<<
>>

ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Если X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), а случайная величина У связана с нею функциональной зависимостью
У = ч>(Х),
где tp — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента X, то плотность распределения случайной величины У выражается формулой
9(v) = №(vm'(v) 1>
где ф — функция, обратная по отношению к ф.
Если ф — функция немонотонная, то обратная функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном у) имеет обратная функция:
ff(y) = E/H>,(v))U>S(y)l.
г =1
гдеф^з/), я^(у), ..., ^(з/) — значения обратной функции для данного у.
Для функции нескольких случайных величин удобнее искать не плотность распределения, а функцию распределения. В частности, для функции двух аргументов
функция распределения вычисляется по формуле
где }(x, у) — плотность распределения системы (X, У); D(z) — область на плоскости хОу, для которой ф(я, у) < Z.
Плотность распределения g(z) определяется дифференцированием G(z):
g(z) = G'(z).
Плотность распределения суммы двух случайных величин
Z = X + Y
выражается любой из формул
ОО 00
9{z)= f f(x,z-x)dx, g(z) = f f(z-y,y)dy,
— oo —00
где f(x, у) — плотность распределения системы (X, Y).
В частности, когда случайные величины X, Y независимы, Л*> У) = fi(x)f2(y)> то
00
9(z) = J fl(x)f2(z-x)dx
—оо
или
оо
9{z) = f ?(z - y)f2(y) dy,
—00
В этом случае закон распределения суммы д(х) называется композицией законов распределения слагаемых /г(х), /2(у).
Если случайные величины, подчиненные нормальному закону, подвергать любому линейному преобразованию, то будут получаться снова случайные величины, распределенные нормально.
В частности, если случайная величина X распределена нормально с параметрами тх, ох, то случайная величина
Y = aX+b
(где а, Ь — неслучайны) распределена нормально с параметрами ту = = атх+ Ь; оу =\а\ох.
При композиции двух нормальных законов: /г(х) с параметрами тх, ох и f2(y) с параметрами ту,оу получается снова нормальный закон с параметрами
mz=mx + ту\ о = ^а2х + о] .
При сложении двух нормально распределенных случайных величин X, Yс параметрами тх, ох, ту , оу и коэффициентом корреляции г^получается случайная величина Z, также распределенная нормально, с параметрами
т2=тх + ту; о = + а\ + 2гхуахау .
Линейная функция от нескольких независимых нормально распределенных случайных величин Х1, Х3, Хп
z = y?aixi+b,
і =1
где а{, Ь — неслучайные коэффициенты, также имеет нормальный закон распределения с параметрами п п
га.
= J2 аі + аг = JJ2 а«?СТ«- >
і =1 V г' =1 гдет^ , а^ — параметры случайной величиныХ{ (і = 1, ..., п).
В случае, когда аргументы Хг,Х2 •. •, Хп коррелированы, закон распределения линейной функции остается нормальным, но с параметрами гп,
? aimxi + V«=i «где rXiXj —коэффициент корреляции величин Х{г, XJ;(г =1, n; j ^ г).
Композицией двух нормальных законов на плоскости называют закон распределения случайного вектора с составляющими
Х = Х1+Х2; Y = Уг + Y2,
где (Xv Уг), (Х2, У2) — случайные векторы, не коррелированные между собой (гТТ = гт .. = г т = г „ = 0).
Ч х1х2 Х\У 2 У 1Х2 У\У 2 '
При композиции двух нормальных законов на плоскости получают снова нормальный закон с параметрами
Шх = ГПх1 + 771 х2; ту = тух + ту2\
откуда
г сг сг 4- г сг а _ *1У1 Уі ' Х2У 2 х2 У 2
ху
При проектировании случайной точки (X, У), распределенной на плоскости по нормальному закону, на ось Oz, проходящую через центр
рассеивания и составляющую угол а с осью Ох, получается случайная точка Z, распределенная по нормальному закону с параметрами
mz — тх cos а + ту sin а; gz = Характеристической функцией случайной величины X называется функция
где і = л/—Т — мнимая единица.
Для дискретной случайной величины X
g(t) = J2eitlkPb'
гдерк = Р(Х=хк)(к = 1,..., п).
Для непрерывной случайной величины
оо
g(t)= J e~'txf{x)dx,
—оо
где f(x) — плотность распределения случайной величины X.
Отметим, что д (0) = 1 и | д (t) | < 1 для любого t.
Плотность распределения f(x) выражается через g(t) формулой f(x) = ^f e~itXg^dt
Если случайные величины X и У связаны соотношением У = аХ7 где а — неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением
9y{t) = gx{at).
Если случайная величина У представляет собой сумму независимых случайных величин
к=1
ТО
9у(*)=П9,к(*)>
it=i
т.е. характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
вале
8.1. Случайная величина X распределена равномерно в интер— —, —I. Найти закон распределения случайной величины
Y = s'mX.
Решение. Функция у = smx в интервале
монотонна,
2' 2)
поэтому плотность распределения величины У может быть найдена по формуле
9{у) = шу№ь)\Решение задачи располагаем в виде двух столбцов; слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа — конкретные функции, соответствующие данному примеру: 7Г 7Г
2' 2
7Г 7Г
2' 2
/(*)
У = 4>(х) х =
9 {у) =
mv)\
9(у) = №(ушъ)\ — при х Є

