<<
>>

ГЛАВА 7ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Если X — дискретная случайная величина с рядом распределения Xi Х\ Х2 Хп Pi Pl Р2 Рп

а величина У связана с X функциональной зависимостью У = ср(Х), то математическое ожидание величины У равно

п

7Пу = М [ф(Х)] = J2 <Р fa,' )Pi ,

г =1

а дисперсия выражается любой из двух формул

Dv = D[

(«{)-т,]ар,- = ?>

і =1 і =1

Если (X, У) — система дискретных случайных величин, распределение которой характеризуется вероятностями

р,=Р((Х = а:і)(У = 2/і)), a Z = ср (X, У), то математическое ожидание величины Нравно

ш2=м в (х, у)]=х: Е ч3 (*<.

*,¦)

а дисперсия выражается любой из двух формул

?2=D[cp (*,У)] =

= 12 12 ' ^ І) - тг]2Рі,- = 1212 ' yj)]2Pij - ml і j і j

Если X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения /(я), а У = ср (X), то математическое ожидание величины У равно

00

т, =М[«р (Х)]= J -00

а дисперсия выражается любой из двух формул 152

IAJ CXJ

D, = D[V (*)] = J [

—OO -oo

Если (X, У) — система непрерывных случайных величин с плотностью f(x, у), a Z = ф (X, У), то математическое ожидание величины Нравно

со

т2 = М[ф (X, Г)] = JJ ф (х, у) /(х, у) dx dy,

—оо

а дисперсия выражается любой из двух формул

со

D, = D[ip (X, Y)] = ff [<р (х, у) - т]) f(x, у) dx dy =

—со

с»

= JJ [ф (*> 2/)]2/ 2/) dx dy - m22.

-оо

Если (Х2, ...,ХП) — система п непрерывных случайных величин с плотностью /(xj, ..., хп), а У = ip(Xj,..., Хп), то математическое ожидание величины У равно

оо

ту =М[ф (Xl5...,Xn)] = JJ ...

J ф (х1,...,хп)/(х1,...,хп) сЦ ...

-оо

а дисперсия выражается любой из двух формул Dy =D[4> XJ] =

ОО

= ff •••/l^P (^t-yXn)-my]2f (xl9...ixn) dx1 ...dxn =

—oo oo

= ff -flv T->Xn)]2f —oo

Если с — не случайная величина, то

М [с] = с; D [с] = 0.

Если с — не случайная величина, а X — случайная, то М = [сХ] = сМ[Х]; D[cX] = c2D [X].

Теорема сложения математических ожиданий

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М[Х + У] = М[Х]+М[У];

и вообще

м

= ЕМ[Х,.]

t=l

Математическое ожидание линейной функции нескольких случайных величин

К = ?><*<+*'

где и Ь — не случайные коэффициенты, равно той же линейной функции от их математических ожиданий: ту — Ш

= +6, гдетхі = М[Х{] (і = 1, n).

Короче это правило можно записать так:

M[L(X15 Х2, Хп)] = Дт^ , тХ2, т^),

где L — линейная функция.

Математическое ожидание произведения двух случайных величин X, У выражается формулой

М[ХУ] = М[Х]М[У] + ^,

где Кф — корреляционный момент величин X, У Эту формулу в другом виде можно записать так:

= M[XY]-mxmy или, имея в виду, чтоМ[ЛТ] = Л[Х, У],

Кц, = <4i№ Y]-mxmy.

Теорема умножения математических ожиданий

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин X, У равно произведению их математических ожиданий

M[XY] = M[X]M[Y}.

Если Хг, Х2, ..., Хп — независимые случайные величины, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий = ПМ[Х,.].

1=1

п*

1=1

М

Дисперсия суммы двух случайных величин выражается формулой D[X + У] = D[X] + D[7] + 2Кху.

Дисперсия суммы нескольких случайных величин выражается формулой

D

i= 1

где Кх. х . — корреляционный момент случайных величин Х{, Х^

Теорема сложения дисперсий

Дисперсия суммы двух некоррелированных случайных величин X, У равна сумме их дисперсий

D[X + Y] = n[X] + D[Y], и вообще, для некоррелированных случайных величин Х^, Х2, ..., Хп

d[?*4] = ?D[*4j.

. 2=1 1=1

Дисперсия линейной функции нескольких случайных величин

где аі( 6 — не случайные величины, выражается формулой

Д. = D 1=1

1=1

«<і В случае, когда величины Xl9 Х2, -.., не коррелированы,

Eaixi+b

При сложении некоррелированных случайных векторов их корреляционные моменты складываются, т.е.

если

X = Х1 + Х2; У = Уі + У2, = КхіУ2 = кУіУ2 = = О»

то

К —К А-К

Х\У\ ' Х2У2 '

Функция ф Х2, ..., Хп) нескольких случайных аргументов JYj, ..., называется «почти линейной», если во всем диапазоне практически возможных значений аргументов она может быть с достаточной для практики точностью линеаризована (приближенно заменена линейной). Это означает, что д ip

ip (Х1,Х2,...,Хп) « tp (mSi, ml2,mIn)+

2 =1 дір

где

дхдхчастная производная функции ip (xvx2,..., хп) по аргументу хІ7 в которую вместо каждого аргумента подставлено его математическое ожидание.

Математическое ожидание почти линейной функции Y = = ip (Хг, Х2, Хп) приближенно вычисляется по формуле

™>у = Ч> ™>ХП)Дисперсия почти линейной функции приближенно вычисляется по формуле дір

dip

( дір ^ дх.

i¦

1,-Xj- 5 где Д.. — дисперсия случайной величины Х{; Кх.х. — корреляционный момент величин Xif Xj.

В случае, когда случайные аргументы Хг, Х2,..., Хп не коррелированы, А,

дх,

Я,- 7.1. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения Яг -1 0 1 2 Pi 0,2 0,1 0,3 0,4 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 2х.

Решение. Шу = 2-1 -0,2 + 2° -0Д + 21 -0,3 + 22 -0,4 = 2,4.

Dy = а 2 [7] - m2 = (2"1 )2 - 0,2 + (2°)2 - 0,1 + +(2> )2 - 0,3 + (22 )2 - 0,4 - 2,42 = 1,99.

7.2. Непрерывная случайная величина X рас-пределена в интервале (0, 1) по закону с плотно-стью

2х при х Є (0,1), 0 при х (0,1)

(рис. 7.2). Найти математическое ожидание и дис-персию квадрата случайной величины Y = X2. Г 2 1

Решение. ту — а2[Х} = J х 2х dx = 1

[2)

1-І-J_

3 4 _ 12

і

Dy =<х2\У}-т2у = J (x2 )22X dx — 7.3. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону:

\е~Хх

(X > 0).

О

при х > О, при х < О

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = е~х.

Решение.т = Г e-x\e-Xxdx = -^У I X +1 X

X

IX + lj (X + 2)(Х + 1)

Dy =

Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону:

Хе~Хх

f(x) =

(X > 0).

0

при х > 0, при х < 0

Установить, при каких условиях существуют и чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y = ех.

Решение. ту = Jex\e'Xxdx=\Je~(x~1)xdx;

при X - 1 > 0, т.е. при X > 1, этот интеграл существует и равен

m = ; при X < 1 он расходится.

X — 1 оо ои

X

¦) а Х-2

при

a2\Y] = J e2x\e~Xxdx = X f e~^~2)xdx. о о

При X > 2 этот интеграл существует и равен а 2 [F] =

\2

X

X

X

дисперсия равна D„ . .

У Х-2 U-lJ (X — 2)(Х — 1)

X < 2 интеграл расходится, и дисперсии Dy не существует.

7.5. Непрерывная случайная величина Xраспределена по закону: It It

2;2J

IT IT 2 2

і

-cosж при X Є 2

О

при X g Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве-личины Y — sinX.

1 Г

Решение, тп = — I sinxcosx dx = 0; у о J

1 1 =a2[F] = - j* sin2 xcosx dx =

7.6. Случайная величина X распределена по тому же закону, что и в предыдущей задаче. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = |sinX|. Решение. тп,

1 2 2 1 - J* |sinx|cosx dx = J" sinxcosx dx = -. =a2[7]-m;

1-І-J_

3 4 _ 12 7.7. Случайная величина Xраспределена с постоянной плотно-стью в интервале (1; 2):

1 при ж є (1,2), 0 при х?(1, 2).

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве-личины Y — —.

f 1

Решение. my — I —dx = In2;

J x

dy = a2[y] — m2 = /4^-(ь2)2=і-(1п2)2.

u x 4

7.8. Случайная точка (X, Y) распределена равномерно внутри круга К радиуса R= 1 (рис. 7.8). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z= XY. Решение. 1

f(xi у) ~

- при (х,у)еК, • it

О при (х,у)?К. т z = —JJxy dx dy = 0 (см. задачу 6.7).

W 1 1 2lT 1 1 Dz = — II x2y2dx dy — — I d ф I r5 cos2 dr = —.

* W * о о 24

7.9. Случайная точка (X, Y) распределена равномерно внутри квадрата R (рис. 7.9). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z— XY.

Рис. 7.8

Рис. 7.9

Решение. Так как случайные величины X, Y независимы, то

111 т=т,тп„ =-¦- = —.

у 2 2 4

Дг=а2И-тг2=МрГ7)2]-тг2 = М[Х2]М[У2] - т2,

7.10. Имеются две случайные величины Хи У, связанные соотношением Y = 2 — ЗХ. Числовые характеристики величины X заданы: тпх = -1 ]DX = 4.

