (п + 1)р и (п 4- 1)р — 1. Если пр — целое число, то га* = пр, т.е. наивероят- нейшее значение числа попаданий в мишень равно его математическому ожиданию.

5.14. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка pv для второго р2. Рассматриваются две случайные величины:

Х{ — число попаданий первого стрелка;

Х2 — число попаданий второго стрелка и их разность

Z = Хг — Х2.

Построить ряд распределения случайной величины Z и найти ее характеристики т2и Dz.

Решение. Случайная величина Z имеет три возможных значения: -1, 0 и +1.

р(Z = -1) = = 0) Р(Х2 = +1) = qlP2;

Р (Z = 0) = Р(Хг = 0) Р(Х2 = 0) + Р(Хг = 1) Р(Х2 = 1) = = + Р1Р2;

P(Z — 1) — P(X1 —1)Р(Х2 =0) = p1q2,

гдед1 =1 - рх; д2 =1 - р2.

Ряд распределения величины Z имеет вид -1 0 1 Pi Q\Pi QiQ2 + P\P2 P\b

ro2 = (-l)?iP2 +%1«2 + РіР2) + 1РіЯ2 =-9iP2 + P1Q2 = Pi ~ Pi95

Дисперсию находим через второй начальный момент:

а2[^]=(-1)2 я9іР2 +°2 "(?1«2 +PlP2)+l2 -Pl«2 = = + Рі<І2 = Pi + Р2 ~ 2PlP2i

Dz =a2 \Z\~ml =Pi +P2 — (Pi "Рг)2 =Pl«l +P2«25.15. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие А. Вероятность события А в каждом опыте равна р. Опыты производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина X — число произведенных опытов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее характеристики — математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Ряд распределения имеет вид Xi 1 2 3 і Pi p qp q2p

где q = 1 - р.

тх = lp + 2qp + 3q2p +... iql~lp + ... = рУ]ід%"г=1

оо

Замечаем, что ряд представляет собой результат дифі =0

00 Q

ференцирования геометрической прогрессии W = —-— ;

Ы 1 -q

Е

°° . 1 d fjl d { q \ 1 l/-i\

i=i dq ^ t dq[l-q) (1 - q)2 p2

Дисперсию определяем через второй начальный момент:

ОО 00 оо

*2[x)=j2x2iPi =EIXJ

Для вычисления суммы ряда 2q 1-1 умножим ряд (1) на q и

і =1

1 + g (I-?)3'

продифференцируем по q:

к dq\( 1Умножая на р = 1 — получим

а (J) = д>=а (jr)_TO2=_IdJL. ^ =

2 (1-в) (I-?)2 (I-?)2 P2

Полученное распределение можно связать с распределением Паскаля:

p{Y = k) = qkp (* = 0,1,2,...)

с характеристиками: m = У--,Dy = Легко видеть, что случайная

р р2

величина X выражается через У следующим образом: X = У + 1. Распределение случайной величины X можно назвать «сдвинутым на 1 распределением Паскаля».

5.16. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Рассматриваются случайные величины:

X — разность между числом попаданий и числом промахов; Y— сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин Ху Уряд распределения. Найти их характеристики: mx,Dx,my,Dy.

Решение. Ряд распределения величины X имеет вид xi -2 0 2 Pi і 2 pq Р2

гдeq = 1 - р.

mx=-2q2+2p2 =2 (р - q); a2[X] = 4(q2 + р2)'

Dx =а2[Х]-т2 = 8pq.

Случайная величина Y фактически не случайна и имеет одно значение 2; ее ряд распределения:

Уі 2

± ;ту =2; Dy = 0.

Pi 1

5.17. В нашем распоряжении имеется п лампочек; каждая из них с вероятностью р имеет дефект. Лампочку ввинчивают в патрон и подают напряжение; после чего дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой.

Рассматривается случайная величина X — число лампочек, которое будет испробовано. Построить ее ряд распределения и найти математическое ожидание тх.

Решение. Ряд распределения величины X 1 2 3 і ті Pi Q pq p2q n-l

Р

где q = 1 - р. i-vn 1 -p

in/"1 =ті —1

тПг = у ip% lq + прп 1 = q — ^ dp

і =1 Случайная величина X подчинена закону Пуассона с ма-тематическим ожиданием а — 3. Построить многоугольник рас-пределения и функцию распределения случайной величины X. Найти: а) вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание; б) вероятность того, что величина X примет положительное значение.

Ответ: а) 0,423; б) 0,950.

Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший (стационарный пуассоновский) поток. Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вы-зовов.

Ответ: 0,0902.

При работе электронной вычислительной машины время от времени возникают неисправности (сбои). Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятности следующих событий:

А — за двое суток не будет ни одного сбоя;

В — в течение суток произойдет хотя бы один сбой;

С— за неделю работы машины произойдет не менее трех сбоев.

Ответ. Р(Л) = 0,050; Р(В) = 0,777; Р(С) = 0,998.