О при х ?
у = sin X х = arcsin у 1
У
г при у Є (-1, 1), при у (-1,1). Интервал (—1, 1), в котором лежат значения случайной вели-чины Yy определяется областью значений функции у = sin х для
( 7Г
X Є \
2 2)
8.2. Случайная величина X распределена равномерно в интервале Найти плотность распределения случайной величины Y = cosX.
В дальнейшем при решении аналогичных задач для сокращения будем записы-вать выражение плотности распределения только на участке, где она отлична от нуля, подразумевая при этом, что вне этого участка она равна нулю.
Решение. Функция у = cos х немонотонна в интервале Решение будем составлять аналогично предыдущему с
той разницей, что в данном случае для любого у обратная функция будет иметь два значения. Решение снова оформляем в виде двух столбцов тг тг 2'2
Л*)
У =
Фі (У) ф 2(2/)
— при X Є 'гг
у — COS X
х =
xl = —arccos у х2 = arccos у 1 1
9{у)
тсд/і - у2 ТГд/і — 2/2 г при у Є (0, 1).
ТГд/ь
8.3. Случайная величина X распределена равномерно в интер. Найти плотность распределения случайной величивале
I 2 2)
ныУ =|sinX|. Ответ. д(у) =
при у є (0,1).
У
8.4. Случайная величина X имеет плотность распределения f(x). Найти плотность распределения случайной величины Y=\l-X[
Решение. Функция у =|1 - х\ немонотонна. Решение будем составлять так же, как в задаче 8.2. № у =|1 -х\
хг= 1-у х2 = 1 + у
У =
Фі (у)
Ф2 (У)
9 (У) = /(1 " У) + /(1 + У) при у > 0.
і =1
Рис. 8.5
8.5. Круглое колесо, закрепленное в центре О (рис. 8.5), приводится во вращение, которое затухает вследствие трения. В результате фиксированная точка А на ободе колеса останавливается на некоторой высоте Н (положительной или отрицательной) относительно горизонтальной линии 1-І, проходящей через центр колеса; высота Н зависит от случайного угла 0, при котором остановилось вращение.
Найти: а) закон распределения высоты Я; б) закон распределения расстояния D от точки А до прямой 1-І (считая это расстояние всегда положительным).
; тогда Н является моР е ш е н и е. Н = г sin©, где угол © — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2тт). Очевидно, решение задачи не изменится, если считать случайную величину 0 распределенной равномерно в интервале — —, —
нотонной функцией 0.
Плотность распределения величины Н: 9(h) =
при
— г < h < г. irrjl — Плотность распределения величины D = \Н |:
9i(d) =
2

при 0 < d < г. 8.6. Случайная величина X распределена по закону Рэлея с плотностью 2а
о
при х > 0, при х < 0. — X2
Найти закон распределения величины Y = е .
Решение. На участке возможных значений аргумента X
2
функция у = е~х монотонна. Применяя общее правило, получим 2ст
(а? >0) у = е х =д/- In у
2у,]- In у
2а у
У =
я? = ФЫ ІФ'ООІ
p(2/) = /(^(2/))lV(2/)l = —-у 2(1 при 0 < у < 1. 2 а2
Рис. 8.6
Графики при разных а приведены на рис. 8.6.
8.7. Случайная величина X распре-делена по закону Коши с плотностью
/0*0= 1 9ч (-оо<х<+оо). тг(1 + х2)
распределения
Найти плотность обратной величины У =
Решение. Учитывая, что, несмотря на разрывный характер функции
у = 1 обратная функция х = — одно- х у
значна, и решая задачу по правилам для монотонной функции, получим і
і
или 214
д(у) = 1 + V 2' у2 •її
9ІУ) =
тс(1 + ЇҐ)
(—оо < у < +оо), т.е. величина, обратная величине, распределенной по закону Копій, также имеет распределение Копій.

8.8. Через точку А, лежащую на оси Оу на расстоянии 1 от начала координат, проводится прямая АВ под углом а к оси Оу (рис. 8.8). Все
ТС TV
значения угла а от до — равновероятны.
2 2
Найти плотность распределения абсциссы X точки В пересечения прямой с осью абсцисс. Решение. X = tg а; функция монотонна
ТС ТС тж
на участке < a < —. Имеем
2 2
1
=
7Г(1 + Я2 )
(—оо < х < +оо),
т.е. случайная величина Xраспределена по закону Коши.
8.9. Дискретная случайная величина X характеризуется рядом распределения Xi -2 -1 0 1 2 Pi од 0,2 0,3 0,3 од
Найти законы распределения случайных величин Y = X2+ 1; Z= \Х\.
Решение. Определяя для каждого х{ соответствующие значения величин Yn Z и располагая их в возрастающем порядке, получим ряды распределения Уг 1 2 5 Pl 0,3 0,5 0,2
Zi 1 2 2 Pl' 0,3 0,5 0,2

при
8.10. Через точку А с координатами (0, 1) проводится прямая АВ под случайным углом © к оси ординат (рис. 8.10). Закон распределения угла © имеет вид
/(0) = ^ cosG
ТГ Л ТГ — < 0 < —. 2 2
Найти закон распределения расстояния L от прямой АВ до начала координат.
Решение. Имеем L = | sin 01. Функция
не монотонна. Применяя обычную
1 А тг А ТГ
— cos 0 при < 0 < —
I = | sin е|
—arcsin I arcsin I
I = | sin 01 на интервале схему записи, имеем
у =
х=\му)
ЬМя)

9(L) =
, cos (arcsin I) при 0 < I < 1,
т.е. расстояние L распределено равномерно в интервале (0, 1), как это можно видеть и из геометрических соображений.
8.11. Радиус круга R — случайная величина, распределенная по закону Рэлея:
/(г) = — е 2°2 при г > 0.
Найти закон распределения площади круга S. Решение. Функция S = тгі?2 на участке возможных значений R (0, оо) монотонна, следовательно, 9{s) =
2тт
2тссг
при 5 > О, т.е. закон распределения площади круга есть показательный закон с 1
параметром .
2тс<т2