Определить: а) математическое ожидание и дисперсию вели-чины Y; б) корреляционный момент и коэффициент корреляции величин X, Y.

Решение, а)шу = 2-3шх = 5\Dy = (-3)2 -4 = 36.

6)^ = М[ХУ]- mxmу = М[Х(2 - ЗХ)] +1-5 = 2М[Х]- ЗМ[Х2]+ 5, ноМ[Х2] = а2[Х] = Dx + ml =4 + 1 = 5; отсюда -12

-12 л/4-36

= -1,

Kw = —2 — 3 • 5 + 5 = —12; г = 7.11. что и естественно, так как Хи У связаны линейной функциональной зависимостью.

Имеется случайная величина Хс математическим ожиданием тпх и дисперсией Dx. Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин:

У = -Х; Z = X + 2Y-1; U = ЗХ - У + 2Z - 3.

Ответ. my = —mx]Dy =Dx;mz =-mx -1]DZ = Dx; mu =2mx -5]DU = 4Dx.

Имеется система случайных величин (X, У, Z) с заданными характеристиками: математическими ожиданиями mx1my1 тп2 и корреляционной матрицей К К D.

И К.

ху

Dn Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве-личины U = аХ — 6 У + cZ — d.

Ответ. mu = amx — bm -f cmz — d]

DU = a2DX + b2Uy + C2Dz -2abKTy + 2acKxz - 2hcKyz.

7.13. Имеется n-мерный случайный вектор Х= (Xj Д2, ...,

Хп), составляющими которого являются п случайных величин Х{ с математическими ожиданиями гах. (г = 1, 2,..., п), дисперсиями (г = 1, 2,..., п) и нормированной корреляционной матрицей

||г |(г = 1,2, ...,п; г Случайный вектор X преобразуется в m-мерный случайный вектор У = (У1,У2,...,УТО), причем составляющие вектора Y получены из составляющих вектора X линейными преобразованиями

Yk=^aikXi + Ьк (к = 1,2,..., т).

г —1

Найти характеристики случайного вектора Y: математические ожидания тук (к = 1, 2,..., га), дисперсии Dyk (к = 1, 2,..., га) и элементы нормированной корреляционной матрицы

г II (/ = 1, 2,..., га; к < I).

Ответ .тук = J2aikmXi + Ък (к = 1, 2,..., га); i=i

i=l iгде

= ]Сааа А, + Е(алаіі + '

і =1 t7.14. Имеются две независимые случайные величины X и У. Величина X распределена по нормальному закону: е

2л/2Їт

Л(*) = Величина У распределена равномерно в интервале (0; 2). Определить: а) М[Х + У]; б) М[ХУ];в) М[Х2];г) М[Х - У2]; д)

D[X + K];e) D[X - У]. Решение.

а) М[Х + У] = М[Х] + М[У] = 1 + 1 = 2;

б) М [XY] = М[Х] М[У] = 1-1 = 1; B)M[X2] = a2[X] = D[X] + m2 = 4 + 1 = 5;

І- + 1

U2

г)М[Х-У2] = М[Х]-М[У2] = 1-а2[У] = 1-и ^ 1

д) D[X + У] = ЩХ] + D[y] = 4 + і = 4І;

е) D[X - У] = D[X] + (-l)2D[y] = 4-.

З

7.15. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, а). Определить: а) М[2Х + 3]; б) М[ЗХ2-2Х + 1];

в) D[2X + 3]; г) D[X2 + 1].

а о2 а2

Решение, m = —; Д. =—; а,[Х1 =—.

х 2> х 12> 21 j 3

М[2Х + 3] - 2М[Х] + 3 = а + 3;

б)М[ЗХ2 — 2Х + 1] = За2 [X] — 2М[Х] + 1 = а2 - а + 1;

D[2X + 3]=4?i=^;

г) D[X2 + 1] = D[X2 ] = а 2 [X2 ] — (М[Х2])2 = а 2 [X2 ] — -(а2[Х])2; а2[Х2] = — fя4п J f>

отсюда = —а4 45

D[X2 +1] = у- 7.16. Случайная величина X подчинена нормальному закону:

1 -гт

Найти математическое ожидание случайной величины Y = 1-ЗХ2 +4Х3.

Решение.

тп у = М[1-ЗХ2 + 4Х3] = 1 — ЗМ[Х2] + 4М[Х3].

Так как mx = 0,тоМ[Х2] = Dx =а2; М[Х3] = 0; тп^І-За2.

7.І7. Независимые случайные величины X и Y распределены по законам fx (х), /2 (у), графики плотностей которых представлены на рис.7.17, а, 6.

к_

а х Определить: а) М[Х + У]; б) DpX-бУ + І]; в) М[ХУ]; г) М[2ХУ — ЗХ2 +У2 -1]. L 2

D [У] = -. 18

Решение.

а)М[Х + У] = і(2а + Ь); 3 б) D[3X - 6У + 1] = 9Dx + 36Dy = — + 2b2;

в)М [XY] = -ab;

З

г)М[2ХУ-ЗХ2 +У2 — 1] = 2М[ХУ] — За 2 [X] + а 2 [У] —

і 4 ь 3 2 .Ь2 л —1 = —ab а Н 1.

9 2 6

7.18. Ответить на вопросы а), б), в) предыдущей задачи, если величины X, У зависимы и их коэффициент корреляции равен Г„ =-0,9. Решение.

а) М[Х + У] = - (2а + 6); 3 ab

•0,9 =

б) D[3X - 6Y + 1] = — + 262 + 36- ,

2 л/18Л8 = + 2b2 + 1,8аЬ; 2

в) М[XY] = -ab - 0,9— = — ab. 9 18 180 7.19. По сторонам прямого угла хОу концами скользит линейка АВ длины 17 занимая случайное положение (рис. 7.19), причем все значения абсциссы X ее конца А на оси Ох в пределах от 0 до I одинаково вероятны.

Найти математическое ожидание расстояния R от начала координат до линейки.

Решение. Случайная величина X рас- g ч пределена равномерно в интервале (0, /):

у при х Є (0, /), 0 при х 0(0,1).

Случайная величина R выражается через X формулой (см. рис. 7.19)

я-xji (Х)

I!

Ее математическое ожидание равно -ti-F

2 I dx — -.

х

т.

7.20. Случайные величины V, Uсвязаны линейно со случайными величинами X, У:

V = aX + bY + c; 17 = dX + /У + р.

Известны числовые характеристики системы случайных вели-чин (Х7 У): гпх, пгуу Dx1 D , Кху. Требуется найти числовые характе-ристики системы случайных величин (V, U): mvy muJ Dv, Du, Kvu, r .

vu

Решение.

mv=amx +bmy + c; ?>„ = a2?>x + ft20y +2abKxy] mu =dmx + fmy + g] Du =d2Dx + f2Dv +2dfKxy.

Далее

V = aX+bY; 17 = ЙХ+/У;

К

Km= M{VU] = adD, + ft/Dy + (а/ + W)^ ; =

7.21. Производится стрельба независимыми выстрелами по некоторой цели; вероятность попадания в цель для каждого выстрела равна р. Запас снарядов неограничен; стрельба ведется до А;-го попадания, после чего прекращается. Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов.

Решение. Обозначим X — число израсходованных снарядов. Имеем

Х = Хг +Х2+...+Хк,

где Хх — число выстрелов до первого попадания (включая первое);

Х2 — число выстрелов от первого до второго попадания (включая второе);

Хк — число выстрелов от (к - 1)-го до А;-го попадания (включая к-е).

По теореме сложения математических ожиданий

i= 1

Так как выстрелы независимы и вероятность р одинакова для всех выстрелов, можно вычислять М[Х{ ] как математическое ожидание числа выстрелов до первого попадания (см. задачу

5.15): М[Хi ] = —, откуда Р

ы р

7.22. Тело взвешивается на аналитических весах. Истинное (неизвестное нам) значение массы тела равно а. Вследствие наличия ошибок результат каждого взвешивания случаен и распределяется по нормальному закону с параметрами а и а.

Для уменьшения ошибок взвешивания пользуются следующим приемом: взвешивают тело п раз и в качестве приближенного значения массы берут среднее арифметическое результатов п взвешиваний

n7=i

а) Найти характеристики случайной величины — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

б) Сколько нужно сделать взвешиваний для того, чтобы уменьшить в десять раз среднюю квадратическую ошибку массы?

па

— = а. п

M[Y{n)] = -J2a

Считая ошибки отдельных взвешиваний независимыми, находим дисперсию У(п):

2 2 по а

i=1 п" " п2 п

Решение.

б) Число взвешиваний п находим из условия

о[К<">] = Я = -f = n = 100.

V n Vn 10

7.23*. По некоторой цели производится п независимых выстрелов; вероятности попадания в цель для этих выстрелов равны Pv Р2> —у Рп• Для упрощения вычислений эти вероятности осредня- ют, заменяя одной постоянной

1

По этой средней вероятности приближенно определяются ма-тематическое ожидание rfix и среднее квадратическое отклонение б^ числа попаданий X Будут ли эти характеристики вычислены верно? Если нет, то в какую сторону будет ошибка?

Решение. Математическое ожидание будет вычислено верно:

^ п _ П ^г-л

шх = п р = — > pi =mx.