При заданном положении точки разрыва снаряда цель оказывается накрыта пуассоновским полем осколков с плотностью X = 2,5 [оск./м2]. Площадь проекции цели на плоскость, на которой наблюдается осколочное поле, равна 5=0,8 [м2]. Каждый осколок, попавший в цель, поражает ее с полной достоверностью. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Ответ. 0,865.

Та же задача, но каждый осколок, попавший в цель, поражает ее не с полной достоверностью, а с вероятностью 0,6.

Решение. Рассмотрим вместо заданного поля осколков «поле поражающих осколков» с плотностью Х*=Х -0,6 = 1,5 [пор. оск./м2]. Математическое ожидание числа поражающих осколков, попавших в цель, будет а* = X* s = 1,2 [пор. оск.]; отсюда вероятность поражения

Rx= 1 - е"а* = 1 - 0,301 = 0,699.

Другое решение: по формуле полной вероятности с гипотезами Нт — в

ат

цель попало га осколков (га = 1,2, ...). Р(#т) = Рт = —е"а, а = Xs = 2.

га !

А - поражение цели,Р(Л|#т) = 1 - (1 - 0,6)т; Р(Л) = [1 - (1 - 0,6)т ] = 1 - Р0 - t[a{l 0,6)Ге-а =

771=1

т= 1

га 1 5.23. Электронная лампа работает исправно в течение случай-ного времени Г, распределенного по показательному закону: т=

О при t < 0, \ie~м при t > 0. По истечении времени Г лампа выходит из строя, после чего ее немедленно заменяют новой. Найти вероятность того, что за время т: а) лампу не придется заменять; б) лампу придется заменять ровно три раза; в) лампу придется заменять не менее трех раз.

Решение. Отказы ламп образуют простейший поток с плотностью Математическое ожидание числа отказов X за время т равно а = [IT.

а)Р„=е-^; б)Р,=М.е^т;

5.24. Техническое устройство состоит из трех узлов; в первом узле щ элементов, во втором п2 элементов, в третьем щ элементов. Первый узел безусловно необходим для работы устройства; вто-рой и третий дублируют друг друга. Время исправной работы каждого элемента распределено по показательному закону; среднее время работы элемента, входящего в первый узел, равно во

второй ИЛИ третий узлы — t[Первый узел выходит из строя,

если в нем отказало не менее двух элементов; второй узел (так же, как и дублирующий его третий) выходит из строя при отказе хотя бы одного элемента. Для выхода из строя устройства в целом достаточно, чтобы отказал первый узел или второй и третий вместе. Найти вероятность того, что за время т устройство выйдет из строя.

Решение. Вероятность выхода из строя одного элемента первого, второго или третьего узлов за время т равна соответственно рх = 1 — ехр

/(2) 1ср

ср

Р2 = Рз = 1 - ЄХР 5.26. гдеехрх = е .

Вероятность выхода из строя первого узла за время т:

я i-i

Вероятности выхода из строя второго и третьего узлов: Р2= 1-(1-р2)»*; Р3=1-( 1-РзГ3Вероятность выхода из строя всего устройства: p=p1 + (i-p1)p2p3.

5.25. Искусственный спутник земли, движущийся по своей орбите в течение п суток, может случайным образом сталкиваться с метеоритами. Метеориты, пересекающие орбиту и сталкивающиеся со спутником, образуют пуассоновский поток с плотностью х (метеоритов в сутки). Метеорит, попавший в спутник, пробивает его оболочку с вероятностью р0. Метеорит, пробивший оболочку, с вероятностью рх выводит из строя аппаратуру спутника. Найти вероятности следующих событий:

А — за время полета спутника его оболочка будет пробита;

В — за время полета спутника его аппаратура будет выведена из строя;

С — за время полета спутника будет пробита только оболочка спутника, а аппаратура будет действовать.

Решение. Математическое ожидание числа метеоритов, пробивающих оболочку: а о = хпРо• Математическое ожидание числа метеоритов, пробивающих оболочку и поражающих аппаратуру: «1 =X*PiPoР(А) = 1 — е~а° = 1 — е~хпр°;

Р(5) = 1 — е-"1 =l-e"XWl; Р(С) = Р(А) - Р(В) = - е"хпро.

Число атак истребителей, которым может подвергнуться бомбардировщик над территорией противника, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием а = 3. Каждая атака с вероятностью 0,4 заканчивается поражением бомбардировщика. Определить: а) вероятность поражения бомбардировщика; б) ту же вероятность, если число атак истребителей — не случайная величина и в точности равна трем.

Ответ, а) 0,699; б) 0,784.