Рис. 8.12
8.12. Маятник совершает свободные незатухающие колебания, причем угол ф (рис. 8.12) изменяется в зависимости от времени t по гармоническому закону:
Ф = a sin (ut + 0),
где а — амплитуда; и — частота; 0 — фаза колебания. В некоторый момент t = 0, совершенно не связанный с положением маятника, производится его фотографирование. Так как положение маятника в момент фотографирования неопределенно, то фаза 0 есть случайная ве-личина, распределенная равномерно в интервале (0, 2-к). Найти закон распределения угла Ф, который будет составлять маятник с вертикалью в момент фотографирования, найти его математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Ф = a sin0, где фаза 0 распределена равномерно в интервале (0, 27г), на котором функция ф =asin0 не монотонна. Очевидно, решение задачи не изменится, если считать фазу 0 расгде функция
( тс
пределеннои равномерно в интервале — —, — Ф = a sin 0 монотонна. Плотность распределения величины Ф будет 1
5(ф) = — тс
Тсд/а2
2 а
Ф
1при |ф|<а. Так как закон #(ф) симметричен, то его математическое ожидание т = 0. Дисперсия угла Ф равна і а тс J
Ф
• Ф
arcsm—
:С?ф = —
Ф /~2 | Й
л/а — ф Н
-а Vа2 ~
ТС
Ф
2 v 2 8.13. Завод изготовляет шарики для подшипников, номиналь-ный диаметр которых d0, а фактический диаметр L — случайная величина, распределенная по нормальному закону, с математиче ским ожиданием d^ и средним квадратическим отклонением а,. После изготовления каждый шарик проходит контроль, причем бракуются все шарики, проходящие сквозь отверстие диаметром d0 —2а,, и все шарики, не проходящие сквозь отверстие диаметром d0 + 2 о і.
Найти закон распределения диаметра шариков, прошедших контроль (незабракованных).
Решение. В этой задаче нужно найти плотность распределения некоторой случайной величины ?*, которая равна L только в случае, когда L приняло значение между d0 — 2а1 и d0 + 2о1; вне
интервала (d0 — 2ol, d0 + 2а j) плотность распределения должна

Рис. 8.13
быть равна нулю (рис. 8.13), а внутри интервала — пропорциональна /(Z), причем
d0 + 2ol
ff* (l)dl = і.
d0-2oi
Из этого соотношения можно найти коэффициент пропорциональности а:
<і0 + 2ст/
J f* (I)dl = a J f(l)dl = а [2Ф* (2) —1] = 1,
d0 + 2ol dfi-2oi
d0-2ai откуда 1,05.
a =
1
2Ф* (2) - 1 0,9544 Таким образом, (1-^0 У
2а?
1,05
/*(0 =
при \l-d0\<2oh при \l—d0\>2al. 8.14. Имеется случайная величина X с плотностью распределе-ния f(x). Случайная величина У определяется через ^соотноше-нием
Y = min{X, 1}, т.е. Y= ХириХ< 1, Y= 1 ириХ > 1. 218
Найти закон распределения случайной величины Y и опреде-лить ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Случайная величина Y будет величиной смешанного типа. При у = 1 ее функция распределения имеет скачок рх, равный вероятности того, что величина X примет значение, большее единицы:
Pl=f f(x)dx = 1 — F(l).

При у < 1 функция распределения Fx{y) случайной величины Y будет совпадать с функцией распределения F(x) случайной величины X при х = у:
F1(y) = F(y)= f/(x)dx.
—ОО
При y>lF1(y) = l (рис. 8.14).
Математическое ожидание смешанной случайной величины Y равно
1 оо 1
ту = 1-рг + J yF'(y)dy = J f{x)dx+ f yf{y)dy.
—oo 1 —oo
Дисперсия случайной величины Уравна
1
Dy =а 3[Y]-ml = f f(x)dx+ f y2f(y)dy-m2y.
-oo
8.15. Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения Дх). Найти закон распределения случайной величины -1 при Х>0, Y = sgnX 0 при Х = 0, -1 при X <0
и ее числовые характеристики.
Решение. Дискретная случайная величина У имеет всего два значения: минус единица и плюс единица (вероятность того, что У = 0, равна нулю).
о
Р(У = _1) = Р(Х<0)= ff(x)dx = F(0);
-ОО
ОО
Р(У = +1) = Р(Х > 0) = f f(x)dx = 1 - F(0);
о
тпу = —1 • F(0) + 1 . [1 - F(0)] = 1 - 2F(0);
a2[y] = l.F(0) + b[l-F(0)] = l;
Dy = а2[У] - m2y = 1 - 1 + 4F(0) - 4[F(0)]2 = 4F(0)[1 - F(0)].
8.16. Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(x). Найти закон распределения случайной величины
Y = min{X, X2},
т.е. величины, которая равна Ху если ;У=х2 X < Х2,иХ2,еслиХ2 <Х.

Решение. Функция у = Lp(x) моно- у=х тонна (рис. 8.16)
х2 при х є (0,1), х при 1). О 1 Рис. 8.16
Так как интервал (0, 1) оси Ох отображается на интервал (0, 1) оси Оуу то по общему правилу 9ІУ)
/(V»)^ ПРИ /(у)
при у g (0, 1).
8.17. Случайная величина X имеет плотность распределения /(ж), заданную графиком (рис. 8.17). Случайная величина У связана с X зависимостью У = 1-Х2. Найти плотность распределения случайной величины У.
Решение. Плотность f(x) дается функцией /оr) = i(* + l)
при
х Є (—1, + 1).
Функция у = 1 — Xі на этом участке не монотонна; обратная функция имеет два значения: Х1 = "л/1 - у 1 х2 = +V1 - у •
Отсюда
д(у) = [(1 - V^T) + (1 + VW)]
4V1-»
или
рО) = . 1 при 0<у<1.
2л/1
8.18. Случайная величина X распределена по закону с плотностью /(ж). Найти плотность распределения обратной ей случайной
величины Y = —.
X
Решение. Функция у = — хотя и не монотонна в обычном
X
смысле слова (при х = 0 она скачком возрастает от -оо до оо), но обратная функция однозначна, значит, задача может быть решена так, как она решается для монотонных функций:
_1_ У2