Что касается среднего квадратического отклонения ох, то оно будет завышено: дх >ох. Для доказательства сравним прибли-женное выражение дисперсии

~ 1 71 \ 71

Аг = n pq, где <7 = 1 - р = - YV = — У)(1 - Рг )

с ее точным значением

п

я* =

*=і

Преобразуем двумя способами сумму

п п п п

і— 1 t=l г =1 і =1

n

^^PiQi ~npq, i=i

- Яїі - q)=J2(Pi - Ю(1- Pi -1+ p)=-J2(Pi - p)2 ^ »=1 t=l t=l

Отсюда

!>?.• -npq=Dx-Dx<0, DX>DX,

І =1

что и требовалось доказать. Заметим, что знак равенства в Dx > Dx достигается только при рг = р2 =... = рп = р.

7.24. Светящаяся точка, изображающая наблюдаемый объект на круглом экране радиолокатора, может случайным образом за-нимать любое положение на экране (плотность вероятности по-стоянна). Диаметр экрана равен D. Найти математическое ожи-дание расстояния R от светящейся точки до центра экрана.

Решение. Д = V-X2 + У2, где (X, У) — система случайных величин, распределенная равномерно в круге KD диаметра D: f(xi у) —

—гг при (x,y)eKD, -KD1

О при (x,y)#KD. тг = М[Д] = JJyjx2 +у2 JL-dxdy (Kd) ^D

или, переходя к полярной системе координат (г, ф),

4 211 0/2 D

771 _ = / dip r2dr = —.

irW і з

7.25. Две точки Хи У, независимо друг от друга, занимают случайное положение на отрезке (0; 1) оси абсцисс (рис. 7.25, а), причем плотность вероятности на этом отрезке постоянна для обеих случайных величин. Найти математическое ожидание расстояния R между этими точками и квадрата расстояния между этими точками.

Решение. Имеем

R=\Y-X\-, mr = М[|У — Х\].

Изобразим систему (X, Y) как случайную точку на плоскости хОу (рис. 7.25, б)у распределенную с постоянной плотностью /(х, у) = 1 в квадрате со стороной 1. В области Д: X > Y] | Y - Х\= X -Y.В области D2: Y>X]\Y-X\=Y- X. тг= JJ(x-y)dxdy + JJ (у - х) dx dy = (A) W

їх і у

3

2 m„m,

= JdxJ(x - у) dy + J dy J (у — x) dx =

0 0 0 0

M[R:2 ] = M[|7 - X|2 ] = a 2 [Г] + a 2 [X]

= 2{Dx+ml)-2mt=?-.

О 7.26. На оси абсцисс имеются два соседних отрезка (рис. 7.26) длиной по единице; в пределы одного из них случайным образом

R

1 2 Рис. 7.26

0

попадает точка X; в пределы другого — точка Y, причем координаты точек X и я Y независимы. Плотность распределения каждой из случайных величин X, Y в пределах соответствующего отрезка постоянна. Найти математическое ожидание, дисперсию и второй начальный момент расстояния R между ними. Решение. R = Y-X:

mr=M[Y}-M[X] = l] Dr=Dy+Dx=\.

о

Y

Рис. 7.27

а2[Д] = М[Л2] = Д. +т?=-.

6

X

7.27. Имеется квадрат К со стороной, равной 1 (рис. 7.27). На смежные стороны квадрата случайным образом и независимо друг от друга падают точки Хи Y; каждая из них имеет в пределах соответствующей стороны равномерное распределение. Найти математическое ожида-ние квадрата расстояния между ними.

R2 =X2+Y2

т

= M[R2} = a2[X} + a 2[Г] = ±.

Решение.

Рис. 7.28

7.28. Условия предыдущей задачи изменены так, что точки X, Упадают не на смежные, а на противоположные стороны квадрата (рис. 7.28). Найти математическое ожидание квадрата расстояния между точками X и Y.

Решение.

R2 =1 + (У-Х)2; M[R2} = l + a2[Y] + a2[X}-2M[X}M[Y} = l + l-l = -.

о z о

7.29. Условия предыдущих задач (7.27 и 7.28) изменены так, что точки X и Y случайным образом и независимо друг от друга занимают с постоянной плотностью любое положение на периметре квадрата К. Найти математическое ожидание квадрата расстояния между ними.

Решение. Выберем три гипотезы:

Нх — точки X, У легли на одну и ту же сторону квадрата;

Н2 — точки X, У легли на смежные стороны квадрата;

#з — точки X, У легли на противоположные стороны квадрата.

Математическое ожидание величины R2 найдем по формуле полной вероятности:

м[л2 ] = р (Н, )M[R2\H1] + р(я2 ) м[д2 |я2 ] + р (я,) M[R2\Н3},

гдеМ[Л2 \Hl ] ,M[J?2 |Я2 ] ,M[J?2 |#з ] — условные математические ожидания величины R2 при соответствующих гипотезах.

Из ранее решенных задач 7.25, 7.27, 7.28 имеем

= м[д2|я2] = ^; м[л2|я3] = 1.

О С) о

Находим вероятности гипотез:

р(я1) = і; р(яа) = 1; р(я,) = 1.

4 2 4

Отсюда а

в

б

Рис. 7.30 Решение. Положение и ориентация иглы определяются двумя случайными величинами: X и О, где X — расстояние от центра иглы до ближайшей к нему линии и © — угол, образованный иглой с направлением перпендикуляра к параллельным линиям (рис. 7.30, б). Эти случайные величины распределены равномерно:

X — на участке от 0 до —; © — на участке от до —.

тс тс

2 2

и 0 є ; f(x, 0) = 0 при Рассмотрим на плоскости хОу прямоугольник возможных зна-чений величин X и © (рис. 7.30, в). Пересечение иглы с линией происходит, если выполняется условие

X < -cos©, 2

где SD — площадь области D:

tv/2 TV/2

21

откуда р = —.

т. е. если случайная точка X, © попадает в область Д заштрихованную на см. рис. в; отсюда

7.31. В условия предыдущей задачи внесено изменение, состоящее в том, что ограничение I < L снимается. Найти математическое ожидание числа пересечений иглы с параллельными линиями, которыми разграфлена плоскость.

Решение. Разделим иглу на п элементарных участков

Д 1 = -Рассмотрим случайную величину Y— число пересечений иглы с линиями; она равна сумме п случайных величин:

п і =1

где Y{ — число пересечений с линиями для г-го участка иглы. Так как ДI < L, то случайная величина У- может иметь только два значения:

1 и 0 с вероятностями и 1 — . Математическое ожидание

Lit LIT

этой величины равно

I-—) 0-2Al

L-к ) L-к

По теореме сложения математических ожиданий

ЩУ] - Y2Al - 2nAl - — Ьъ Ьъ LIT

7.32. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, фигурирующую в предшествующих задачах, бросается случайным образом любой контур (выпуклый или невыпуклый, замкнутый или незамкнутый) длиной I Определить математическое ожидание числа пересечений этого контура с прямыми.

Решение. Как и в предыдущей задаче,

2/

М [Y] = -fL.

L 7Г

Lit

Чтобы доказать это, нужно разделить контур на п элементарных, практически прямолинейных участков длины А1; для каждо- ^ 2Д/

го из них математическое ожидание числа пересечении будет ,

L тг

2/

а для всего контура .

L тг

7.33. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми на расстоянии L, бросается случайным образом выпуклый замкнутый контур длиной I, наибольший размер которого а не превосходит L (рис. 7.33).

Найти вероятность того, что он пересечется с какой-либо из прямых.

Решение. Обозначим р — искомую вероятность, Y — число точек пересечения контура с прямыми. Так как контур выпуклый и замкнутый, а его наибольший размер меньше L, то контур может иметь либо две точки пересечения с прямыми, либо ни одной. Ряд распределения случайной величины У имеет вид

Рис. 7.33 УІ 0 2 Pi 1 -р Р 21

L тт

На основании задачи 7.32

М[Y] = 0 (1 - р) + 2р = 2р =

откуда

Р =

L-к 7.34. Плоскость разграфлена на прямоугольники со сторонами L и М (рис. 7.34). На плоскость случайным образом бросается игла длиной I (I < L, 1<М). Найти вероятность того, что игла пересечется хотя бы с одной из линий.

Решение. Рассмотрим прямые, ограничивающие прямоугольники, как две системы линий — горизонтальных и вертикальных.

Рассмотрим события: А — игла пересечется с одной из вертикальных прямых;

МВ — игла пересечется с одной из горизонтальных прямых.

М

м

L L Рис. 7.34

Так как положение иглы относительно вертикальных прямых никак не влияет на ее положение относительно горизонтальных, события А и В независимы; поэтому искомая вероятность

Р(А + В) = Р(Л) + Р(В) - Р(Л) Р(Б). На основании задачи 7.30

21 2/ Р(Л) = 4; Р(Я) = 4-,

ivL ivM

откуда 2IM

2Z 2/ 4/2 tvL TV А/ тт

7.35. Игла длиной / случайным образом бросается на плоскость, так что все значения угла 0 (рис. 7.35), составленного иглой с фиксированной осью 7—7, одинаково вероятны.

X

Рис. 7.35

Найти математическое ожидание длины X проекции иглы на ось 7—7.

Решение. Имеем X =1 cos©. Угол 0 распределен равномерно; поскольку речь идет о длине проекции, можно задать этот

А ^

угол в интервале от 0 до —: /(0) =

і „р„ ee(o,I

0 при 0 g |о, 1 21

М[Х] = - ГI cos 0 d 0 = —.

tv ч tv

7.36. Прямоугольник размерами 1г х 12 случайным образом бросается на плоскость (рис. 7.36); все значения угла 0 равновероятны. Найти математическое ожидание длины X его проекции на ось 7—7.