При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время Т работы прибора от его включения до возникновения неисправности распределено по показательному закону с параметром У: №=

ye vt при t > 0, 0 при t < 0. При возникновении неисправности она мгновенно обнаружи-вается, и прибор поступает в ремонт. Ремонт продолжается время после чего прибор снова включается в работу. Найти плотность распределения / * (t) и функцию распределения F* (t) промежутка времени Т* между двумя соседними неис-правностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что время Т* будет больше 210. Решение. Т* = Т-М0, /* (0 = F* (0 =

ve~v{t~to) при t>t0, 0 при t о1_e-v(t~t0) при t>t0, 0 при t < t0. M[T*] = i-M0; D [Г*]= 1

у2

Р(Т* > 2t0) = 1 — F*(2t0) = е~ 5.28. Время Т между двумя сбоями вычислительной машины распределено по показательному закону с параметром X:

f(t)- Хе~Х' при *>0' [О при t < 0.

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени т. Если за время т произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время т после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина 0 — время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения и математическое ожидание (среднее время решения задачи).

Ответ. Случайная величина 0 дискретна и имеет ряд распределения е, т 2т ІТ Pi Р pq pq''1 где р = е"Хт ; q=l-р=1-е Хт;

т т

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что за данное времяt = кт будет решено не менее m задач (тп< к).

Решение. Обозначим Pm к вероятность того, что за время t = кг будет решено ровно т задач. Рт к есть вероятность того, что из к промежутков времени т ровно m будет таких, в которых не будет сбоев. Вероятность того, что за время т не будет сбоя: р = Р(Т > т) = е"Хт. По теореме о повторении опытов

Р

. /О771 771 к—т Г*т — тХт/-і Хт \к—т

ш,к =ск Р 9 =ск е (1-е )

Вероятность того, что будет решено не менее т задач:

пределено по показательному закону с параметром X. Волк бежит перпендикулярно цепи. Любой охотник стреляет по волку только в случае, если волк пробегает от него не дальше чем на расстоянии Д0, и, выстрелив, убивает его с вероятностью р. Определить вероятность того, что волк будет убит, если он не знает, где расположены охотники, и цепь достаточно длинна для того, чтобы волк с достоверностью не пробежал за пределами цепи.

Решение. Цепь охотников (рис. 5.30) может рассматриваться как пуассоновская последовательность точек на оси Ох. Волк, бегущий по направлению, указанному стрелкой, обстреливается в случае, если в полосу шириной 2R0j связанную с его траекторией, попадает хотя бы один охотник. Каждый охотник, если ему придется стрелять по волку, с вероятностью р оказывается «удачливым», т.е. убивает волка. Перейдем от «цепочки охотников» на оси Ох к «цепочке удачливых охотников», имеющей плотность X* = \р. 2R0

Волк будет убит в случае, если в отрезок длиной 2R0y случайно брошенный на ось абсцисс, попадет хотя бы один «удачливый» охотник; вероятность этого: -2 R0\p

Р(А) = 1 - е"2*°х* = 1 - ¦ 5.31. Рассматривается равномерное пуассоновское поле точек на плоскости с плотностью X. Найти закон распределения и чи-словые характеристики гаг, Dr расстояния R от любой точки поля до ближайшей к ней соседней точки.

Решение. Найдем функцию распределения F(r) величины R. Для этого проведем вокруг точки поля ок-ружность радиуса г (рис. 5.31). Для того чтобы расстояние R от этой точки до ближайшей к ней соседней было меньше г, надо, чтобы в круг попала хотя бы одна точка (кроме данной). По свойствам пуассоновского поля вероятность этого события не зависит от того, есть ли уже в центре круга точка или ее нет. Поэтому

Рис. 5.31 F(r) = 1 - e_1tr2x при r> О,

откуда —ivXr 2

2ітХге О

при г > О, при г < О.

/(г) =

Такой закон распределения называется законом Рэлея.

_1_ ітХ

а

о 1 1

4 — 11 4-кХ

Dr=*2[R)-m2r=±--±

ттХ 4Х 5.32. Деревья в лесу растут в случайных точках, которые образуют пуассоновское поле с плотностью X (среднее число деревьев на единицу площади). Выбирается произвольная точка О в этом лесу. Рассматриваются случайные величины:

Rx — расстояние от точки О до ближайшего к ней дерева; R2 — расстояние от точки О до следующего по порядку (второго по удаленности) дерева;

Rn — расстояние от точки Одо n-го по удаленности дерева. Найти закон распределения каждой из этих случайных величин.

Решение. Функция распределения случайной величины R1 найдена в предыдущей задаче:

Fl(r) = l-e~^ (г >0).

Функция распределения F2{r) = Р(Д2 < г) равна вероятности того, что в круг радиуса г попадет не менее двух деревьев:

F2(r) = 1 - е"^2х - ттг2Хе-*г2х (г > 0).

Аналогичными рассуждениями получим

Fn(r) = P(Rn <г) = 1-^~е-а (г > 0, п > 1),

Плотность распределения получим дифференцированием Fn (г) по г:

da dr { to к\ t0k\ j

n-l

= — e~° 2тгХг (г > 0).

(п-l)! V '

В пространстве трех измерений случайным образом расположены точки. Число точек в некотором объеме пространства v есть случайная величина, подчиненная закону Пуассона с математическим ожиданием а = \v, где X — среднее число точек, находящихся в единичном объеме. Требуется найти закон распределения расстояния R от любой точки пространства до ближайшей к ней случайной точки.