9(У) = /
У) при тех значениях у, которые могут быть обратными заданной совокупности возможных значений х.
8.19. Натуральный логарифм некоторой случайной величины J распределен по нормальному закону с центром рассеивания тп и средним квадратическим отклонением а. Найти плотность рас-пределения величины X.
Решение. Обозначим нормально распределенную величину через U. Имеем
( Ц —171 у
2 а2
>2
1
U = \пХ; X = еи ] f(u) =
ал/2Їт
Функция е монотонна; -(Іпд-т)
2? 1 =
-(lni-m) 2а2
д(х) = ¦
при х > 0.
л/2тГ
ХО

Такое распределение величины X называется логнормальным. 8.20. Пятно П, изображающее объект на круглом экране радиолокатора, может занимать на нем произвольное положение (рис. 8.20), причем плотность распределения координат (X, У) пятна в пределах экрана постоянна. Радиус экрана равен г0. Найти плотность распределения расстояния R от пятна до центра экрана.
Решение. Найдем функцию распределения
Рис'8'20 G(r) = Р(R < г) = Р((Х, У)є Кг),
где К— круг радиуса г с центром в точке О. Так как в пределах экрана плотность распределения постоянна, то вероятность попадания в круг равна его относительной площади
-кг
G(r) = 'о )
-КГП откуда
2 г
g{r) = G\r) = — при 0 < Г < Г0.
Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, 1). Случайная величина У связана с X монотонно возра-стающей функциональной зависимостью У = у(Х).
Найти функцию распределения G(y) и плотность распределения д(у) случайной величины У.
Решение. Имеем f(x) = 1 при х Є (0,1).
Обозначим а|;(?/) функцию, обратную по отношению к функции у = ф(я). Так как ф(я) монотонно возрастает, то
9(У) = І(МУ))ПУ) = І>Ь),
откуда G(y) = ), т. е. искомая функция распределения есть обратная по отношению к функции ф (в области возможных значений величины У).
Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (0, 1), чтобы получить случайную величину У, распределенную по показательному закону
д(у)=,\е-Ху (при у > 0)?
Решение. На основании решения предыдущей задачи мы должны положить Y = ip(X), где ср — функция, обратная требуемой функции распределения G(y) случайной величины Y. Имеем
У
G{y) — f \е~Ху dy = 1-е~Ху. о
Полагая в этом уравнении 1 — е~Ху = хи разрешая его относительно у, получим
У = ™1п(1-ж),
Л
откуда искомая зависимость будет
Y — —~-ln(l — X), 0 < X < 1.
8.23*. Имеются две случайные величины; Хс плотностью fx (х)
и Y с плотностью /2 (у). Известно, что величина У представляет собой монотонно возрастающую функцию величины X: Y = ip(X). Найти вид функции ф.
Решение. Введем в рассмотрение, кроме плотностей /г(х), f2(y)y функции распределения
X у
*!(*) = Jfi(x)dx; F2(y)= Jf2(y)dy.
—оо —оо
Представим случайную величину X как функцию от Y: X = ф-1(У), где ф — функция, обратная по отношению к искомой ф.
Применяя обычный способ нахождения функции распределения монотонной функции, находим
F1(x) = J)f2(y)dy = F2(4>(x)).
— ОО
Разрешая это уравнение относительно ф(ж) и вводя функцию F^1, обратную функции F2, получим
^(x)^F21(F1(X))
или, возвращаясь к случайным величинам,
у = яг1 (*!(*))•
Полученная формула определяет функцию ф(ж) только в тех интервалах, где плотность fx (х) отлична от нуля.
8.24. Случайная величина X распределена по показательному закону:
f1(x) = \e~Xx (х > 0)
Каким функциональным преобразованием можно превратить
ее в случайную величину Y, распределенную по закону Коши:
ъ(1 + у2) ~Хх (х>0);
/,(»)=¦ 1 °
Р е ш е н и е. Fx (х) = 1 — є F2(V) = -к

arctg у + — 2 -к
arctg у + —
Полагая во втором уравнении —

относительно у, найдем обратную функцию F2l (и): y = F~l{u) = tg
и и разрешая его
тш — — j = — ctg-тш.
По решению предыдущей задачи получим
Y = F"1 (X)) = -ctgir(l - ) = ctgire-xx (X > 0).
8.25*. Решить ту же задачу, что и 8.23, но при условии, что свя-зывающая две случайные величины функция ф должна быть не монотонно возрастающей, а монотонно убывающей.
Решение. В тех же обозначениях, что в задаче 8.23, имеем
оо
Х = ад= f f2(y)dy=l-F2[4>(x)},
ф(х)
откуда
Ф^Н^-Чі-Я*)] И Y = F-1[1-F1(X)\.
8.26. Двое условились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 12.00 до 13.00. Каждый из них приходит на место встречи независимо от другого и с постоянной плотностью вероятности в любой момент назначенного промежутка. Пришедший раньше ожидает другого. Найти распределение вероятностей времени ожидания и вероятность того, что ожидание продлится не менее получаса.
Решение. Обозначим моменты прихода двух лиц Тг и Т2; за начало отсчета времени примем 12 ч. Тогда каждая из независи- мых случайных величин Тг, Т2 распределена с постоянной плотностью в промежутке (0, 1). Случайная величина Т — время ожидания Т =|Тг - Т2[
Найдем функцию распределения G(t) этой величины. Выделим на плоскости tx0t2 область D(t\ в которой -t2\Функция распределения G(t) в данном случае равна площади этой области: t 1 Рис. 8.26
О
G(t) = l-(l-t)2 =і(2-і), откуда g(t) = 1 - (2 - t) при 0 < t < 1. р [г >11 = 1 — G 2J ~ I = 0,25.
8.27. Случайная точка (X, У) распределена равномерно в квадрате К со стороной 1 (рис. 8.27, а). Найти закон распределения площади S прямоугольника R со сторонами X, Y.
Решение. Выделим на плоскости хОу область D(s), в пределах которой ху < s (рис. 8.27, б).