Решение. Представим Хкак сумму

2 '

X = Хг + X X

Рис. 7.36

где Х{ — проекция отрезка 1{1 Х2 — проекция отрезка ^

Искомое математическое ожидание равно

1 | -2 _2(*1 +h)

тс

M[X] = M[XJ + M[X2

2/, 21 It тг т.е. равно периметру прямоугольника, деленному на тс.

7.37. Выпуклый замкнутый контур длиной / бросается случайным образом на плоскость, причем все его ориентации одинаково

вероятны (рис. 7.37). Найти математическое ожидание длины X его проекции на ось. \ і і X \ • 1 \ \ ¦ ¦ \ \ 1 7 '

)

1 /

1 1 1 1 1 1 Ах Рис. 7.37

—»—

Решение. Так как контур выпуклый, то каждый элемент проекции Ах получается проектированием двух и только двух противолежащих элементов контура: А 1г и А12 (см. рис. 7.37); значит, средняя длина проекции контура вдвое меньше, чем сумма средних длин проекций элементарных отрезков А/, на которые можно разбить контур:

I

м[Х]=Л]Г2А/

ТС

ТС

7.38. Имеется случайная величина Хс плотностью распределения f(x). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y — \Х\.

Решение. Запись Y =\Х\означает, что -X X

Х<0, Х>0.

при при

Y =

оо оо

ту =M[Y]= J \х\ f(x) dx = - J xf(x)dx +

—oo —oo

oo oo

+ J xf(x) dx — J X [f(x) - f(-x)] dx.

cw

Dy =a 2\Y}-m2y = f \x\2 f(x) dx - m2y =a2[X]-m2 =

—OO

= DX + ml -m2y.

7.39. Найти математическое ожидание и дисперсию модуля случайной величины Х7 распределенной по нормальному закону с параметрами тхУ ох. Р е ш е н и е. Из предыдущей задачи

(*-тд)2

2а* dx.

^ ~ ^ 00

га — == I хе 2°х dx Н ——— I Хе

У гг j rr ./О-тг J

О (*-ш*)2

-оо

. _ r* dx + _ а_ л/2тг J аГЕл/2тг Делая замену переменных -—= получим

ст. m,

= ---= / +mje"2' dt + If т

2а, -d- ^ е 1 х' + га,

Y

га

1-2Ф*

1 °г> _1г2 9

уГ2гк і л/2К п 2,2 2

Dy =ох +тх -гпу.

В частности, при тх = О І-^jа2 «0,36 а2.

т,

а, «0,80а,; Dy = а2х--а2х =

¦к

7.40*. Независимые случайные величины Хи У имеют плотности распределения /а(х) и /2(у). Найти математическое ожидание и дисперсию модуля их разности Z =

Решение. Имеем

оо

mz= JJ\x-y\fl(x)f2(y)dxdy.

Прямая у = ж делит плоскость хОу на две области (I) и (И) (рис. 7.40). В области (I) х > у, \х — 2/|= х — у. В области (II) у > х,\х — у|= у — х. Отсюда +

т2= JJ (х - у)/г(х) f2(y) dx dy

(і) dx —

+ff (y-x)f1(x)f2(y)dxdy = f xA(x)' f /2(v)dv

(И)

—OO l—оо оо

¦fy/2(y)

оо

f л 0*0 dx

оо у

dy dv + f yf2(y)- f A(x)dx oo oo

dx.

-f xfx(x)J f2(y)dy Введем в рассмотрение функции распределения

X у

= f fi(x)dx] F2(y) = Jf2(y)dy.

Тогда

oo oo

mz = f xf1(x)F2(x)dx- Jyf2(y) [1 — F1(y)]dy + OO oo

+

f yf2(y) F^y) dy - Jxfl(x) [1 -F2(x)]dx. Объединяя первый интеграл с четвертым, а второй с третьим, получим

оо оо

тг = f {2ХАІХ) F2(x) - хА(х)} dx+f {2yf2(y) F^y) - yf2(y)} dy =

-OO OO

— 2 Jxf,{x)F2{x)dx-mx +2 f yf2(y) F^y) dy - my .

—OO -OO

Так как X> Yнезависимы, то

a2[Z} = M[\X -Y\2} = M[(X -Y)2} = = M[X2 ] + M[F2 ] - Ш[Х) М[У] = = a2[X] + a2[Y)-2mxmv = DX+Dy +(mx -my)2.

Отсюда находим

D2 =a2[Z)-m2.

7.41. Независимые случайные величины Хи У имеют плотности распределения /г(х) и f2(y). Найти математическое ожидание и дисперсию минимальной из этих двух величин

Z = min {X,Y},

т.е. случайной величины Z, определяемой следующим образом:

X, при X 7.

Решение. Прямая у = х делит плоскость хОу на две области (см. рис. 7.40): (I), где Z — Y, и (II), где Z—X (случай не рассматриваем, как имеющий нулевую вероятность).

mz=M[Z} = JJxf1(x)f2(y)dxdy + ff yfx(x) f2(y) dx dy = (i)

(И) ou

J f1(x)dx

uv uv ou

dy = f xfi(x)-f f2(y) dv dx+ $yfi(y)

—oo oo = f xf, (x)[l - F2 (*)] dx+f yf2 (у)[ 1 - F, (y)] dy,

—oo —OO

где Fv F2 — функции распределения случайных величин Хи Y.

оо оо

a2[Z]= Jx2f1(x)[l-F2(x)}dx+ /у2/2М[1-*!(у)]<*!/;

—оо —оо

D2=a2[Z]-ml

7.42. Случайное напряжение U распределено по нормальному закону с параметрами ти и au . Напряжение С/ поступает на ограничитель, который оставляет его равным U, если U < и0 и делает равным гл0, если U > и0: Z = min{i7, u0} =

U при U <и 0, гл0 при U > и0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве-личины Z. Решение. "О

+

тz = М[Z] = J*min {ui ^о} f(u) du = J uf (u) Лг (ц-™ц)2

2ст

oo «о

u du +

+ fu>0f(u)du = f Ji J J л/2тш,

1 \U с\ — ГП,

Un — ГП,

оо

+u0Jf(u)du =ти Ф*

«о u0 - ТОЦ

1-ф"

+и,

U0

1 -\2 V2-K Wn - m,

где?0 =

"О ОО

а2[Я]= Ju2f(u)du + Julf(u)du = "о

2ст„т„ +ст2г„ Ч'»

2"и + и20[1 - Ф* (t0)};

1 112 1 'О

= (m2 + а2)Ф*(*0) Дг=а2[2]-т2=а2

л/2-тс

(1 + <02)Ф*(і0) + <0-^=е t0 +

-J2-K

Заметим, что при и0 = ти,Ц — 0 будет

п 2 ТС - 1

mz =Ши Dz

2-я

7.43. Случайная величина X распределена по нормальному закону: 1

(*+i Г Независимая от нее случайная величина Y распределена рав-номерно в интервале (0, 2). Найти: а) М[Х + У]; б) D[X + Y\ в) М[ЯУ]; г) D[XY]; д) M[X-Y'2 ]; е) М[X-Y+X2Г2 ]; ж) D[X- Y].

Решение, то.,. = 1; ТУ = 1; DX = 4; DY = і.

О

а) М[Х + У] = тпх +тпу = 0:

б)D[x + y} = dx+dy = 4|;

в) М[ХУ] = mxmy =-1;

r)D[XY}=a2[XY}-m2xm2 = (Dx + m2)(Dx + m2)-m2m2 = = DxDy +m2xDy +m2yDx= 5-;

д)М [X-Y2] = mx -a 2{Y] = mx-Dy - m2y =-2І;

О

е)М[Х-Г + Х2Г2]-тх + M[X2]М[У2] = шг -т9 + + (Аг + mx)(Dy +т2у) = 4|;

ж) D[*-Г] = ?>,+?>, =4І.

Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами гах = — 1; ах = 3; случайная величина Y — равномерно в интервале (0, 3); случайная величина Z— равномерно в интервале (-3, 0). Нормированная корреляционная матрица случайных величин Xj Y, Z имеет вид

1 0,5 - 0,2

0,4 1

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины U = 1-2Х + 3Y - Z.

Решение. ти =1 — 2тх + Згау — тz = 9.

Du =4Dx+9Dy + Dz +2 [(—2) 3 axa y r^ + +(-2)(-l) a.^r» + 3 (-1) oyozryz] = 41,7 - 10,2 л/3 « 24,0.

Система случайных величин (X, Y) распределена равномерно в прямоугольнике R (рис. 7.45). Определить: а) М[Х + Y]\6) M[X-Y}; в) М[XY]; г) D[X+ Y]; д) D[X-Y]; е) М[(Х-У)2];

ж) М[2Х3 + ЗУ2 + 1].

Реше н и е. тх = 1, ту =Л; Ds=±; Dy =i-; К^ =0.

12

12

2

а)М [X + Y] = mx+my =1І

б)М[Х-У] = ш1 -m„ =i; B)M[XF]=mImy =1;

r)D[X + Y} = Dx+Dy д)D[JT - = +2>,

е) М[(Х — У)2] = М[Х2] + М[У2] — 2М[Х] М[У] = DX + то2 +

2

+Dv +т1 ~2т*ту =-;

ж) М[2Х + ЗУ2 + 1] = 2М[Х ] + ЗМ[У2 ] + 1 = 6, так как М[Х3 ] = 1 2

= - Г X3dx = 2.