Решение. Функция распределения F(r) есть вероятность того, что в сферу радиуса г попадет хотя бы одна точка:

F(r) = P(Rгдev(r) = —тгг3 — объем сферы радиуса г. Отсюда 3

О -Х^г3

/(г) = 4тгг \е 3 (г > 0).

В некотором звездном скоплении звезды образуют трехмерное пуассоновское поле точек с плотностью X (среднее количество звезд в единице объема). Фиксируется одна (произвольная) звезда и рассматриваются: ближайшая от нее звезда, следующая (вторая) по удаленности, третья и т.д. Найти закон распределения расстояния R от данной звезды до п-й в этом ряду.

Ответ. Функция распределения Fn (г) имеет вид

FAr) = l-J2^e-a,raea = ^r3\ (г >0); к=0 * ' 6

плотность распределения

/п (г) — -j^- = 4тгХг2 (г > 0).

аг (п - 1)!

5.35*. Предыдущие задачи можно обобщить на произвольное число измерений N: в N-мерном пространстве случайным образом расположены точки. Число точек, попадающих в некоторую замкнутую область V этого пространства, есть случайная величина X,

подчиненная закону Пуассона. «Объем» v этой области Vопределяется так:

v = I ml "dxv

(V)

Математическое ожидание случайной величины X будет равно \vy где X — среднее число точек, находящихся в единичном объеме.

Требуется найти закон распределения «расстояния» R от любой точки этого пространства до ближайшей случайной точки. Под «расстоянием» R между двумя точками х(хг,х2, ...,xN) и y(y1,y2J ..., Ун)понимается величина

R = ^jt(x' -У*?Решение. Известно, что объем vN (г) гиперсферы радиуса г в ЛГ-мерном пространстве равен n+l n-1

2 2 TV 2 N Г

NW

N_

2тт2

vN{r) =

N-2

N

при N - нечетном, при N — четном, при TNT!! = 1 -3-5-7 -... -N (при нечетном N). Заметим, что «пло-щадь» поверхности гиперсферы SN(r) радиуса г в iV-мерном пространстве определяется так:

d N

sn(v) = T'v" (r) =z—vn (r)аг г

Функция распределения случайной величины R будет равна вероятности того, что в гиперсферу радиуса г попадает хотя бы одна случайная точка:

F(r) = Р(Д < г) = 1 - е"х^(г)

(г>0),

откуда -\vN(r)

(г >0).

f(r) = \SN(r)e 5.36*. Рассматривается JV-мерное пространство, в котором задано пуассоновское поле точек с плотностью X (среднее число точек в единице iV-мерного объема). Найти закон распределения расстояния от произвольной точки поля до п-й от нее в порядке возрастания расстояния. Ответ. Функция распределения

Fn(r)=1-?jre_a

к=о

где а = \vN (г); плотность распределения

. n-l fn(r) =

e~a\SN(r) (г > 0)

(п-1)! (см. задачу 5.35).

5.37. Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром а. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль ставится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.

Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание М[Т].

Решение. и 2 2,5 3 6 Pi е- ае~а 2 а2)

1- е~а 1 + а + — 2 + 6

1 -е'

1 + а +— 2

М[Т] = е~а 2 + 2,5а +-а2 = 6 — е~а (4 + 3,5а + 1,5а2).

5.38. Производится вынужденная посадка самолета на мелкий кустарник. Точки, в которых растут кусты, представляют собой равномерное пуассоновское поле точек с параметром X. Размах крыльев самолета равен г, а длина пробега L. Благополучная посадка возможна, если самолет не заденет ни одного куста (размерами кроны куста можно пренебречь). Определить вероятность р того, что самолет произведет благополучную посадку.

Ответ. р = е~ .

5.39*. Обследуется группа животных; каждое из них с вероятностью р является больным. Обследование производится путем анализа крови. Если смешать кровь п животных, то анализ этой

смеси будет положительным, если среди п животных будет хотя бы одно больное. Требуется обследовать большое число N животных. Предлагается два способа обследования:

обследовать всех N животных; в этом случае нужно провести панализов;

вести обследование по группам, смешав сначала кровь группы из п животных; если анализ отрицательный, считать, что все животные группы здоровы, и переходить к следующей группе из п животных; если анализ положительный, обследовать каждое из п животных и после этого переходить к следующей группе (п> 1).

Определить, какой способ обследования выгоднее — первый или второй — в смысле минимального среднего числа анализов. Определить, при каком п = п* для обследования группы животных потребуется в среднем наименьшее число анализов.

Решение. Случайная величина Хп — число анализов на группу из п животных при втором способе — имеет ряд распределения Xi 1 71+1 Рг п

Q 1 п

1 ~ Q

Среднее число анализов на группу из п животных при втором способе будет

М [Xn} = qn +(n + l)(l — gn) = n — (nq " -1).