xy — s
Рис. 8.27
Функция распределения в данном случае равна площади области D(s)
і і
G(s) = 1 - J Jdxdy = 1 - JdxJdy = s(l - Ins).
D{s) s ±
x
Отсюдаg(s) = G'(s) = - Ins при 0 < s < 1.
8.28. Система случайных величин (X, Y) имеет плотность
распределения /(гтс, у). Найти плотность распределения g(z) их оту Y
ношения Z = —.
Рис. 8.28
Решение. Зададимся некоторым значением z и построим на плоскости
У
хОу область D(x\ где — < х (рис.8.28, за
штрихованная область). Функция распределения G(z) имеет вид
G(z) = 11 f&y)dxdv =
D(z)
О оо
J dx J f(x, у) dy + Jdx J f(x, y)dy. Дифференцируя no z, имеем
и oo
g(z) = — J xf(Xj zx) dx + f xf(x, zx)dx.
-oo 0
Если случайные величины^, У независимы, то
О оо
g(z) = -J xf1(x)f2(zx)dx + J xf1(x)f2(zx)dx.
8.29. Найти закон распределения отношения Z = — двух незаX
висимых нормально распределенных случайных величин X, Y с характеристиками тх = ту =0, ахиау.
Решение. Рассмотрим сначала частный случай ах = а у = = 1. На основании предыдущей задачи
° 1 -1(*2 + А2) 1 -1(х2 + А2)
q(z) — — I х—е 2 dx-h х—е 2 dx =
4 J J 2тг J 9тг і г —
xdx =
(закон Коши).
IT J
+ Z2) В общем случае отношение Z = — можно представить в ви<7 °У YI V X v Y
де Z = ——где величины Хг = — и Yx = — имеют уже норох Хг а„
мальные распределения с дисперсией, равной 1; поэтому в общем случае 9(z) = 1 / N
ЛГ 2' •к 1 + У J
В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ АХ = АУ, ПОЛУЧИМ
1
9{Г) =
1Г(1 + Z2) 8.30. Случайная точка (X, У) распределена равномерно в круге К радиуса 1. Найти закон распределения случайной величины
2=1. X

Рис. 8.30
Решение. В данном случае G(z) есть относительная площадь области D(z) (рис. 8.30):
arctg z + —
ад=ТГ
откуда
(закон Коши).
+ z2) ХіЄ-Хл при *1 >0, 0 при хх <0, Х2е"хл при Х2 >0, 0 при Х2 <0. 8.31. Составить композицию двух показательных законов fi(xi) =
/2(^2)=
Решение. Обозначим X = Хг + Х2, где , Х2 распределены по законам (хх), /2 (х2).
Согласно общей формуле для композиции законов распределения
ОУ
Но в нашем случае оба закона отличны от нуля только при положительном значении аргумента; значит, /г(хг) = 0 при хг < 0 и при f2(x- х1) = 0при хг > X. При х > О получим
х
д{х) = J Х1є-ХЛХ2Є"Хї(,~*,)«?І?1 -1] =
Х2 - \
ХЛ.е-У rJX,_Xl)> \\2(е~х* -e-V)
Х2 - \ (<обобщенный закон Эрланга 1-го порядка).
При \1 = Х2 = X, раскрыв неопределенность, получим закон Эрланга 1 -го порядка:
= \2хе~Хх при х > 0.
Примечание. Методом математической индукции можно дока-зать, что закон распределения суммы п независимых случайных величин, Хг,...,ХпУ подчиненных показательным законам распределения с различными параметрами \,..., Хп, т. е. обобщенный закон распределения Эрланга (ті- 1)-го порядка, имеет плотность
п п при х > 0,
мг'П^Е9п-i(s) =
і=1 і=1гкх;-хь>
Ыз 0
при х < 0. (Запись Y[ означает, что берется произведение всех биномов вида
\j-\k при k = 1, 2,j - 1, j + 1,п, т.е. кроме X^.-Xj.) В частном случае, когда Xt = г X:
j=і
Функция распределения обобщенного закона Эрланга (гс - 1)-го порядка имеет вид
п п
при х > 0.
Если X, = г X, то
.7=1
Если \ = Х2 =...= Xn = X, то получаем закон Эрланга (п - 1У го порядка:
= = 1,Хх) (ж > 0),
(п -1)!
X
°П-ЛХ) = / - X®) ^ =
0
00
= 1 - f \Р(п -1, \х) dx = l- R(n - 1, \х) (х > 0), где
P(m, а) = —¦ е~а; Д(т, а) = Y) —е~а. т! ы^!
8.32. Имеется система двух случайных величин (X, Y) с плотностью распределения /(х, у). Найти функцию распределения G(z) и плотность распределения g(z) максимальной из этих двух величины: Z = max{X, Y}.
Решение. Будем искать функцию распределения случайной величины Z: G(x) = P(Z < z).
Для того чтобы максимальная из величин X, Y была меньше z, нужно, чтобы каждая из этих величин была меньше z:
где
G(z) = J>((Xx у
F{x,y)= f f f(x,y)dxdy.
Таким образом,
z z
G(x)= J Jf(x,y)dxdy.
Чтобы найти плотность распределения g(z)y продифференцируем G(z) по величине zf входящей в пределы двойного интеграла. Дифференцировать будем как сложную функцию двух переменных zlnz2, из которых каждая зависит от z{zx = zyz2 = z): dG(z) _ d dz dz
ч H
9{z) =
dx
f ff(x,y)dy = acw^ + acw ^ = j./(>_ y)dy + j. z)oz, dz oz0 dz J J
1 L — oo —oo
В частном случае, если величины X, У независимы, f{x,y)~
= л0*0/2(у)>то
г х
зС0 = Л(*) f f2(y)dy + f2(z) f h{x)dx,
— OO -OO
или, более компактно,
g(z) = f1(z)F2(z) + f2(z)F1(z).
Если случайные величины Хи У независимы и одинаково распределены [Д (х) = /2 (х) = /(х)], то = 2f(z)F(z).