Ч

7.46. При работе прибора возникают случайные неисправности; среднее число неисправностей, возникающих за единицу времени работы прибора, равно X; число неисправностей за время т работы прибора — случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром а = Хт. Для ликвидации неисправности (ремонта) требуется случайное время Грем; это время распределено по показательному закону: /(0 =

|ЛЄ * 1 при t > О, О при t < 0. Времена ликвидации неисправностей независимы.

Найти: а) среднюю долю времени, которую прибор будет исправно работать и среднюю долю времени, которую он будет находиться в ремонте; б) средний интервал времени между двумя последовательными неисправностями.

Решение, а) Среднее время исправной работы прибора (математическое ожидание времени, которое проработает прибор по-сле пуска до остановки для ремонта)

t =1

"испр ^ '

Среднее время ремонта

t =л

рем

и

Средняя доля времени а, которую прибор будет исправно работать:

а _ _ г"спР _ X _ Р*испр +<_рем I + I Х + й

X р,

Аналогично средняя доля времени (3, которую прибор будет на-ходиться в ремонте:

(3 = 1 — а = —-—.

Х + р

б) Средний интервал времени It между двумя последовательными неисправностями

J =i +t =k + i = h±VL

11 L испр ¦ ь рем x ¦ x

X p Xp

В пределы прямоугольника R со сторонами а и Ъ (рис.7.47) случайным образом бросается точка (X, У), все положения которой в прямоугольнике R равновероятны. Строится прямоугольник R' с вершиной в точке (Ху Y). Найти математическое ожидание и дисперсию площади S R, этого прямоугольника.

Решение. Выберем за начало координат левый нижний угол прямоуголь- а ника, а за оси координат — его нижнюю рис 7 ^ и левую стороны; тогда случайные величины Х7 У независимы, и S Rf — XY. Поэтому

M[SR,] = M[XY] = mxmy

D[SRt] = D[XY] = DxDy + m2xDy + m2yDx =

_ a2b2 [ a2 b2 b2 a2 _ 7a2b2

12-12 4 12 4 12 144

Случайная точка (X7 Y) распределена на плоскости по нормальному закону с круговым рассеиванием:

тх =ту =0 И = <*•

Случайная величина R — расстояние от точки (Х7 Y) до центра рассеивания. Найти математическое ожидание и дисперсию величины R.

Решени e.R = ^X2 + Y2.

2 . 2

тг — м[д] = Ш

ОО ^ * +у

х2 + у2 е 2q2 dxdy.

2о\ Переходим к полярной системе координат (г, ip):

Dr = D[i?] = а 2 [Л] — ml =

2о\

2o2ix

х2+у2)—е 2"2 dx dy — ml =

—OO oo r2 2TT

^ 2 ^

= r3 e 2°2dr I — a2 — —

{ 2o \ { 2

00

= 2a2 fte-4 А -а2^ = 2а2 -o2*=o2^

2 2 2

7.49. Событие А состоит в выпадении ровно двух гербов при бросании трех монет. Опыт, заключающийся в бросании трех монет, повторяется п раз. Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин:

X — число появлений события А при п опытах; Y— частота события А при п опытах. Решение. Вероятность события А в одном опыте:

Ы[Х} = пр = —; ЩХ) = пр(1-р) = —;

8

7.50. Из урны, в которой находятся два белых шара и три черных, вынимается сразу два шара. Найти м.о. и дисперсию числа появившихся при этом белых шаров а) непосредственно; б) пользуясь теоремами о математических ожиданиях и дисперсиях.

Решение, а) Обозначим X — число появившихся белых шаров. Ряд распределения величины X будет 2

О

1

Xi Pi 0,3 0,6 0,1 Математическое ожидание величины X:

тх = 0 • 0,3 + 1 • 0,6 + 2 • ОД = 0,8 =

5

Дисперсия величины X:

DX = а 2 [X] — ML = 12 0,6 + 22 -ОД-0,82 = 0,36 = ^.

б) Разделим мысленно опыт на два вынимания шара: первое и второе. Обозначим

X — число белых шаров при двух выниманиях; ХХ — число белых шаров при первом вынимании; Х2 — число белых шаров при втором вынимании;

2 4

Х = Хг+Х2; mXi=mX2=-;

DX=DX+DX 4-2 КХлХ- DX=DX =

х xi х2 х\х2 xi 5 5 25

Находим # через начальный момент сх11[Х1,Х2]=М[Х1Х2].

Построим таблицу распределения вероятностей для системы величин (XV Х2) Хг Хг 0 1 0 3 3 10 10 1 3 1 1 10 10

a1,JX1IX2] = M[X1X2] =

,0.0. — + 0-1 • — + 1-0- — + 1-1- — = —; 10 10 10 10 10

m, т„ = — 11—1 » " 2 J gQ.

Dx = DX< +DX + 2K =—.

x xl x2 xxx2 25 7.51. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимают сразу к шаров {к < а + Ь). Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров.

Решение. Обозначим X число вынутых белых шаров;

і =1

где Х{ — число белых шаров, появившихся при г-м вынимании;

а -f о а + Ь

E

v—л а ка

тх = > = .

г=1 * Ыа + Ь а + Ь

Для нахождения дисперсии Dx подсчитаем Dx. и # . _ а Ь _ ab Х{ а + Ь а + Ь (а + Ь)2'

Находим # .Для этого, как и в предыдущей задаче, строим таблицу распределения вероятностей для пары случайных величин Xj X 0 1 0 6(6-1) ab (а+ 6)(а + 6-1) (а+ 6)(а + 6-1) 1 ab а (а — 1) (а + 6)(а + 6-1) (а+ 6)(а + 6-1)

Имеем

KXiXj mXimXj= = 1)(Х.=1)) = . а а~1

а + Ъ а + Ъ — 1 и

а (а - 1) а2 аЬ

К^ =

Xj (а + Ь)(а + Ь-1) (а + Ь)2 (а + 6)2(а + 6 - 1) 184

Далее находим дисперсию случайной величины X

і=І

К]

Так как дисперсии DX, и корреляционные моменты КХ.Х. все одинаковы, то '3 kab a + b — k (а + b)2 а + b - 1"

Dx=kDXi+2ClK^ = В частном случае, когда вынимаются все шары (к = а + 6), по-лучаем естественный результат: а +6

а, Лх=0.

Рис. 7.52

7.52. Через произвольную точку А на окружности радиуса г случайным образом проводится хорда АВ (рис. 7.52), так что все ее на-правления одинаково вероятны. Найти среднее значение длины хорды.

Решение. Выразим длину хорды У в зависимости от угла Ф, который составляет хорда с направлением радиуса в точке А. Из рис. 7.52 имеем

У = 2 г cos Ф, гдеФ — случайная величина, которую будем счи

т,

/ 'Z 4 г

2г cos ср — d ср = — « 1,27г. тт тт

Рис. 7.53

7.53*. Через произвольную точку А внутри круга радиуса г проводится хорда ВС (рис. 7.53). Все положения точки А в пределах круга одинаково вероятны. Все направления хорды В СУ характеризуемые углом Ф между нею и радиусом, направленным в точку А, также одинаково вероятны. Найти среднюю длину хорды ВС.

Решение. Длину хорды D выразим через координаты точки А (X, Y) и угол Ф:

D = 2Л/Г2 - Н2 = 2д/Г2 - (X2 + У2) SIN2 Ф,

тать распределенной равномерно в интервале . Тогда

где Н = <у]х + Y2 sinным в интервале 0; — I, причем точка (X, Y) и угол Ф независимы, то

плотность распределения системы (X, Г, Ф) есть

[2 1

О < ср <

при х2 + у2 < г2, IV 'кг О

/(х, у, ср) = Поэтому

при х2 + у2 > г2 ИЛИ ср ^

га а =

2 2 -тс г

jy 2д/г2 — (х2 + у 2)sin2 ср dx dy.

О АПереходим к полярным координатам (р, а|;):

2 2тт г

Рис. 7.54

7.54*. Найти среднее значение длины хорды ВС(рис. 7.54), проведенной через точку А внутри круга, находящуюся на расстоянии L от центра круга радиуса г, причем все направления этой хорды одинаково вероятны.

Решение. Хорда ВС выражается следующим образом через величины L, ср, г:

ВС = 2r^l-^sin2cp.

Если длину хордыБ С считать случайной величиной X, то -г--и тс

га,

2ГЛ-І-1 sin2 ср d ср = — fy/l — k2 sin2 ср dp,

ТС ^ где к = Полученный интеграл представляет собой полный эллиптиче -к

ский интеграл Е

к, — j с модулем к; его значения можно найти в 1 ГС 12' 2)

= 1,4675 и

А;, — I изменяется

2,

справочниках. Например, при к — - интеграл Е тх « 1,87г.

Так как полный эллиптический интеграл Е

тс

от — (при к = 0) до 1 (при 1), то средняя длина хорды тх будет 2

принимать значения от 2 г (при А;=0, т.е. для точки А в центре 4

круга) до — г (при L = г, т.е. для точек Л на окружности).

ТС

7.55*. Техническое устройство состоит из гг узлов. Каждый узел может выходить из строя независимо от других. Время исправной работы і-го узла распределено по показательному закону с параметром Х^: t >0, t <0.

при при

/.¦(0 =

о

Каждый узел, оказавшийся неисправным, немедленно заменя-ется новым и поступает в ремонт. Ремонт і-го узла продолжается случайное время, распределенное по показательному закону с параметром рг: -ц it

ч>.-(0 =

о

при t > 0, при t < 0. Устройство работает в течение времени т. Определить: а) математическое ожидание и дисперсию числа узлов, которые придется заменить; б) математическое ожидание суммарного времени Т, которое будет затрачено на ремонт вышедших из строя узлов.

