<<
>>

ГЛАВА 6СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ

Совокупность двух случайных величин (X, Y), рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин. Система двух случайных величин {X, Y) геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (X, Y) на плоскости хОу (рис.

6.0.1, а) или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (Х} У), составляющие которого представляют собой случайные величины Хи Y (рис. 6.0.1,6). Ах, У)

Ах> У) о

о

X Рис. 6.0.1

Система трех случайных величин (X, У, Z) изображается случайной точкой или случайным вектором в трехмерном пространстве; система п случайных величин (Хг, Х2,..., Хп) — случайной точкой или случайным вектором в пространстве п измерений.

Функцией распределения F (х, у) системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < х и Y < у:

F(x,y) = P((XГеометрически F(tг, у) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (Х} Y) в квадрант с вершиной (х, у), заштрихованный на рис. 6.0.2, а. Функция распределения F(tг, у) обладает свойствами:

F(-оо, - оо) = F(-оо, у) = F(x-oo) = 0;

F(+oo, + оо) = 1;

F(x, + оо) = F^x); F(+оо, у) = F2(?/), где ^(х), - функции распределения случайных величин Хи Y;

F (х, у) — неубывающая функция хи у.

Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R со сторонами, параллельными осям координат, включающий свою нижнюю и левую границы, но не включающий верхнюю и правую (рис. 6.0.2, б), выражается через функцию распределения формулой

Р ((X, У) ? R) = F ((3, 6) - F (а, 6) - F ((3, 4) + F (а, ч).

О Рис. 6.0.2

Плотностью распределения /(х, у) системы двух случайных величин (.X, У) называется предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный участок плоскости, примыкающий к точке (х, у), к площади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю.

Плотность распределения выражается через функцию распределения формулой

/(*. y) = dZ{dyy)=F-{X'y)Поверхность, изображающая функцию /(х, у), называется поверхностью распределения.

Элементом вероятности для системы двух случайных величин называется величина /(х, у) dx dy, приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами dx,, dy, примыкающий к точке (х, у).

Вероятность попадания случайной точки (X, У) в произвольную область D выражается формулой

Р((Х,У)? Д) = JJ f(x,y)dxdy.

(D)

Свойства плотности распределения

1)/(*,2/)>0;

00

2 )ff /(*, у) Л/ = 1.

Функция распределения системы выражается через плотность распределения формулой

х у

F(x, у) = J J f(x, у) dx dy

—00—00

(интегрирование производится сначала по у, а потом по х).

Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, выражаются через плотность распределения системы формулами

ОО 00

/і(я)= f f(x,y) dy;f2(y)= Jf(x,y) dx.

-00 -00

Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные функции распределения случайных величин X и У, входящих в систему, обозначаются F^ (х\ у) и F2(у | х), а условные плотности распределения - /j (х| у) и /2 (у I х).

Теорема умножения плотностей распределения

/(*, у) = /l(z) ЛМ*) или /(х, у) = f2{y) /г(х\у).

Выражения для условных плотностей распределения через безусловные

= при

/Л*)

ШУ) = ^ при ш^о.

ЛЫ

Случайные величины (X, У) называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая:

1ЛХ\У) = А(х) или f2{y\x) = f2{y).

Начальным моментом порядка k + s системы (X, У) называется величина

ам[Х,У]=М[Х*П.

Центральным моментом порядка к + s системы (X, Y) называется величина

Расчетные формулы для определения моментов

а) Для дискретных случайных величин

* j

Vk,.[X, Y] = ??(*< - тх)\Уі - mvyPij,

І j

где Ptj = P((X = )(F = ffj));

б) для непрерывных случайных величин

с»

<**..= [X, Y) = ff *V/(*, у) dx dy;

—оо

оо

Нч-,,[Х> Y\ = ff(x~ тх)к(у - туУ/(х, у) dx dy,

—00

где f(x, у) — плотность распределения системы.

Корреляционным моментом К^ двух случайных величин (X, У) называется центральный момент порядка 1+1, т.е.

|лг1 (-Х", У) (второй смешанный центральный момент):

К„ Y]=M[XY].

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Коэффициентом корреляции гщ двух случайных величин (X, У) называется безразмерная величина

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.

Случайные величины (X, У) называются некоррелированными, если их корреляционный момент (или, что равносильно, коэффициент корреляции) равен нулю.

Из независимости случайных величин следует их некоррелированность; напротив, из некоррелированности случайных величин еще не следует их независимость.