При первом способе на группу из п животных приходится п анализов. Очевидно, при nq п < 1 первый способ выгоднее второго, а при nq п > 1 второй способ выгоднее первого.

Установим, при каком q второй способ становится выгоднее и каково при этом будет оптимальное значение п — п*. Из неравенства nq п > 1 вытекает q > -4=г, а из последнего q > 0,694, так как

Vn

1 о

минимум —j= для целых п достигается при п = 3.

Уп

Предположим, что<7 > 0,694, и найдем то значение п = л*, которое обращает в минимум среднее количество анализов, приходящееся на одно животное:

п п

Для этого надо найти наименьший положительный корень уравнения dK

dn

-g»lng--L = 0,

nl взять ближайшие к нему два целых числа и прямой подстановкой

их в Rn выбрать оптимальное п*. Уравнение — qn\nq = —

п

подстановкой — lng = a; an = х приводится к х2е~х = а х х|а = -lng < ^^ = 0,366І Последнее уравнение при малых а (и, л/а

значит, малых р = 1 — q) имеет решение х « л/а, откуда п* При немалых а непосредственное сравнение величин Д2> ^з и по" зволяет сделать вывод о том, что Д3 < R2 всегда и что R^ < R4 при 0,694 < q < 0,876; следовательно, при 0,694 < q < 0,876 оптимальное п* = 3. Можно показать, что при q > 0,889 (р < 0,111) хорошее при-ближение дает формула п* « + 0,5.

VP

а х

Рис. 5.40

5.40. Случайная величина X распределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (0, а) (рис. 5.40).

а) Написать выражение плотности распределения.

б) Найти функцию распределения F(x).

в) Найти вероятность попадания случайной величины Хна участок от а/2 до а.

г) Найти характеристики величины X: тх,

Аг^М'зйПб )F(x) =

в) ад- '2 1 хї — при а а, 0 при X f X — 2 при а а, 1 при м _ 1 2) ~ 4 Ответ.

а )/(*) = а

3V25

v а п а

ст. =

г)т-=?; ^їйг

5.41. Функция распределения случайной величины X задана графиком (рис. 5.41). Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.

Ответ, т.

а+ 6. D =(а-Ь)2

2 12 5.42. Случайная величина X подчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке от —а до + а (рис. 5.42, а).

а) Написать выражение плотности распределения.

б) Построить график функции распределения. Л®) -а 0 А

t— х

Рис. 5.42

в) Найти числовые характеристики случайной величины X:

mx1Dx1Gx,\Lz[X].

г) Найти вероятность попадания случайной величины X в ин( а ) тервал — —; а I.

Ответ. i-ії!

а )/(*) =

при xG(-fl,fl), при х & (—а, а). б) График функции распределения при х Є (—а, а) составлен из двух участков парабол (рис. 5.42, б).

в)тх=0; Dx =*>[*] = О- г)Р

Хе

а

~2'й)) 5.43. Случайная величина X распределена по закону Коши:

1 -f- X а) Найти коэффициент а; б) найти функцию распределения F(x); в) найти вероятность попадания величины X на участок (-1, +1); г) существуют ли для случайной величины X числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия?

Ответ, а) а = -; б) F(x) = -arctgx + і; в) P(-l < X < 1) = -;

-к -к 2 2

г) характеристики тх и Dx не существуют, так как выражающие их интегралы расходятся.

Рис. 5.44

5.44. Случайная величина X подчинена показательному закону распределения с параметром |JL:

-\1Х

}1Є

О

при х > О, при х < 0.

а) Построить кривую распределения;

б) найти функцию распределения F(x);

в) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.

О т в е т. а) См. рис. 5.44;

0 при х < 0,

-|l.x

б )F(x) =

1

при х > 0; 1

: 0,632.

= 1

ІМ>

в)тп1 =-; Р Х<- { M-J 5.45. Случайная величина X подчинена закону Лапласа: f(x) = ae"xw (\>0).

а) Найти коэффициент а; б) построить графики плотности распределения и функции распределения; в) найти тхи Dx. X

Ответ. а)а = —;

2

fieпри при

б) F(x) =

X < О, х > 0.

Рис. 5.45

Графики плотности распределения и функции распределения даны на рис. 5.45, я, б.

\z

5.46. Случайная величина R — расстояние от точки попадания до центра мишени — распределена по закону Рэлея (рис. 5.46): Ате~н2 О

г > О, г < 0.

при при

/(г) =

Найти: а) коэффициент А; б) моду Ж случайной величины Л, т.е. точку максимума ее плотности распределения; в) mr и Д.;

Рис. 5.46

г) вероятность того, что в результате выстрела расстояние от точки попадания до центра мишени окажется меньше, чем мода.

.2.Л-, 1

Ответ. а)А = 21г2;б)М-- = - 4

hy/2 '

4 — -к

в )тпг =

Dr

= М'

2h '

г) Р(Л < М) = 0,393.