Р е ш е н и е. а) Обозначим Х{ число узлов і-го типа, вышедших из строя за время т. Эта случайная величина распределена по закону Пуассона и имеет математическое ожидание шх_ =Хг т и дисперсию Dx = X ¦ т.

Обозначим X общее число узлов, вышедших из строя за время т. Имеем

п п п

г =1 г =1 г =1

Так как величины Х{ независимы, то

і =1 г =1

б) Обозначим Г- общее время, затраченное на ремонт всех вы-шедших из строя за время т узлов г-ro типа. Оно представляет собой сумму времен, затраченных на ремонт каждого из узлов. Так как число этих узлов равно Х{, то

т. = тр) + г.(2)+...+г.(Хі) =]Рт.(А:),

к=1

где — случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром; величины Т^, Г/2),... независимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины Тг; для этого сначала предположим, что случайная величина Х{ приняла определенное значение га. При этом условии математическое ожидание величины Т{ будет

ГП 771 1

к=1 к=1 И-г ИЧ

Умножив это условное математическое ожидание на вероят-ность Рт того, что случайная величина Х{ приняла значение га, и просуммировав все эти произведения, найдем полное (безусловное) математическое ожидание величины Тг:

..... . х, Т

то,

ОО 1 ОО 1 т= 1

И" і И" і ш=1 М* г И" г Применяя далее теорему сложения математических ожиданий, получим

г =1 И-г

Заметим, что тот же результат можно получить путем следующих (не вполне строгих) рассуждений. Среднее число выходов из строя узла г-го типа за время т равно \г т; среднее время ремонта одного такого узла равно 1 / р •; среднее время, которое будет затрачено на ремонт всех вышедших из строя за время т узлов г-го типа равно \і т / р .; среднее время, которое будет затрачено на

п ^

ремонт узлов всех типов, равно LІ =і Мч

7.56*. Условия задачи 7.55 изменены таким образом, что каждый вышедший из строя узел отправляется в ремонт, а техническое устройство на это время прекращает работу; при неработающем (выключенном) устройстве узлы выходить из строя не могут. Найти: а) математическое ожидание числа остановок устройства за время т; б) математическое ожидание той части времени т, в течение которой устройство будет простаивать (оно же среднее время, затраченное на ремонт).

Решение, а) Обозначим X — число остановок за время т и найдем его математическое ожидание гаг Задачу будем решать с помощью следующих не совсем строгих (но тем не менее верных) рассуждений. Рассмотрим неограниченный во времени процесс работы устройства в виде последовательности «циклов» (рис. 7.56),

1-й цикл 2-й цикл 3-й цикл Рис. 7.56

каждый из которых состоит из периода работы системы (отмечен жирной линией) и периода ремонта. Длительность каждого цикла представляет собой сумму двух случайных величин: Траб (времени работы устройства) и Трем (времени ремонта). Средняя длительность времени работы устройства ?ntpa6 вычисляется как среднее

время между двумя последовательными отказами в потоке отказов \ 11

плотности X = X і ; это среднее время равно mt = — = .

х Ёх»

і=І

Находим среднее время ремонта гаірем. Будем его искать по

формуле полного математического ожидания при гипотезах Н{ — ремонтируется узел г-го типа (і = 1, 2,..., п).

Вероятность каждой гипотезы пропорциональна параметру \г

Р = =

і=І

Условное математическое ожидание времени ремонта при этой гипотезе равно 1 Дь •; отсюда

тв, =

Среднее время цикла

X Х^ \{ J

Теперь представим себе последовательность остановок устройства как последовательность случайных точек на оси О1, разделенных интервалами, в среднем равными mt . Среднее число остановок за время т будет равно среднему числу таких точек на отрезке длиной т:

т Хт

771 х = = .

mб) За каждый цикл устройство будет простаивать (ремонтироваться) в среднем время mt м = —за тх циклов среднее

РЄМ ^ г =1 М" і

время простоя будет равно

71 \

Хт 1ЛХг. frfHi тп mt = > — = —г 1 —.

ц п \ \ ^ и п \

1 + l =i Iі і ^ у^ І

7.57. Случайная величина X распределена по нормальному закону с характеристиками тхи ах. Случайные величины Yи Zсвя-заны с X зависимостями Y = Y2\ Z = Xs. Найти корреляционные моменты Кщ, Kxz и KyZ.

Решение. Для упрощения вычислений перейдем к центрированным величинам и воспользуемся тем, что для центрированной нормальной величины X = X - тх все моменты нечетных

порядков равны нулю, а М[Х2} = о2х, М[Х4] = Зах (см. задачу 5.53). Так как

Y = (X+mx)2 -М[Х2] = Х2 + 2Хтх + т2 - Dx - т2 = = X2 + 2Хтх — о2х\

то

kv = m[xy] = m[x{x*+2xms -AJ)] = 2J>,.

Далее

Z = (X+mxf -М[Х3} = Х3+ЗХ2тх +3 X т2х + т3х .2 X 5

-(3тхо2х + ml) = Х3 + ЗХ2 тх + ЗХ т2х - 3тха

и поэтому

КХ2 = М[Х Y} = М[Х 4 ] + ЗтхМ[Х*] + 3га 2хМ[Х2} - Зтхо2хМ[Х] = Зо4х +3 т.

Наконец,

Куг =М[(Х2+2Хтх -о2х)(Х*+ЗХ2тх +ЗХт2х -Зтхо2х)} = = 5тхМ[Х4} + 6тх(т2 - а2х ) М[Х2} + Зтха4х = 12тЛ4 + 6т*а2.

7.58. Воздушная цель перемещается над обороняемой террито-рией со скоростью v. В течение времени т цель находится в зоне действия средств противовоздушной обороны. Число обстрелов, которому может подвергнуться цель, находясь над территорией, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром а = Хт. В результате каждого обстрела цель поражается с вероятностью р. Пораженная цель немедленно прекращает полет, а) Найти вероятность Pto того, что к моменту t0 < т цель будет поражена, б) Найти среднюю глубину проникания цели на обороняемую территорию.

Решение, а) Выделим из пуассоновского «потокаобстрелов» цели с плотностью X поток «поражающих обстрелов» с плотностью \р. Вероятность того, что за время t0 цель будет поражена, равна вероятности того, что за время t0 произойдет хотя бы один поражающий обстрел: PtQ = 1 — e~Xpt°.

б) Введем гипотезу: цель поражена в интервале времени (t^t + dt). Вероятность этой гипотезы будет \pe~Xptdt (0 < t < т). В предположении, что указанная гипотеза имела место, дальность Д на которой самолет будет поражен, равна vt. Следовательно, средняя глубина проникания цели на обороняемую территорию будет:

о

Заметим, что га D —» — при т —> оо. \р

Тело, масса которого равна а [г], взвешивается на анали-тических весах четыре раза; получаются результаты Xv Х2У Х3, ХА. В качестве измеренного значения массы принимается их среднее

арифметическое: Y = + + -^з + ^4)- Результаты взвешиваний независимы. Весы дают систематическую ошибку тх = 0,001 [г]. Среднее квадратическое отклонение каждого взве-шивания ох = 0,002 [г]. Найти параметры: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y

Решение. ту — і • 4 (mx + а) = а + 0,001 [г].

а, =^- = 0001 [Г].

Производятся четыре независимых измерения одной и той же величины X. Каждое измерение характеризуется одним и тем же математическим ожиданием тпх и средним квадратическим отклонением ох. Результаты измерений: Xv Х2, Х3, ХА. Рассматриваются разности между соседними измерениями: Yl — Х2 — Хг\

Найти характеристики системы этих случайных величин: математические ожидания myi,my ,my ; средние квадратические отклонения a yi, асгуз; нормированную корреляционную матрицу|Ы1Решение.ш,, = га „ = га „ =0.

2 2 2 1 о 2у2 Уз [К

В силу независимости величинХ1,Х2,Х3,Х4

кУ1У2 = М[(Х2- xt )(i3- х2)} = —м[х 2 ] = -oh

КЪУз = М[(І3 - Х2)(Х4 - І3)] = -М[І32 ] = -al;

ТУіУ2 ГУ2Уз

г =0 2' УіУз

К =М[(Х2-Х1)(Хі-Х3)] = 0.

7.61. Стрельба по некоторой цели Ц начинается в момент ее обнаружения и продолжается вплоть до некоторого момента t*, в который цель покидает зону обстрела и становится уже недоступной. Момент Т, в который обнаруживается цель, представляет собой случайную величину, распределенную с постоянной плотностью в промежутке от 0 до Число выстрелов, которое может быть осуществлено по цели за время ее обстрела Г, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием а = — Т). При каждом выстреле цель поражается с вероятностью р. Найти полную вероятность поражения цели с учетом случайности момента обнаружения.

Решение. Вероятность поражения цели есть функция момента обнаружения р (Т). Рассматривая пуассоновский поток «поражающих» выстрелов с плотностью \ру имеем р(Т) = 1 — _е-рЧ**-т) Полная вероятность поражения

t*

р = М[р(г)] = ? J* [1 - e-^}dt = 1 - -L-[1 - е-*"].