8.33. Система двух случайных величин (X, У) имеет плотность распределения /(х, у). Найти функцию распределения G(u) и плотность распределения д(и) минимальной из этих двух величин: U = min{X, Y}.
Решение. Будем искать дополнение до единицы функции распределения:
1 - G(u) = Р(U>u) = Р((Х>г*)(У > и)).
Это есть вероятность попадания случайной точки (Ху Y) в область D(u), заштрихованную на рис. 8.33. Очевидно,
Рис. 8.33 1 - G(u) = 1 - F(u, оо) - F(оо, и) + F(u, и),
откуда
= F(u, оо) + F(oo, u) - F(u, и) = Fx(u) + F2(u) - F(u, и). Дифференцируя по и, имеем (см. задачу 8.32)
и и
д(и) =/г(и) + f2(u) - ff(u,y)dy - J/(х, u)dx.
—оо —оо
В случае, когда величины Хи Yнезависимы,
u u
9{и) = Л(») + /2(«) - Л(«) - f f2(y)dy - f2(u) Jf1(x)dx =
—00 —00 = f1(u)[l-F2(u)} + f2(u)[l-F1(u)}.
Если случайные величины Хи У независимы и одинаково распределены [/, (х) = /2 (х) = f{x)], то
g(u) = 2f(u)[l-F(u)}.
Имеется п независимых случайных величинХг, Х2,...,
Хп, распределенных по законам с плотностями),/2(х2), /.(*»)•
Найти плотность распределения максимальной из них: Z = тах{Хг,Х2,
и минимальной:
U = тш{Хг,Х2,
т.е. той из случайных величин, которая в результате опыта примет максимальное (минимальное) значение.
Решение. Обозначим Gz (z) функцию распределения величины Z. Имеем
i=l
где
z
Fi{z)= J fi{xi)dxi (г = 1, 2, ..., n).
—ОО
Дифференцируя, получим сумму произведений производных отдельных функций распределения F1(x1), F2(x2), ...,Fn(xn) на произведения всех остальных функций, кроме той, которая продифференцирована. Результат можно записать в виде
п f.(z) п j=1 j \ ) І =1
Аналогично, обозначая ??и (и) функцию распределения величины U, получим
(«>=і - nti - ^ («>].
і =1
Дифференцируя, получим
п f .(ц\ п
Имеется п независимых случайных величин Хг,Х2,..., Хп, распределенных одинаково с плотностью /(х). Найти закон распределения максимальной из них:
Z = тах{Х1, Х2, Хп}
и минимальной:
U = тт{Х1,Х2, Р е ш е н и е. На основании решения предыдущей задачи Gz(z) = Fn(z); g2(z) = nFn-1(z)f(z)G. («) = 1 - [1 - ВДГ 5 Производится три независимых выстрела по плоскости хОу; центр рассеивания совпадает с началом координат, рассеивание нормальное, круговое, ох —оу = а. Из трех точек попадания выбирается та, которая оказалась ближе всех к центру рассеивания. Найти закон распределения расстояния Rmin от точки попадания до центра.
Решение. Имеем Rmin = min{R1, R2, R^ }. Из решения предыдущей задачи имеем
9Rmin (r) = 3[l-F(r)]2/(r),
где F(r) ,f(r) — функция распределения и плотность распределения расстояния R от точки попадания любого выстрела до центра рассеивания,
F(r) = P(R/(г) = 4е 2ff2 (г > 0). а2
Отсюда
Зг2
т.е. плотность распределения расстояния от ближайшей из трех точек до центра рассеивания имеет тот же вид, что и для каждой из них, но при условии, что параметр о уменьшен в л/3 раз, т. е. заменен
/ СГ
значением а = — V3
Найти закон распределения минимальной из двух независимых случайных величин Tv T2l распределенных по показательным законам:
fl{t1) = \e~^h при tl > 0; f2(t2) = \2e~^ при *2>0.
Решение. На основании решения задачи 8.33
9и И = ЛИ!1 - ВД] + і - *»] =
= \1e~Xl"e~X2" +\2e"X2"e-XlW =(\ +\2)e-(Xl+X2)u (и> 0),
т.е. закон распределения минимальной из двух независимых случайных величин, распределенных по показательным законам, есть тоже показательный закон, параметр которого равен сумме параметров исходных законов.
Вывод нетрудно обобщить на любое число показательных законов.
8.38. В условиях предыдущей задачи найти закон распределения gz(z)максимальной из величин Ть Т2. Решение.
gz(z) = f1(z)F2(z) + f2(z)Fi(z) = = ХіЄ-х'г[1 - e-^z}+\2e-^z[l - e"Xl2] = = ХіЄ-Хі2 + X2e~x*2 - (Xj + X2) e-(x'+x2)' (z > 0).
Этот закон показательным не является. При Xj = Х2 = X
9Z (z) = 2Хе-х* (1 — e~Xz) (z > 0).
8.39*. Над случайной величиной X, имеющей плотность распределения /(х), производится П независимых опытов; наблюденные значения располагаются в порядке возрастания; получается ряд случайных величин Z19Z2, ...,Zn.
Рассматривается к-я из них Zk. Найти ее функцию распределения Gk(z) и плотность распределения дк (z).
Решение. Gk(z) = Р(Zk < z). Для того чтобы к-я (в порядке возрастания) из случайных величин Z,, Z2, ..., Zk, Zn была меньше z, нужно, чтобы не менее к из них были меньше z:
m=k
где PM — вероятность того, что ровно га из наблюденных в П опытах значений случайной величины X будут меньше z. По теореме о повторении опытов