Если случайные величины (X, У) связаны линейной функциональной зависимостью вида У = аХ -b Ь, то их коэффициент корреляции г^ = ±1, где знак + или — берется в соответствии со знаком коэффициента а.

Для любых двух случайных величин | гщ \ < 1.

Функцией распределения системы п случайных величин (Хх, Х2,..., Хп) называется вероятность совместного выполнения п неравенств вида

Х{ <х(:

, х2 , •. • j хп

) = Р(№ < Xl)(X2 < Х2) ••• (*» < Хп))•

Плотностью распределения системы п случайных величин называется смешанная частная производная n-го порядка функции распределения:

дп

f(xl, х2,..., хп) = — - - F (rr1} х2,..., хп). ах1 ох2 ... охп

Функция распределения F{ (х{) одной из величин Х{, входящих в систему, получается из F(xl, rr2,rrn), если положить в ней все аргументы, кроме xit равными +оо:

F^x^^F (+оо,+ 00,...,^,...,+ оо).

Плотность распределения отдельной величины Xit входящей в систему (Хг, Х2,..., Хп), выражается формулой

с» с»

ft(Xi)=f ••• J f(xn Х2> •••» Xn) dxl ...^i-i^i+i ... dxn.

—oo — oo

Плотность распределения отдельной подсистемы (Х{, Х2,..., Хк), входящей в систему (Хх, Х2,..., Хк, ,..., Хп), выражается формулой

оо оо

к-> •••> А- •••> хАг) — •••> •••> Хп) ^Jfc+l •••

-оо —оо

Условная плотность распределения подсистемы Хг,..., Хк при фиксированных значениях всех остальных случайных величин выражается формулой

f (Т г |г г ^ /(Дд? Х21 ХП)

Л) ¦") fc VI » • • •» xjfcl хА;+1> •¦•> п ) —

fk:+1> •••» n(Xik+l> •••> Xn)

Если случайные величины , Х2,..., Хп) независимы, то f(x1, х2,sn) = ^(xl)f2(x2)...

/п(жп).

Вероятность попадания случайной точки (Х1}Хп)в пределы п-мер- ной области D выражается n-кратным интегралом

Р((Х„ ..., Хп) ?D) = f ... f f(xy,..., хп) dx, ...

Корреляционной матрицей системы п случайных величин (Хх, Х2,..., Хп) называется таблица, составленная из корреляционных моментов всех этих величин, взятых попарно кп ки... к1п

11**11 =

К21 ^22 ••• п

Km Кп2 ••• Кп где K{j = Кх.х = М[Х{ Xj] — корреляционный момент случайных величин Х{, Xj.

Корреляционная матрица симметрична: K{j = Кj{, поэтому обычно заполняется лишь половина таблицы,

Ки К12 ... К1п

К22 ••• К2 п

По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин (Хг, Х2,..., Хп):

Ки = D[X, ].

Нормированной корреляционной матрицей системы п случайных вели-чин называется таблица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно,

1 г12 Г13 ••• Г\п 1 Г23 ... Г2п

1 ...Г,

3 п -І

где rf

— коэффициент корреляции величин Х{ , Xj. Нормальный закон распределения для двух случайных величин (X, Y) (нормальный закон на плоскости) имеет плотность вида ( х—тх)2 2г(х-тх)(у-ту) ^ (у-ту)2

/(я, у) = ¦

Сст„л/Г

2 то

2(1 -г2) где nip ту — математические ожидания случайных величин Х} Y;gx, а — их средние квадратические отклонения; г — их коэффициент корреляции.

Для случайных величин, распределенных по нормальному закону, некоррелированность равносильна независимости. Если случайные величины (X, У) некоррелированы (независимы), то г = 0 и

(х-тх)2 | (у-ту )

Дя, у) = —~—е 2

2-ка хау

В этом случае оси Ох, Оу называются главными осями рассеивания, а ох, су — главными средними квадратическими отклонениями.

Если при этом тх = тпу — 0, то нормальный закон принимает канонический вид: 2а2х 2 а2у

/(я, у) =

2 ІГСГЛТ,, Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону, в прямоугольник R (см. рис. 6.0.2, б) с осями, параллельными главным осям рассеивания, выражается формулой о — 777,

а. - пі

_ фі

ф*

ф*

ф1

ЩХ, Y) є R) = Эллипсом равной плотности (эллипсом рассеивания) называется эллипс, во всех точках которого плотность распределения f(x, у) нормального закона постоянна: f(x, у) = const.

Полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям:

а = k ах]Ь = к ау.

Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону, в область Ек, ограниченную эллипсом рассеивания, равна

Р((Х, Y)eEk) = 1-е"»,

где к— размеры полуосей эллипса в средних квадратических отклонениях.

Если GX = GY = сг, рассеивание по нормальному закону называется круговым.

При круговом нормальном рассеивании с тх — ту =0 расстояние R от точки (X, У) до начала координат (центра рассеивания) распределяется по закону Рэлея:

г'

дг) = .^-е2а2 при г> О,

О при г < О.

Нормальный закон в пространстве трех измерений для независимых случайных величин (X, У, Z) выражается формулой

l[(*-mi)2 (У~ту )2 (г-тг)'

Ґ\ о ' о ' 5

Вероятность попадания случайной точки (X, Y, Z) в область Ек1 ограниченную эллипсоидом равной плотности с полуосями а — к ох, b — к ау, с = к а.

'z>

равна 6.1. Два стрелка независимо один от другого производят по од-ному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина X— число попаданий первого стрелка; Y— второго стрелка. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка рг, для второго р2. Построить функцию распределения F(x, у) системы случайных величин (X, У).

Решение. Составим таблицу значений функции F(x, у) для различных значений аргументов. Так как случайные величины [Ху Y) независимы, то

F(x, у) = Р(Х < х) р(у <у) = Fl(x)F2(y). Построим функцию распределения Fx(x):

при х < О, Fl(x)=при х > 1,

О

F2(y)=q2=lпри у < О, р2 при 0 < у < 1, при у > 1.

где =1 — рг. Аналогично

Значения функции F(x, у) даны в таблице У X х < 0 0 < х < 1 х > 1 у< 0 0 0 0 0 < у < 1 0 <Ь х> 1 0 Qi 1

6.2. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна р. Рассматриваются две случайные величины: X — число попаданий; У — число промахов. Построить функцию распределения F(x, у)системы (X, У).

Решение. Случайные величины (X, У) зависимы, причем жестко (функционально):

X + У = 1.

Таблица возможных значений X, Y с соответствующими вероятностями будет Xi Уз 0 1 0 0 Q 1 Р 0

Значения функции F(x, у) даны в таблице

У X X <0 0 < х < 1 х> 1 у <о 0 0 0 0 < у < 1 0 0 V х > 1 0 Q 1

6.3. Функция распределения системы двух случайных величин (X, У) равна F(x, у). Найти вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D (рис. 6.3), ограниченную справа абсциссой а, снизу и сверху ординатами % 6.

О т в е т. Р((Х, У) є D) = F(a, 6) - F(a, 4). 6.4. Дана поверхность z = f(x,y), изображающая плотность распределения системы (X, У) (рис. 6.4). Задано некоторое значение я. Дать геометрическую интерпретацию: fa, У)

Рис. 6.4

Рис. 6.3

а) значению fx (х) в точке х;

б) условной плотности распределения /2 (у\х). Решение. Для данного х:

а) /j (я) изображается площадью сечения, заштрихованного на рисунке;

б) условная плотность распределения изображается кривой, каждая ордината которой равна ординате сечения, деленной на

т

6.5. Имеются две независимые случайные величины (X, У), подчиненные каждая показательному закону: при у < О, при у > 0.

О

О при х < О,

Л(®) =

Хе"

X* ____ . Л h(у) =

ре

при х > О, Написать выражения: а) плотности распределения системы; б) функции распределения системы (Xf Y). Ответ. 0 Хре

Л®, у) =

-(Xx+jiy)

при х < 0 или у < 0, при х > 0 и у > 0, F(x,y) =

0 при х < 0 или у < 0,

(1 - е~Хх )(1 - ) при X > 0 и у > 0. 6.6. Система случайных величин (X, У) распределена с посто-янной плотностью внутри квадрата R со стороной 1 (рис. 6.6 а). б

Рис. 6.6 Написать выражение плотности распределения /(х, у). Построить функцию распределения системы.

F(x,y) = 1 при (ж, у) Є л, 0 при (x,y)1, У при х>1 и 0 < у < 1, 1 при х>1 и у >1. Написать выражения /1(х),/2(у). Определить, являются ли случайные величины (X, У) независимыми или зависимыми.

Ответ. f{x, у) =

Поверхность F{x, у) представлена на рис. 6.6, б. хЄ(0,1), У Є (0,1),

У f*( 0,1)при при

при при

Л(*) = /а(у) =

Случайные величины (X, У) независимы, так как

f(x,y) = f1(x)f2(y).