Отметим, что при малых p\t* будет р ~

7.62. Имеется кубический бак с горючим, на одной из шести стенок которого случайным образом появляется пробоина от осколка; пробоина оказывается с равной вероятностью на любой из шести стенок бака и в любой точке каждой из шести стенок. Вследствие наличия пробоины из бака вытекает все горючее, находящееся выше пробоины. В неповрежденном состоянии бак заполнен на 3/4 своего объема. Определить среднее количество горючего, которое сохранится в баке после пробития его осколком.

y =

X при X < 0,75, 0,75 при 0,75 < X < 1.

Решение. Для простоты будем считать ребро бака равным единице. Высоту пробоины обозначим через Ху количество остав-шегося горючего через Y. Так как площадь основания равна единице, то

Если пробоина окажется выше чем на 0,75 от дна бака (X > 0,75), то горючее вытекать не будет, и в баке останется, как и было, количество горючего У = 0,75; вероятность этого равна доле площади поверхности бака, находящейся выше уровня 0,75:

Р(У = 0,75) = Р(Х > 0,75) = - + 4 • - • 0,25 =

6 6 3

Если пробоина окажется в дне бака (Х= 0), то вытечет все горючее; вероятность этого равна доле площади, приходящейся на дно бака:

р(у = 0) = р(х=0) = 1.

6

Если пробоина окажется в одной из боковых стенок бака на расстоянии Х< 0,75 от дна, то в баке останется количество горючего У = X. Плотность вероятности в интервале 0 < х < 0,75 посто1 ~~ о ~ 7 2

янна и равна —- = -. Среднее количество оставшегося в ба0,75 3

ке горючего будет равно

0,75

1 1 г 9 1^7 т.. = 0,75 . — + 0 • — + / x--dx = - + — = — = 0,44. у Я fi j Я А 1 fi 1 я

7.63. В интервале (0, 1) зафиксирована точка а (рис. 7.63). Случайная точка X распределена равномерно в том же интервале. Найти коэффициент корреляции между случайной величиной Хи расстоянием R от точки а до X (расстояние R всегда считается положительным). Определить, при каком значении а величины X и R будут не коррелированы.

о і

Рис. 7.63

Решение. Определим К^ по формуле К„ =М [XR]-mxmT. і

М[XR] = М[Х|а -Х\] = Jx\a-x\ f(x) dx = - 2 3'

0 0 a

— x\a — x\dx — J x (a — x)dx — J" x (a — x) dx — ^ я' 194

тх = і; mr = J\a — x\dx = J (a — x) dx 2 о о

Г 1

— (a — x) dx = a — a -j—.

a

Отсюда З л і і / 2 1

2 , 1 I a a , 1 a — a H— = 1 .

12

3 2 3 2 Находим

1 J

a2[i?] = J (a — x)2dx = a2 — a +

Д.=2а3-а4-а2+і; ar =

Отсюда

r =-- 3 2 12

2a3 — a4 — a2 -f 1

12 2л/3

З 2 -і

a a 1

Уравнение 1 = 0 имеет только один корень в интер3 2 12

вале (0, 1): а = -. Поэтому случайные величины X, R становятся

1

некоррелированными только при а = -.

7.64. Автомобиль может двигаться по шоссе с произвольной скоростью г;(0 < v < vmax ).Чем быстрее движется автомобиль, тем больше вероятность того, что он будет задержан автоинспектором. Каждая задержка длится в среднем время t3. Инспекторы на пути следования стоят случайным образом; при этом на единицу длины пути приходится случайное число инспекторов, распределенное

по закону Пуассона с параметром X. Зависимость вероятности задержки от скорости автомобиля линейная:

p(v) = kv (0< v < vmax),

і 1 где к = .

V

max

Определить рациональную скорость движения vp автомобиля, при которой он пройдет путь s в среднем за минимальное время. Решение. Среднее время прохождения пути s будет

t = — + X sp (и) t3 = — + X skvt3.

V V

Если минимум этой функции лежит внутри интервала (О, vmax), то его можно найти из уравнения

— = - — + \skt3 = 0, dv у2

откуда

1

V = vp

^ \kt, А/ Xt,

Эта формула справедлива при vp < vmax, т.е. при vmax > и =20 мин

км

Так, например, при г>тах =100 [км/ч], X =

имеем 100

=

1

20 'з

: 77,5 [км/ч]. Если vmax < , то минимум функции t = - + X sp (v) t3 леХ^з V

жит вне интервала (0, vmax), и наивыгоднейшей является скорость ^р — ^max' Например, если при указанных выше данных время задержки уменьшить до 10 мин, то vp = vmax = 100 [км/ч].

7.65. Описывается окружность с помощью циркуля, расстояние между ножками которого номинально равно 5 см, но фактически устанавливается с ошибкой, математическое ожидание которой равно нулю, а среднее квадратическое отклонение 0,1 см. Ошибка распределена по нормальному закону. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение площади описанной окружности S двумя способами: а) точным и б) при-ближенным, пользуясь методом линеаризации.

Решение. а)5=тс(5 + Х)2,

где X — ошибка в установке радиуса, тх = 0,ах = 0,1.

ms = М[5] - тс М[(5 + X)2} = тс (25 + 10М[Х] + М[Х2}) = = тс (25 -f а2) = тс • 25,01;

d[5] = a2[5]-mf2;

OL 2 [5] = М[тс2 (5 + X)4} = тс2{625 + 500m, + 150а 2 [X] + +20а з [X] + а 4 [X]} = тс:2 (625 + 150а2 + За 4),

так как при тх = 0 начальные моменты совпадают с центральными (см. задачу 5.53);

D[S] = tv2[625 + 150а2 + За4] - тс2[625 + 50а2 + а4] = тс2 -1,0002;

as = 1,0001тс;

ds

б)т5=25тс; Я = (2 • тс • 5)2 • 0,01 - tv2; 1 Таким образом, разница при вычислении точным и приближенным методами мала (0,04 % по ms и 0,01 % по aj.

Рис. 7.66

7.66. Для построения равностороннего треугольника со стороной a = 3 см пользуются следующим способом: из произвольной точки О откладывают отрезок длиной а; при нем строят угол а, равный 60°; затем на стороне этого угла снова откладывают отрезок длиной а и полученную точку соединяют с точкой О (рис. 7.66). Отрезки длиной a откладываются с помощью линейки с делениями по 1 мм; максимально возможная при этом ошибка равна 0,5 мм. Угол откладывается с помощью транспортира с максимально возможной ошибкой 1°. Пользуясь методом линеаризации, найти математиче-ское ожидание и среднее квадратическое отклонение третьей стороны X.

Решение. Обозначим фактическую длину первой стороны Хи второй Х2, фактическое значение угла ©. Эти случайные величины можно считать независимыми. Имеем

Пользуясь методом линеаризации, найдем

тх = ^m* + ml2 - 2тхтх2 cosme ,

где т =тх — 30 [мм], cosте = і, откуда

2

Далее

тх = V900 + 900 - 900 = 30 [мм].

( дх N

/ \

2хг — 2Х2 cos 0

дх

і

дх

ijx + х\ — 2ххх2 cos 0 ^ ^ 1 2Х2 — 2хг cos 0 дх

2 /

2 ^хI + х\ — 2ххх2 cos0 1 2хг х 2 sin0 _ 30л/3 2л JX1 + Х2 ~~ 2x^2 COS0 т 2 = 15л/з [мм].

rax 50

Вычисляем Дисперсии аргументов не заданы, заданы лишь максимальные практически возможные отклонения их от математических ожиданий:

Д^ = АХ2 = 0,5 [мм]; Д0 = 1° = 0,01745 [рад]. Полагая приближенно

= ах2 = = 0,167 [мм]; DX1 = D^ = 0,0278 [мм2],

О

(т0 = -Д0 = 0,00582 [рад]; ?в = 3,39 • Ю-5 [рад], 3

получим

Dx = і • 0,0278 • 2 + 675 • 3,39 • 10~5 « 0,0139 + 0,0229 = 0,0368 [мм2]; 4

ох — 0,192 [мм].

7.67. Расстояние D от некоторой точки Одо объекта К определяется следующим образом: измеряется угол а, под которым виден объект из точки О (рис. 7.67); далее, зная линейный размер объекта Ху определяют расстояние по приближенной формуле:

X X а

2 sin

Рис. 7.67

а Линейный размер объекта X в зависимости от случайного по-ложения объекта может изменяться в пределах от 8 до 12 м; угол а определяется с точностью до 0,1 тысячной радиана. Расстояние D велико по сравнению с размером объекта X. Найти приближенно среднее квадратическое отклонение a D ошибки в определении расстояния Dy если измеренное значение угла а равно одной тысячной радиана.

Решение. Применяя метод линеаризации, имеем

л=т2

дх)т х Iдаj

Линейный размер X считаем равномерно распределенным в интервале (8,12): 12-8 2 г 2 4 r_2l

сг. = ¦

= —[м]; а2=-[м2]; тх=10[м].

2л/3

2л/3 л/3 Далее тп а =0,001,

0,0001 2 10" ; сг = — откуда а2 -I11

°D — І- \ 2

2 , X 2

2 і ] +

/ га <*а га і ю-3 J ¦І+

3

10"

10

+

= — • 106 + - ¦ 106 = — • 106 [м2] 3 9 9

= —•103 = 1,20 • 103 [м].

3 7.68. Имеются две почти линейные функции п случайных аргументов:

Y = 4>y(Xг,Х2, г = ч>я(Хг,Х2,

Даны характеристики системы mx ,Dx_ (г =1,2, ...,п) и кор

реляционная матрица

Найти приближенно корреляционный момент Kyz. Решение. Линеаризуя функции ф иф2,получим о

г =1 п

z ~4>z(mXi,mX2, ...,*»„) + ? г=1

отсюда ?