Pm =C:[F(z)}m{l-F(z)y
откуда
Gk (z) = ЕС [F(z)]m[l - F(z)}-m ,
m=k
где
F(z)= f/(x) dx.
Плотность распределения gk(z) можно найти, дифференцируя это выражение и учитывая, что
С™т = — = пС™-1;
(га — 1)! (гг — га)!
C7nm(n-m) = nC„m_1 (т<п).
После простых преобразований получим
9к (*) = nCk-\f{z) [F(z)tl [1 - F(z)}n-k.
Однако гораздо проще получить gk(z) непосредственно, с помощью следующего простого рассуждения.
Элемент вероятности gk(z)dz приближенно представляет собой вероятность попадания случайной величины Zk (к-го в порядке возрастания значения случайной величины X) на участок (z, z + dz). Для того чтобы это произошло, нужно, чтобы совместились следующие события:
какое-то из значений случайной величины X попало на интервал (z, z + dz);
(к — 1) других каких-то значений оказались меньше z\
(п — к) остальных значений оказались больше z (вероятностью попадания более чем одного значения на элементарный участок (z, z + dz) пренебрегаем).
Вероятность каждой такой комбинации событий равна f(z) dz [F(z)]*_1[l - F(z)]n~k. Число комбинаций равно произведению числа п способов, какими можно выбрать одно значение из п, чтобы поместить его на интервал (z, z + dz)y на число Ск~\ способов, какими из оставшихся п — 1 значений можно выбрать к — 1, чтобы поместить их левее z. Следовательно,
gk(z) dz = nCkn~^1f(z)[F(z)f~1 [1 - F(z)]n~kdz,
откуда
= nCkn^f(z)[F(z)f-'[l - F(z)]"~k.
8.40. В электропечи установлено четыре регулятора (термопа-ры), каждый из которых показывает температуру с некоторой ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением ot. Происходит нагревание печи. В момент, когда две из четы- рех термопар покажут температуру не ниже критической т0, печь автоматически отключается. Найти плотность распределения температуры Z, при которой будет происходить отключение печи.
Решение. Температура Z, при которой происходит отключение печи, представляет собой второе в порядке убывания (т.е. третье в порядке возрастания) из четырех значений случайной величины Г, распределенной по нормальному закону с центром рассеивания т0 и средним квадратическим отклонением ot: 1
С-Тр)2
2а? Соответствующая функция распределения
it - т0)
Пользуясь результатами предыдущей задачи при п = 4, к = 3, получим „(Ыог ф* 't- т0 2 1 -Ф* - то] , CTt J 12
2а?
Аз(0 = Г, V^TC
8.41. Имеется n независимых случайных величин Хг,Х2, ..., , функции распределения которых имеют вид степенной зави-симости: 0 при Xi <0, при Ос^ <1, (і = 1,2,.. .,n) 1 при xt >1 FiM =
Наблюдается значение каждой из случайных величин и из них выбирается максимальное Z. Найти функцию распределения G(z) этой случайной величины.
Р е ш е н и е. На основании решения задачи 8.34
G(z) = f[Fi (z) = f[zki при 0 < < 1
і =1 і =1
tki ) «=1 0 при :.Zk при 1 при
Z>1,
т.е. максимум нескольких случайных величин, распределенных по степенному закону в интервале (0,1), также распределен по степенному закону с показателем степени, равным сумме показателей степеней отдельных законов.
8.42. Дискретные случайные величины Хг, Х2, ...,Хп независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами
п
ах,а2, ..., ап . Показать, что их сумма Y = ^2Х{ также подчинена
і=І
п
закону Пуассона с параметром а = У.
i=i
Решение. Докажем сначала, что сумма двух случайных величин Хх и Х2 подчинена закону Пуассона, для чего найдем вероятность того, что Хх + Х2 ~ га (га = 0,1, 2, ... ):
тп
Р(Хг + Х2 = га) = J2P(Xx = к) Р(Х2 = т — к) =
к=о
т „к т-к
h к\ (га — к)\ ' лк га!
учитывая, что Ст = , представим это выражение в виде
к\(т — А;)! I / J 111 А & І
га! tzi ml
тп I k~~0 'ГП '
а это есть распределение Пуассона с параметром а1 + а2.
Таким образом доказано, что сумма двух независимых случай-ных величин, подчиненных законам Пуассона, тоже подчиняется закону Пуассона. Распространение этого результата на любое число слагаемых производится по индукции.
8.43. Система случайных величин (X, Y) распределена по нормальному закону с характеристиками гах, ту1 стх, оу и Случайные величины (U, V) связаны с (X, Y) зависимостью
U = aX + bY + c; V = kX + lY + m.
Найти закон распределения системы случайных величин (U, V).
Ответ. Система (U, V) распределена нормально с характеристиками
ти — атх +Ьту + с; т v = ктх +lmy + га; ==л]к2о2х+12о2у +2 kloxoyrxy; _ако2х + Ы сг2 + (ЬА; + а/) су^г^