6.7. Поверхность распределения системы случайных величин (X, У) представляет собой прямой круговой конус (рис. 6.7, а); основанием конуса служит круг К с центром в начале координат и с радиусом г0. Вне этого круга плотность распределения равна нулю. К?, у)

Рис. 6.7

а) Написать выражение f{x,y). б) Найти /х(х); f2(y); f2(y\x); /j(x|2/).B) Определить, являются ли случайные величины X, У зависимыми. г) Определить, являются ли случайные величины X, Y коррелированными. Решение. а)/(®.») =

^-[п, - -у/*2 + У21 при х2 +у2 < г2,

при х2 + у2 > г02; б)/г(®) = Г0 + д/го2 - X2

г0А/г02 - X2 - х2 In

гптг

при |ж|<г0, при |®|>г01 »о + Vro2 - 2/2

roVro2 - У2 - 2/21п

шМ

гп тг

при |у|<г0> при |у|>г0. Далее, при |г|< г0 при |у|< yjr2 -х2,

Г о + л/го2 Гп - л/X2 +у2

fMx) =

м

r0f[^ - X2 Ь и при |у|< г0 при |х|<

Г0 +шу) =

roVr

\У\

У -У Ь при |х|>

Я"1 в) Так как fx (х\ у) ^ fx (х), то случайные величины X, У зависимы.

г) Находим корреляционный момент так как тх = ту = 0, то

Кх* = ffxyf(x> y)dxdV =ff xyf(xJy)dxdy-h JJxyf(x,y)dxdy,

(К) (К,) (K2)

где Кх — правая половина круга К; К2 — левая половина (рис. 6.7, б). Функция xyf(x, у) нечетна относительно аргумента х, поэтому интегралы по Кг и К2 отличаются только знаком; в сумме интегралы взаимно уничтожаются, значит, К = 0, и случайные величины Х> Уне коррелированы.

6.8. Система случайных величин (X, Y) распределена по закону:

/(я, У) =

1 + х2 + х2у2 Л-у2

Рис. 6.8

а) Найти коэффициент а. б) Установить, являются ли величины X, У зависимыми; найти /Дх); f2(y). в) Найти вероятность попадания случайной точки (X, У) в пределы квадрата Д, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 6 = 2 (рис. 6.8). Р е ш е н и е. а) Из условия

t-XJ

f f f{x, у) dx dy = 1 находим a =

It б) Случайные величины X, Yнезависимы:

1 , , x 1

Л(*) =

;/2(у) =

]f(x,y) = f1(x)fi(y).

•rc (1 + х2) dx dy

1

1 1

в)Р((Х,У)?Д) = f /- 6.9. Имеются независимые случайные величины X, У. Случай-ная величина X распределена по нормальному закону с параметрами: тх = 0; ох = —. Случайная величина Y распределена равл/2

номерно на интервале (0, 1). Написать выражения для плотности распределения /(х, у) и функции распределения F(x, у) системы (I, У). ^

— е~х2 при у є (0,1),

Ответ, /(х, у) = 0

F(xiy)=^F1(x)F2(y) =

при у ?(0,1).

0 при у < 0,

уф* (хл/2) при 0 < у < 1, Ф * (хл/2) при у > 1. 6.10. Поверхность распределения /(х, у) системы случайных величин (X, У) представляет прямой круговой цилиндр, центр основания которого совпадает с началом координат (рис. 6.10, а), а высота равна к Определить радиус цилиндра г, найти (х); /2 (у);

Рис. 6.10

Решение. Радиус цилиндра г определяется из условия: объем цилиндра равен единице, откуда г = J— - Плотность распреV тс h

деления /(х, у) имеет вид L 2,2^2

у)=

Л, если X + у < г , 0, если х2 + у2 > г2. Следовательно,

00

Л(х) = J f(x,y)dy =

—ОО

2-у/г2 - y2h при |2/| < г, О при \у\ > г.

График функции Д (х) показан на рис. 6.10, б. При \у\< г

при |х|< Vr2 - у2,

Аналогично,

/(д. у) /2Ы

4

г2-у2

шу) =

О

ш=

2л/г2 - x2h при [.т] < г, О при |х| > г.

при |х|> 7г2 ~ 2/2 • Аналогично, при |х|< г

при |2/| < ліг2 - х2,

Ш*) =

при |у| > л/г2 Математические ожидания равны нулю:

та: = ту =

так как функция /(х, у) четна как по х, так и по у;

Д, Гx2Vr2 -x2dx=hr*- = —;cx = -;Kxv =0.