г=1

X,

дх{

Kyz=M\YZ] = M

п

= ?

г=1

i=l

дц>2

?

МX,

дхз

к™.

г3

1

?

г =1

дх дч>у} Dx + ?

І [*Pr j дчрг ,dxi J т xi

m ,дхі > m дх

\ 3 у/ Последняя сумма содержит п (п — 1) членов; каждому соответ-ствуют два члена суммы: &р2 КФ и дч>у' 'дір/ т dxj V

т дх\ J J т КФ.

v

7.69*. Летательный аппарат, находящийся над плоскостью хОу в точке А (рис. 7.69), определяет свои координаты (X, Y) с помощью

X В 0/ Рис. 7.69

двух наземных радиолокационных станций О и О', измеряя углы а и (3, составленные направлениями на эти станции с фиксированным направлением ABLOx. Размеры базы Б (расстояние между стан* циями) известны со средней квадрати. х ческой ошибкой а Б; углы а и (3 определяются с одной и той же средней квадратической ошибкой Gft =СГо. Известны: номинальное значение базы тп Б и измеренные значения углов а и (3, равные та и т0. Ошибки в определении всех параметров независимы. Пользуясь методом линеаризации, определить приближенно ма-тематические ожидания случайных величин Хи Y, их средние квад- ратические отклонения и коэффициент корреляции.

Решение. В соответствии с рис. 7.69 находим

* = Btga ; У= К

tg а + tg (3 tg а + tg (З

sec2 a tg (3 дХ —Б tg а sec2 (З

эх

= Б

За (tg а + tg (З)2 ' 5(3 (tg а + tg (З)2 ЭХ

tg а дЪ tg а + tg (3' dY

dY

dY

1

— sec а

-Б sec2 (З да. (tg а + tg (З)2 d(3 (tg а + tg (З)2 ЗБ tg а + tg (3

mB tg ma

m,

m.

mT = •

tg ma + tg m.

0 \2

tg m а + tg m

tgma sec mj:

a2, +

sec matgm^

+

m і

m і

(tgma+tgm3)2

D =

sin 2m ^ + sin2 2m

3 _ 2

(tgma + tgm0) \ 2

a: +

+

4 sin (ma + m3)

2 2 аБ = тБ

tg m a + tg m ; = VAT;

4

+

sin m Л cos m P

sin (raa + m3) sec mr

a2 +

D„ =

+

sec mf

mT

то.

(tgma + tg ra p)2

\ 2

(tg ma + tg то3)

1

+

Стіг = TO

2 cos4 ma + cos4 TO p 2

tg + tg m&)

COS TO „ COS TO

sin4 (m a + TO3)

!

4; = V^T

sin (то a + то з ) Корреляционный момент Кц подсчитаем по формуле, полу-ченной в предыдущей задаче. В силу независимости величин а, (3, Б эта формула принимает вид ) \dY1 ^+

т (дХ^ / L І0Б, Ш 'dY)

(tgma + tgm3)

=

да )т (<9а J tg га а sec 4 m з — tg m з sec 4 га а

(tg raQ + tg ra0)4 з _ • з

ху

{дЪ)г

tg™a

< +

= т і

-crK =

tg ma

(tg 771 a + tg 771 з )

При m a = m з это выражение можно упростить:

r =

xy

2a| sin raa cos2 ma (2aI sin2 ma cos2 ma + a2ra|) 7.70. Для определения расстояния і? от точки if до начала координат можно применить два способа:

определить расстояния X и У до осей координат и затем найти R по формуле R = лІХ2 + Y2;

измерить только расстояние Y до оси абсцисс и угол a

(рис. 7.70), затем найти R по формуле R = .

cos a

Рис. 7.70

Какой способ приведет к меньшей погрешности, если расстояния X и Y и угол а опреде-ляются с независимыми друг от друга ошибками, причем средние квадратические отклонения ошибок Ху Y равны ох = оуу а ошибки в угле — о а ?

Привести численный расчет для значений средних квадратических ошибок ах = а у = 1 [м], aa = 1°= 0,0174 [рад] при средних значениях параметров, равных 771 д. = 100 [м]; ту =60 [м];

1,03 [рад].

т„

та = arctg

771, dR ду

4

дх

Решение. dR

3/2tg2a

1

d а[д] =

cos2 a

cos a

2) Ж — 1 Ж ~ У s*na .

ду cos а да cos2 a

х2 +у2 a2 >ст2; a2 >aK

Первый способ дает большую точность. Для числовых данных задачи:

=1 N; (100

100 60

• 0,01742

I2 +60'

1 +

60

= 3,90 [м]. 7.71. Система трех случайных величин X, Y, Z имеет математические ожидания тх =10; ту =5; то2 = 3, средние квадратиче- ские отклонения ах = 0,1; о у = 0,06; о z = 0,08 и нормированную корреляционную матрицу

1 0,7 - 0,3 1 0,6 1

Пользуясь методом линеаризации, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины ЗХ2 +1

U = - Y + 2Z

п 3-100 + 1 301 _ Решение. 771,, = = = 7.

43

25 + 2-9 ди дх

ди

У

ди

,дх

6-Ю 43

ди

1,40;

dz)

(Зх2 + 1) 2у ди (Зх2 + 1) 4z D[U] = 1,402 -ОД2 + 1,632 -О,Об2 + 1,952 -0,082 + +2[—1,40 • 1,63 • 0,7 • 0,1 • 0,06 + 1,40 -1,95 • 0,3 • 0,1 • 0,08 + +1,63 • 1,95 • 0,6 • 0,06 • 0,08] w 0,066;

7.72. Производится параллельное соединение двух выбранных наугад сопротивлений Rt и R2. Номинальное значение каждого сопротивления одинаково и равно гаГі —тг =900 [Ом]. Максимальная ошибка в R при изготовлении сопротивлений равна 1 % номинального значения. Определить методом линеаризации номинальное значение сопротивления такого соединения и его среднее квадратическое отклонение.

Решение. R = -—-— = ср , Д2);

+ i?2

, v 900-900 .КАГГ. і

тп = ф (га , гаг ) = = 450 Ом .

r v Гі г2У 900 + 900

1 900 Q ГГ| , о — о = = 3 Ом .

1 3 100 <9ф г2 1 '2 1 <9ф <9ф дгх тп .Сі +гг)2. ТТ1 <9г2 тп <9ф

1

4'

9r,

<г2=-[Ом']; аг « 1,06 [Ом]. 8

г =1 При этом максимальная ошибка будет 3,2 Ом, что составляет 0,7 % (а не 1 %, как было первоначально) от номинала.

7.73. Резонансная частота колебательного контура/р определяется из выражения

1

2WТс'

где і — индуктивность контура; С — емкость контура.

Определить приближенно среднее значение резонансной частоты контура и ее среднее квадратическое отклонение, если тп1 = 50 [мкГн]; гас =200 [пФ]; а, = 0,5 [мкГн] и ас = 1,5 [пФ].

Решение. mf = ===== — 1,59 [МГц].

р 2x^/771 lmc [ди\ *

a2 + k dl t СТІ

И- °С = ™/p ¦2 „2

2 2 ml mc

2 -1 4

D} =

•10-4;

= m2fp .i(0,012 + 0,0075 a/p =m/p -^'Ю"2 -1,0-КГ2 [МГц],

что составляет 0,62 % от номинальной частоты.

7.74*. Доказать, что если Xj, ) • • ¦ > Xп независимы, положительны и одинаково распределены, то М

i=i

j=і

к_ п Решение. Так как все величиныХг,Х2, ..., Хп положительны, то в знаменателе никогда не стоит нуль. По теореме сложения математических ожиданий имеем = ЕМ

М

я* /Ех;

і=І

м

г =1

j=і Так как все величины Хг, Х2,..., Хп распределены одинаково, то М

= м м

м при любых г и то. Обозначим а их общее значение: М

= а (г = 1, 2, ..., тг). Вместе с тем ясно, что сумма всех величин вида Х{ j Рав~

j=і

на единице, следовательно, и математическое ожидание ее тоже равно единице: М

= 1. і=І

і =1

М Заменяя выражение, стоящее под знаком математического

п 2

ожидания, через а, имеем ^а = па = 1, откуда а = —. Следоваі=І

тельно, к

= ?м

г =1

М

м

і=І

М

^п п' что и требовалось доказать.

<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА 7ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН:

  1. ГЛАВА 5СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  2. ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  3. ГЛАВА 6СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ
  4. ГЛАВА 9 случайные функции
  5. Так как всякая величина делима на величины
  6. § 1. Общая характеристика организации и функций судебной власти
  7. § 1. Общая характеристика общения (сущность, функции, структура
  8. ГЛАВА 10потоки событий. марковские случайные процессы
  9. НЕОБХОДИМОСТЬ И СЛУЧАЙНОСТЬ
  10. СЛУЧАЙНОСТЬ
  11. СЛУЧАЙНОСТЬ
  12. * § 5. Необходимость и случайность
  13. Глава 8. Функции таможенных органов
  14. НЕОБХОДИМОСТЬ И СЛУЧАЙНОСТЬ
  15. Глава 4. Элементы, функции и классификация налогов
  16. Глава 3. ФУНКЦИИ, ПРИНЦИПЫ И РОЛЬ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  17. Глава 7. Конституционные характеристики Российского государства
  18. ГЛАВА II. Функции денег