5.47. Случайная величина X с вероятностью ^ имеет плотность распределения Д (ж), а с вероятностью р2 ~~ плотность рас-пределения /2(х) + — Написать выражение для плотности распределения и функции распределения величины X Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. По формуле полной вероятности (с гипотезами Н{ — величина X имеет плотность распределения fi (х), i= 1, 2) получаем

х

F(x) = Р(Х < х) = (®) + p2F2 (ї), где (г) = J /, (г) dr;

— ГІГІ

4h

/(«)= Pi/i(®) + Pa/a(s);

<_XJ CXJ

mx =Pi f xf1(x)dx+p2 Jxf2(x)dx = p1m{x1) + p2m(2\

где — математические ожидания для распределений

/і(«)./2(®); ои оо

Dx — Pi f х ^(х) dx + p2 Jx2f2(x) dx — m2 —

— 00 —OO

= Pl<*2] +P2a22) ~ ml>

где a (2X), a (22) — вторые начальные моменты для распределений /г (х) и f2(x).

5.48. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром dv но проходит через отверстие диаметром d2 > dl, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика D есть нормально распределенная случайная величина с

d0 — d

-. Определить вероD, + gL

характеристиками md = 1 z

¦и a.

2 4

ятность р того, что шарик будет забракован. Решение. 1 - ф* Ч - rnd > _ ф* dl - md) < Gd J p = l-P(dx (d2 - dl

2ф*

р = 1- 1

= 2 - 2Ф*

2a j

2a . и по таблицам функции Ф* (я) (см. прил. 1 табл. 2) находим р = 2 - 2Ф* (2) = 0,0456.

5.49. Известно, что размер D шарика для подшипников является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Браковка шарика производится так же, как указано в задаче 5.48. При этом известно, что средний размер шарика равен

+ d0

Ш,

, а брак составляет 10 % всего выпуска. Определить среднее квадратическое отклонение диаметра шарика od. Решение. Вероятность брака ~ dl

= 0,1,

2а j

Р = 2 - 2Ф* d2 — d1>i

откуда Ф*

2а j

= 0,95. По таблицам функции Ф* (х) (см. прил. 1 Рис. 5.50

^ d^ — d, d0 — d,

табл. 2) находим — L = 1,25; а^ = —

2а, 2,5

2/3

0

5.50. На перекрестке стоит автоматический светофор, в кото-ром 1 мин горит зеленый свет и 0,5 мин — красный, затем опять 1 мин горит зеленый свет, 0,5 мин — красный и т.д. Некто подъез-жает к перекрестку на автомобиле в случайный момент, не связанный с работой светофора. Найти: а) вероятность того, что он проедет перекресток, не останавливаясь; б) закон распределения и чиАож =а2[Гож]-(М[Гож])2 =

= 02 . - + I f . —dt - (0,083)2 « 0,0208 [мин2]; з aJ пк 4 у L 1

0,5

ст, ^0,144 [мин].

5.51. Кривая распределения случайной величины X представляет собой полуэллипс с полуосями а и Ь (рис. 5.51, а).

-а 0

Рис. 5.51

Величина а известна. Требуется определить величину Ь, найти тх1 Dx, найти и построить функцию распределения F(x).

Решение. Величина Ь находится из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения:

ъаЬ _ 2

2 ' тта

Плотность распределения при хє(—а;а),

Ь Г1— . — л/а — х а

0 при х^(-а;а). Математическое ожидание тх = 0. Дисперсия

оо 2

= fx2f(x)dx = ?~; 1

2 . x a тт

+ a arcsm—I

a 2

,1-xL

X

тта

F(x)= f f(x) dx =

при x < —a, хл[а при — a < x < a, 1 при x > a.

График функции .F(x) приведен на рис. 5.51, б.

5.52*. Показать, что функция вида

axse ^ при я>0, О

при х < О, где а > 0 и а > 0 — некоторые постоянные и s — натуральное число (5=1,2,3,...) обладает свойствами плотности распределения. Оп-ределить параметры а и а, исходя из заданного математического ожидания тх, и найти Dx.

Решение. Параметры а и а находятся из условий

оо оо

f axse-("x)2dx = 1, Jaxs+1e~{ax)2dx = mx.

о о

Данные интегралы заменой (ах) =t приводятся к гам-ма-функции Эйлера:

s + 1) 2 J

ОО 5—1

Гxse~{ax)2dx = —— Ге~Ч 2 dt =

j 9rv5+1 j

2a5+1 2as+1

и 0

oo

гдеГ(га) = Je~itm~1dt (m > 0),причемГ(га + 1) = тГ(ш)идляце- (2га -1)!! 2"

Ґ

2;

лых га = 1, 2, ... получаем Г(п + 1) = га!, Г га +

(2га — 1)!! = 1 - 3 - 5... (2га — 1). Из заданных условий находим 5 + 1

5 + 2 5+2

5+1

1; а2а

2а откуда Г5 + 1

тШ

5 + 1

а =

а —

1 I 2 ) Второй начальный момент

8 + 1

2a2 ;