аг J д д х 2 W

—г

6.11. Система случайных величин (X, У) распределена по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением а:

Решение.

' 0 2 — = а наа) Сравнивая с задачей 6.10, из соотношения Dx ходим г0 = 2а.

б) Сравнивая с задачей 6.7, из соотношения

Dx=4-ff*^- д/*2+У2) dx dy = АГі2 = ^2

^20 О KQ

находим г, = ——а = 2,58 а.

л/3

6.12. Случайная точка (X, У) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата Л, заштрихованного на рис. 6.12, а. Написать выражение плотности распределения /(х, у). Найти выражения плотностей распределения }г(х), f2(y) отдельных величин X, У, входящих в систему. Написать выражения условных плотностей fx(x\y) и /2(у|х). Зависимы или независимы случайные величины X, Y? Коррелированы они или нет?

Решение. Площадь квадрата равна 2, поэтому (х, у) Є R,

(х, У) ? Rпри при

f{xi у) —

1 ~х

- J dy = 1 - х при 0 < х < 1,

-(1-х) 1+х 5 fdy =

1 + х при

-(1+х)

X > 1

при

- 1 < х < 0, X < -1 или или, короче, График закона fx(x) показан на рис. 6.12, б (закон Симпсона). Аналогично, ш1-М при Ы<1, 0 при Ы>1. Далее, при \у\< 1

ЛИ»)-^

ш

а(н,|> при м<1"1*

О при |х|>1-|у|. График плотности у) показан на рис. 6.12, в. Аналогично, при |ж|< 1

1

при |2/|<1-|х|,

2 (1-М)

О при |у|>1-|а|.

Случайные величины X, Fзависимы, но не коррелированы.

f2(y\x) =

1-Ы

Ы-1 о 6.13. Плотность распределения системы случайных величин (X, Y) задана формулой 1 тУ (*-2)2-11'2(аг~2)( у +3)+( у +3)2]

f(xi у) — е

— р 1,2о

1,6 ТТ Найти коэффициент корреляции величин Х> Y. Ответ . г^ = 0,6.

6.14. Независимые случайные величины Х> Yраспределены по нормальным законам с параметрами

™х = %тУ = ~3; =1'і°У =2Вычислить вероятности следующих событий: а) (X < mx)(Y < га ); б) X < 3; в) Y < X - 5; г) \Х\< 1; д)(|Х|<1)(|У|<2). Решение.

a)P((Xб) р(х<3) = ф*

в) Искомая вероятность равна интегралу

Я

1 (*-2)г (у+3)2

—і=е 2 8 dxdy, (D) 2^

взятому по области Д где у < х — 5. Область D заштрихована на рис. 6.14; она лежит правее и ниже прямой у = х — 5. Эта прямая проходит че-рез точку с координатами тх =2; ту=— 3 (центр рассеивания). В силу симметричности нормального законаъе- роятность попадания случайной точки по одну сторону от прямой, проходящей через центр рассеивания, равна вероятности попадания по другую сторону от

1 Рис. 6.14

этой прямой, поэтому Р(У < X — 5) = -. (1 — 2

-1-2

-Ф5

= 0,1573.

г)Р(|Х|< 1)=Р(-1 <Х< 1) = Ф5

1 ) 11 д) Р((|Х|< 1)(|У|< 2)) = Р(|Х|< 1)Р(|У|< 2) = = 0,1573 ф* Ґ-2-ЗЇ 2 J 2 | = 0,0476.

6.15. Система случайных величин (X, У) имеет распределение с плотностью /(х, у). Выразить через плотность распределения вероятности событий: а) X > У; б) X >|У|; в) \Х\> У; г) У - X > 1.

Решение. На рис. 6.15, а, б, в, г заштрихованы области DaJ D6 , De, Dz, попадания в которые соответствуют событиям а), б), в), г). Вероятности попадания в них:

—ОО x оо x

а)Р(Х>7)= f Jf(x,y)dxdy; 6)Р(Х >|Г|) = / J f(x, у) dx dy;

—оо—ОО 0 —X

оо |х|

в)Р(|Х|> Y)=f f f(x, y)dxdy, г) P(Y-X> 1)=f f f(x,y)dxdy.

-OO JC + 1

6.16. Система двух случайных величин X, У распределена по нормальному закону с параметрами тх =гпу =0; ах = ау = а; г^ =0. Определить вероятности следующих событий: а) |У|< Х\ б)У<Х;в)У <\Х\.

а

б

Рис. 6.15 Решение. На рис. 6.16, а, б, в показаны области, соответствующие событиям а), б) и в). При круговом рассеивании вероят

Рис. 6.16

6.17. Случайная величина X имеет плотность распределения f(x); случайная величина У связана с ней функциональной зависимостью

У = Х2.

Найти функцию распределения F(x, у) системы (X, У).

Решение. Исходим из того, что значение случайной величины Y полностью определяется значением случайной величины X. Случайная точка (X, Y) может находиться только на кривой у = х2. Вероятность попадания ее в квадрант с вершиной в точке (я, у) равна вероятности попадания случайной точки X на проекцию на ось Ох участка кривой у = х2у попадающей в квадрант (рис. 6.17). Пользуясь этой интерпретацией, имеем

О при у < 0 или у > 0 и х < її

F{x,y) =

J f(x) dx при у > 0 и X > у[у,

-її х

J f(x) dx при у > 0 и - -її

6.18. Случайная точка (X, Y) распределена по нормальному закону на плоскости:

f(xi У) = ~е 2( +У ]•

2-гс

Найти вероятность р попадания точки (X, Y) в квадрат Л (за-штрихованный на рис. 6.18), сторона которого равна двум.

Решение. Так как рассеивание круговое (ох = оу = 1), то ко-ординаты точки (X, Y) остаются независимыми при любом повороте координатных осей, и поэтому при повороте на 45° получаем

2

Р = 2Ф* м 1. = 0,467.

6.19. Случайная точка (X, Y) распределена по нормальному закону на плоскости с параметрами

тх = 1]ту = -1;ох = 1;ау = 2; г^ = 0.

(Х-1У +

2 , (2/ + 1)2

= 1.

Рис. 6.17

Рис. 6.18

Найти вероятность того, что случайная точка попадет внутрь области Д ограниченной эллипсом

Решение. Область D ограничена эллипсом рассеивания Ev с полуосями а = о = 1, Ь — ст =2; вероятность попадания в эту область р = 1-е 2 « 0,393.

Производится стрельба по точечной (малоразмерной) цели снарядом, зона разрушительного действия которого представляет собой круг радиуса г. Рассеивание точки попадания снаряда круговое, с параметрами тх =rny = 0; a.,. =оу =2г (центр рассеивания совпадает с целью). Сколько выстрелов нужно произвести для того, чтобы разрушить цель с вероятностью Р = 0,9?

Решение. Вероятность разрушения цели при одном BblCTpe- tO^)2

ле р = 1 - е 2 «0,118. Потребное число выстрелов

- lg(l -р) lg 0,882

Система трех случайных величин (Ху Yy Z) имеет плот-ность распределения / (я, у, z). Написать выражения:

плотности распределения fx (х) случайной величины X;

плотности распределения /2 3(у,г) системы случайных величин (Yy Z);

условной плотности распределения /2 3 (у, z\x);

условной плотности распределения /2\у\х, z)\

функции распределения F(x, у, z);

функции распределения F1 (х) случайной величины X;

функции распределения Fx 2(х, у) системы (X, Y).

оо '

Ответ. 1 )Д(х) = J Jf(x,y,z)dy dz;

—oo

oo

/2,3(y>z)= f f(x,y,z)dx;

—OO

QW / і л /(*> У>z)

/2,3 (г/. «I®) = — ;

f ff(x,y,z)dydz

—OO

ff(x,y,z)dy

—OO

x У z

5) y,z) = J J J f(x,y,z)dxdy dz\

I оо оо

Fx (х) = F(x, оо, оо) = J J J f(x,y,z)dxdy dz\

—OQ—OQ—OQ

X у 00

F1|2(x, y) = F(x, y, oo)= J J f f{x,y,z)dxdy dz.

-oo—OO—00

Производится стрельба одним снарядом по точечной (малоразмерной) воздушной цели. Рассеивание точки разрыва снаряда происходит по нормальному закону; центр рассеивания совпадает с целью; средние квадратические отклонения ах=ау = = az = ст. Цель поражается, если расстояние между ней и точкой разрыва снаряда не превышает г0 = 2а. Найти вероятность р того, что при одном выстреле цель будет поражена.

Решение. По формуле для вероятности попадания в эллипсоид равной плотности имеем

F)

р = Р((Х, У, Z) Є Е2) = 2Ф * (2) - 1 - • 2е~2 « 0,739.

ЛГГС

Система трех случайных величин (X, У, Z) распределена равномерно внутри шара S радиуса г. Написать выражение плотности распределения системы /(х, у, z), плотностей распределения fx(x), /2(у) и f3(z) отдельных величин, входящих в систему, а также условной плотности распределения fx (х|у, z).