1

2a

a2[X] = f axs+2e~(ax)2dx = a- 0 fs + 31 S+ lp fS + 1) 2 J 2 2 J s+3

—a

2a5+1a2

откуда (5 + 1)Г2 [5 + 1]

2 J 2Г2 fs + 21 2 j 8 + 1 2а2

Dx=a2[X]-m2x

га„

тп

Некоторые из законов вида fs (х) имеют определенные названия: fl (х) называется законом Рэлея, а /2 (х) — законом Максвелла. Для закона Рэлея (5=1) при х > О, при х < О

ахе О

Л(®) =

І-1 IT

имеем соотношения 1 л/тс

Д, = го;

а =

а = 2а2 = • 11

2 ' 2го2

Для закона Максвелла (s = 2) 2Л—а я

при х > О, при х < О

ах е О

/2оо=

имеем соотношения 2

Зтс

1 .

4а3 32 2

тТытс а/ТС тс ГО!! 2 2 -ах

ах е

при х > О, при х < О

О

Замечание. Все законы вида № при заданном 5 являются однопараметричными, т. е. зависят только от одного параметра, в качестве которого можно задать, например, математическое ожидание (или дисперсию).

5.53*. Имеется случайная величина X, распределенная по нор-мальному закону с параметрами га и а. Найти выражение для величины a a [X] — начального момента 5-го порядка.

Решение. Выразим начальные моменты a a [X] = M[XS ] через центральные моменты\х3[Х] = М[(Х - га)5]:

аДХ] = М[(Х-го + тГ]=?С7Я [Х\ш "k, \i0[X] = l.

k=o

Для центральных моментов при нечетном s = 2п + 1

оо 1 (х—т )2 I f Т — 1Г)Л5

V.t[X] = -±= f {х-ту Г2 °2 & =

—00

1 ,.2

1 Г 9У

= —L= Г у°е ^ dy = О,

ал/^гс J

а при четном s — 2ть — по формулам предыдущей задачи

1 ,.2

ра[Х] = -±= f yse^V dy = aV2iv J 2 n + V

2 J/ /гт\2»+1

2 о* _( і J2 2 Г

гг^/9тг J ггЛ/9тг

aV^rc JQ aV^rc 2 v '

= (2ra — l)!!a2n .

Например,

= a2; a2[X] = ra2 + a2;

a 3[X] = m3 +3 a2m; H4[X] = 3a4; a4[X] = m4 +6a2m2 + 3a4;

a 5 [X] = m5 + 10a2ra3 + 5-15a4ra;

|i.6[-X"] = 15a6; a 6[X] = m6 +15 a2m4 +15-3a4m2 =15a6.

5.54. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием тпх = 0. Вероятность попадания этой случайной величины на участок от -а до а равна 0,5. Найти ох и написать выражение нормального закона. Решение.

Р {-а < X < а) = 2Ф* (-) - 1 = ОД- Ф* j = 0,75.

По таблицам функции Ф* (х) имеем - « 0,675, откуда a = 1,48a,

a 4,4а

Рис. 5.55

5.55*. Функция распределения неотрицательной случайной вели- j чины Xзадана графиком (рис. 5.55). Ма-тематическое ожидание случайной ве-личины X равно тх. Показать, что тх геометрически может быть представлено площадью фигуры, заштрихованной на рисунке (ограниченной кривой у = F(rr), прямой у = 1 и осью ординат).

Решение. Имеем OU ои ои

тх = J xf(x) dx = J xF'(x) dx = - Jrc[l - ^(aOfdz.

Применяя интегрирование по частям, получим оо

тх = -х[1 - F(x)]

+

J [1 - F(s)]dz. Докажем, что первое слагаемое равно нулю:

00

ж[1 - F(rc)] = lim х[1 - F(rc)] = 0.

Действительно, для случайной величины X > 0, имеющей конечное математическое ожидание, из сходимости интеграла

00 00

J xf (х) dx следует, что J xf (х) dx О (М —> оо), и так как о м

оо оо

М f f(x) dxM получаем

M[l-F(M)]->0 (M —> oo).

Следовательно,

lim ж[1 - F(rr)] = 0. 5.56. Отсюда

mx=f [1 -F(x)]dx,

а это есть площадь, заштрихованная на рисунке.

Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием га и средним квадратическим отклонением ст. Определить абсциссы xv х^ и ординату у точек перегиба кривой распределения у = f{x) (рис. 5.56).

^ . 1 0,24

О т в е т. хг = га — а; х2 = т -f сг; у = —-==е 2 « ——.

оы2гк сг

Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием тх = 0 (рис. 5.57).

Хх ТП X

Рис. 5.56

Задан интервал (а, (3), не включающий начало координат. При каком значении среднего квадратического отклонения а вероят-ность попадания случайной величины X в интервал (а, (3) дости-гает максимума?