Решение. /(х, y,z) =

с при x2+y2+Z2< г2, О при X2 + у2 + Z2 > г2. Постоянную с находим из условия, что объем шара 5, умно4 з 3 женныи на с, равен единице: —-кг с = 1, откуда с =

3 4тгг

Плотность (х) определяется выражением

оо

Л (*) = f f f(x. У. *) dy dz.

При І > Г, очевидно, /j (ж) = 0. При | х\ < г имеем

с при (y,x)eDx,

f(x, у, z) = •

О при {y,z)gDx> где Д. — круг радиуса л/г2 — х2 (рис. 6.23, а, б). Следовательно, а

б

Рис. 6.23 fx(x) = JJ*с dy dz = сіх (г — x2) (|ж|< г)

(Dx) г2 -х2

г

Таким образом,

Л(*) =

при |ж|< г, при |ж|> г. Кривая распределения представлена на рис. 6.23 в. Числовые

г2

характеристики этого закона следующие: тх = 0; Dx = —. Плот5

ности распределения /2 (у f3(z) имеют ©ид 3 г2 -у2

ЇМ

при |у|< г, 0 при |у|> г,

о 2 2

3 Г — Z

/3со=

4 Г3

о

при \z\< г, при \z\> г. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОДСИСТЕМЫ (Y, Z)
ОО
І2,З(У>Г)= F FFAY,Z)DX =
—ОО
JR2-Y2-Z*
J CDX = 2C -YJR2 - Y2 - Z2 ПРИ Z2+Y2V
2 2 2 Г -У -Z
ОТСЮДА ПРИ Z2 + У2 < Г2 НАХОДИМ УСЛОВНУЮ ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1
ПРИ
\Х\< yjr2 - У2 - Z2 ,
I'
2^Г2 -У2 -Z2 О
\Х\> Л/Г
ПРИ
2 2 У ~ Z . Система трех случайных величин (X, Y, Z) распределена с постоянной плотностью внутри шара радиуса г. Найти вероят-ность попадания случайной точки (X, F, Z) внутрь шара, концентричного данному, с радиусом г/2.

Ответ, р = - .

8

Из урны, в которой а белых, Ь черных и с красных шаров, вынимается один шар. Случайные величины X, Y, Z определяются следующими условиями:

Х = Y = Z =

1, если появится белый шар,

если появится черный или красный шар.

если появится черный шар,

если появится белый или красный шар.

если появится красный шар,

О, если появится белый или черный шар.

Построить корреляционную матрицу и нормированную корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y, Z).

Решение. Корреляционные моменты определим из таблицы вероятностей отдельных значений X, Yh Z. Обозначим ' xi, Vj . Ч

= Р {{X = Xi){Y = yj){Z = zk)). Имеем

Р0>00 =Р((Х = 0)(Y = 0)(Z = 0)) = 0; a + b + с

a + b + с с

Р1і0і0=Р((* = 1)(Г = 0)(Я = 0)) = Р0і1і0=Р((Х = 0)(У = 1)(Я = 0)) = Р0і0і1=Р((Х = 0)(У = 0)(Я = 1)) =

a + b + с

P — P = P = P = 0 777, = ¦

\ту =

а + Ь + с

а + Ь + с

а + Ь + с *k

і , j, к = і

0

+ +

-аЬ

a

0+

а + Ь + с, а

а + Ь + с

0{ а + Ъ + с)а + Ъ + с (а + Ь + с)2

+ 0-Ьс

-ас

а + Ь + с Аналогично

(а + Ь + с)2 2/2 (а + Ь + с)2 Далее находим дисперсии

2

Дг =а2ЙП- Шх =

а (Ь + с)

а + Ь + с (а + Ь + с)2 (а + Ь + с)2

ІЄ =

а + Ь + с;

а + Ь + с, с

•\Kvz~

а + Ь + с Ь

а + Ь + с аналогично D Ь (а + с) д = с (а + Ь)

(а + Ь + с)2 2 (а + Ь + с)2

Отсюда находим коэффициенты корреляции

—аЪ

аЪ

К.

ху ас

= = - I ЬС

(а + Ь)(с + Ь)

)(с + а)

Ч(Ь + а)(с 6.26. Имеется система случайных величин X и У. Случайная величина X распределена по показательному закону с парамет-ром X: Л( ) =

Хе Xl при х > 0, 0 при х < 0. Случайная величина Y при заданном значении X = х > 0 рас-пределена также по показательному закону, но с параметром х: -ту

при у > О, при у < 0.

хе О

І2ІУ\Х)

Написать плотность распределения f(x,y) системы (X, Y) и найти плотность распределения f2(y) случайной величины Y; найти условную плотность Д (х\у). Решение.

0 при х < 0 или у < 0,

\хе~{х+у)х при х > 0 и у > 0. оо

/2(2/)= f f(x,y)dx =

X

- при у>0, (Х + у)2

0 при у < 0. Далее, при у > 0

/(«> 2/)

Л(Ф) = Ш

х (\ + у)2е~{х+у)х 0 при х > 0, при х < 0. 6.27. Даны две независимые случайные величины: непрерывная X с плотностью /г(х) и дискретная У со значениями J/j, У 2, ... , уп, имеющими вероятности Pj , р2, ..., рп. Найти функцию распределения системы (X, Y).

х

Ответ. F(x, y) = F1 (х) F2 (у), где F1 (х) = / Л (х) dx; 0 при Pi при к-1 5> при 1=1 1 при F3(y) =

6.28. Случайная величина X — дискретная величина с двумя значениями х1 и х2 (х2 > х1), имеющими вероятности рг и р2.

Случайная величина Y — непрерывная величина; ее условным распределением при X = х{ служит нормальный закон с матема-тическим ожиданием, равным xif и средним квадратическим от-клонением, равным а.

Найти функцию распределения F(x, у) системы случайных ве-личин (X, У). Найти плотность распределения f2(y) случайной величины у.

Решение. F(x, у) = Р(Х < х) Р(У < у\Х < х).

У - X1

Пусть х < хг; тогда Р(Х < х) = 0 и F(x, у) — 0; пусть а^ < х < х

тогда Р(Х < = и у) = рхР(У < у\Х = хг) = ргФ* При х > х2 по формуле полной вероятности имеем У

'у + Р2Ф*

Р(х,у) = ргф* при X < ,

Следовательно, ГО F(x,y) =

+ р2Ф*

У — х2

При Xj < X < Х2,

при х> х2. Далее, полагая я = оо и дифференцируя по у, получаем

(y-z2)2 2ст + р2е 2ст

Рів

си/ ал/2-к

6.29*. Звезды на небесной сфере рассматриваются как пуассонов- ское поле точек. Число звезд, попадающих в объектив телескопа, является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром где S — площадь участка, вырезаемого на поверхности сферы полем зрения телескопа (в радианах) (рис. 6.29, а). Поле зрения телескопа имеет координатную сетку (рис. 6.29, б) (отсчет ведется в радианах). Показать, что при любом положении телескопа координаты (X, У) ближайшей к перекрестию звезды распределены по нормальному закону с параметрами

-О".-'.

Решение. В задаче 5.31 было показано, что расстояние R от центра перекрестия до ближайшей к нему точки пуассоновского

поля подчиняется закону Рэлея. Но R = л/3^ + У2, следовательно, вероятность попадания точки (X, У) в круг D (х2 + у2 < г2) может быть записана в двух формах:

г

Р (R <Г) = / 2 nXre-'Xr2dr (г > 0),

о

P((X,Y)GD) = ff f(z,y)dxdy, (1)

(Л)

где f(x, у) — плотность распределения системы (X, У). В силу симметрии надо считать, что f(x, у) зависит только от расстояния:

/(ж, у) = д(г), где г = дjx2 + у2. Переходя к полярным координатам (г, ip), получаем

2тг г г

Р((Х, У) є D) = f dip Jg{r) rdr = 2vf g(r) r dr. (2)

0 0 0

Сравнивая выражения (1) и (2), находим: g(r) = Хе_1:Хг2 и, значит, /(я, у) = \е_1тХ^2+у2),что и требовалось доказать.

<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА 6СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ:

  1. ГЛАВА 5СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  2. ГЛАВА 7ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  3. ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  4. ГЛАВА 9 случайные функции
  5. ГЛАВА 10потоки событий. марковские случайные процессы
  6. НЕОБХОДИМОСТЬ И СЛУЧАЙНОСТЬ
  7. СЛУЧАЙНОСТЬ
  8. СЛУЧАЙНОСТЬ
  9. НЕОБХОДИМОСТЬ И СЛУЧАЙНОСТЬ
  10. * § 5. Необходимость и случайность
  11. ЭФФЕКТ ПРИВЯЗКИ К СЛУЧАЙНОМУ ОРИЕНТИРУ
  12. ОККАЗИОНАЛИЗМ (лат. occasio - случай, occasionalis - случайный