Решение. Значение сг найдем, дифференцируя по сг вероятность попадания в интервал (а, (3) и приравнивая производную нулю. Имеем а _t_ а

Je~2 dt — J е

Г

а,

а

Р(а <Х <$) = Ф*

*dt

Ф'

2а -е 2°2 а ' , ст2, ==0;

cb V 2-к

отсюда 120 2а

ае

(Зе и следовательно, (З - а5

а =

2(1п(3 — 1па)

(3 + а (3-а Для малого интервала (а — є, а + є)

\2

1 є

' а.

а « а Например, при - < 0,24 формула а « а имеет погрешность ме- а

нее 1 %.

5.58. Имеется случайная величина X, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием тх и средним квадратичным отклонением ох. Требуется приближенно заменить нормальный закон законом постоянной плотности в интервале (а, (3); границы сх, (3 подобрать так, чтобы сохранить неизмененными основные характеристики случайной величины X: математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Для закона постоянной плотности на участке (а, (3) (З- а

а + (3

га.

сг =

2 ' * 2л/3 Решая эти уравнения относительно а и (3, имеем а = тх - ахл/3; (3 = тх + ах л/3.

5.59. Производится стрельба по наземной цели снарядами, снабженными радиовзрывателями. Номинальная высота подрыва снаряда, на которую рассчитан взрыватель, равна а, но фактически имеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальному закону со средним квадратическим отклонением а — ~ (систематической ошибки нет). Если взрыватель не сработает над землей, взрыва снаряда вообще не происходит. Найти вероятности следующих событий:

А — при стрельбе одним снарядом точка разрыва окажется на высоте, превышающей 1,2 а;

В — при стрельбе тремя снарядами ни один снаряд не разорвется на высоте более чем 1,2 а;

С— хотя бы один из трех снарядов не разорвется; D — один из трех снарядов не разорвется, а два другие разо-рвутся.

Решение. 1,2а

1 — Ф * (2,4) = 0,0082;

а 2 )

Р(А) = Р(Х > 1,2а) = 1 — Ф5 Р (В) = 0,976.

Вероятность того, что один отдельный снаряд не разорвется: —а а 2

= 0,023;

Ро=Р(Х<0) = Ф = Р(С) = 1-(1-р0)3 = 0,068; р(D) = С\ • 0,023 • 0,9772 = 0,066.

5.60. Производится стрельба тремя независимыми выстрелами по цели, имеющей вид полосы (мост, автомобильная дорога, взлетно-посадочная полоса). Ширина полосы 20 м. Прицеливание производится по средней линии полосы; систематическая ошибка отсутствует; среднее квадратическое отклонение точки попадания в направлении, перпендикулярном полосе, 16 м. Найти вероятность р попадания в полосу при одном выстреле, а также вероятности следующих событий при трех выстрелах:

А — хотя бы одно попадание в полосу;

В — не менее двух попаданий в полосу;

С — один снаряд попадет в полосу, один ляжет с недолетом и один с перелетом.

Р е ш е н и е. р = 2Ф* f—) - 1 = 0,468;

І16 J

Р(А) = 1 - (1 - pf =0,849;

i(l-P)

= 0,199.

Р(С) = 3\р

Р(В) = 1 - (1 - pf - Зр(1 - р)2 = 0,452;

5.61. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номиналь-ный диаметр шариков d0 = 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр — случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением do и средним квадратическим отклонением ad — 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.

Решение. Вероятность того, что шарик не будет забракован:

( 01 р = 2Ф* '

— 1 = 0,954. Вероятность того, что он будет забрако(0,05 J

ван: q = 1 — р = 0,046. Следовательно, около 4,6 % шариков будет браковаться.

<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА 5СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН:

  1. ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  2. ГЛАВА 7ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  3. ГЛАВА 6СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ
  4. Так как всякая величина делима на величины
  5. 2.5. Вычисление средних величин
  6. 1.5. Факторы, влияющие на величину стоимости
  7. 33. ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОЙ ВЕЛИЧИНЫ ТОВАРНЫХ ЗАПАСОВ ТОРГОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
  8. Методы исчисления величины расходов по сомнительным долгам
  9. 8.1. Себестоимость услуг гостиничного хозяйства н факторы, влияющие на ее величину
  10. 6.2. Анализ валового дохода ресторанного хозяйства и факторов, влияющих на его величину
  11. Общая оценка величины основного капиталасферы услуг и его отраслевая структура
  12. Ошибка семнадцатая. Величина полностью легальной российскойзарплаты не позволяет ни откладывать 10% заработка как выполнение условия первого шага кфинансовой независимости, ни пользоваться даже потребительским банковским кредито
  13. Приложение 1 к Методическим рекомендациям по определению величины накладных расходов и сметной прибыли в сметной документации на ремонтно-реставрационные работы, осуществляемые за счет средств бюджета Санкт-Петербург
  14. Вопрос 43. Потребление и сбережение: взаимосвязь и различия. Предельная склонность к потреблению и сбережению Вопрос 44. Инвестиции и их функциональное значение. Факторы, влияющие на величину инвестици
  15. ГЛАВА 9 случайные функции