8.44. Самолет-бомбардировщик производит бомбометание по полосовой цели ширины Ь = 40 м, заходя на нее под углом 30° по отношению к направлению полосы (рис. 8.44). Координаты точки попадания распределены по нормальному закону; главные оси рассеивания — направление полета и перпендикулярное к нему; начало координат на средней линии полосы. В этой системе координат хОу параметры нормального закона = 10 [м]; ту = 0;сгх =50[м];сгу =25[м].
Найти вероятность р попадания в полосу при сбрасывании одной бомбы.
Решение. Проецируем рассеивание на ось Ozy перпендикулярную к полосе:
тz = 10 -cos60°= 5 [м]; <т, = д/сг2 sin2 60°-fcr2 sin2 60° = д/502 -0,25 + 252 -0,75 « 33,1 [м]; ф* 20 — _ ф* —20 — 5 > 33,1 , 33,1 ,
8.45. Цех завода выпускает шарики для подшипников. За смену производится п = 10 000 шариков. Вероятность того, что один шарик окажется дефектным, равна 0,05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль сразу после изготовления, причем дефектные шарики бракуются и ссыпаются в бункер, а небракованные отправляются в цех сборки. Определить, на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0,99 после смены он не оказался переполненным.
Решение. Число забракованных шариков X имеет биномиальное распределение; так как п велико, то на основании центральной предельной теоремы можно считать распределение приблизительно нормальным с характеристиками:
тх =пр = 10 ООО • 0,05 = 500;
Dx = npq = 500 • 0,95 = 475; ах « 21,8.
Находим такое значение /, для которого Р(Х < / ) = 0,99, или ф* (1 ) 1-тх 1 = ф* '1 - 500 21,8 ,
По таблицам функции Ф* (х) находим
-—^^ « 2,33, откуда I « 551, 21,8
т.е. бункер, рассчитанный примерно на 550 шариков, с вероятно-стью 0,99 за смену переполняться не будет.
8.46. Условия задачи 8.45 изменены в том отношении, что причины брака являются в значительной степени общими для различных шариков, так что вероятность одному шарику, изготовленному в течение данной смены, быть дефектным, при условии, что другой (любой) шарик уже был дефектным, равна 0,08.
Примечание. Число опытов (тг = 10000) считать достаточно большим для того, чтобы, несмотря на зависимость опытов, закон распределения суммарного числа дефектных шариков был приближенно нормальным.
Решение. Рассмотрим случайную величину X — общее число забракованных (дефектных) шариков — как сумму п= 10 000 слагаемых:
10 000 i=i
где величина Х{ принимает значение 1, если шарик дефектный, и 0 — если не дефектный. Имеем
тх=пр = 10 000 • 0,05 = 500; 10 000
Dx= =
*=1 * где Кх,х — корреляционный момент случайных величин Хг, Xj.
Найдем
Так как произведение X • Xj принимает только два значения: 1 (при Х{ = 1, Xj;= 1) и 0 (в остальных случаях), то
М[Х{ Xj] = 1 • Р((Х, = = 1) = 0,05 • 0,08 - 0,004
и
= 0,004 - 0,05 • 0,05 = 0,0015,
откуда
Dx « 475 + 15 • 104 » 15,05 .104, ох « 388. Далее находим I из условия (I -5001
ф*
388
= 0,99; -—^^ = 2,33; I = 1404, 388 т.е. бункера, рассчитанного примерно на 1400 шариков, будет достаточно (с вероятностью 0,99) для бракованной продукции за смену.
8.47*. Лотерея организована следующим образом. Участникам продаются билеты, на каждом из которых имеется таблица с номерами: 1, 2,..., 90. Участник должен выбрать произвольным образом пять различных номеров, отметить эти номера и послать билет ор-ганизаторам лотереи, которые хранят все присланные билеты в запечатанном виде до дня розыгрыша. Розыгрыш лотереи состоит в том, что случайным образом выбираются (разыгрываются) пять различных номеров из девяноста; выпавшие номера сообщаются участникам. Если у игрока совпали с объявленными менее двух номеров (0 или 1), он никакого выигрыша не получает. Если совпали с объявленными два номера, он выигрывает 1 руб.; если три номера — 100 руб.; если четыре номера — 10 000 руб.; если все пять номеров - 1 000 000 руб.
Определить нижнюю границу цены билета, при котором лотерея в среднем еще не приносит убытка ее организаторам;
определить средний доход М, который приносит лотерея организаторам, если в ней участвуют 1 000 000 человек, назначающих свои номера независимо один от другого, каждый покупает один билет, а цена билета 30 коп.;
пользуясь «правилом трех сигма», найти границы практически возможных выплат по лотерее; можно ли считать суммарную выплату по лотерее распределенной по нормальному закону?
Решение. 1) Обозначим вероятность того, что из пяти названных игроком номеров ровно і совпадут с выпавшими. Находим
=-^Г1~2'25-10"2; «8,12-ю-4;
90 ^90
Р4=^1~9>67-10-6; р5 = -і- и 2,28 • Ю-8.
90 ^90
Минимальная цена билета должна быть равна математическому ожиданию выигрыша игрока, купившего этот билет:
т = 2,25 • 10~2 • 1 + 8,12 • 10~4 • 102 + 9,67 • 10~6 • 104 + + 2,28 • 10"8 • 106 = 22,3 • 10"2 [руб.],
т.е. минимальная цена билета — около 23 коп.
М = (0,30 - 0,223) • 106 = 77 • 103 [руб.].
Общая сумма выигрышей X, которая подлежит выплате по лотерее, представляет собой сумму выигрышей отдельных игроков:
1000000 і =1
где Хі — выигрыш г-го игрока.
Считается, что игроки называют свои номера независимо друг от друга, так что величины Х{ (г = 1, 2,..., 1 000 000) независимы. Из центральной предельной теоремы известно, что сумма достаточно большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин приближенно распределена по нормальному закону. Требуется выяснить, достаточно ли в данном случае числа слагаемых п = 1 000 000 для того, чтобы величину X можно было считать распределенной нормально?
Находим математическое ожидание тх и среднее квадратическое отклонение ох случайной величины X. Для любого г = 1, ..., 1 000 000
тХ{ = 22,3 • 10~2 =0,223; а 2 [Х{ ] = 2,25 • 10"2 + 8,12 + 9,67 • 102 + 2,28 • 104 = 2,38 • 104; DX{ = 2,38 • 104 - 0,222 = 2,38 • 104.
Отсюда
ш, =106 .тХ{ = 2,23 • 105;
Dx = 106 • DX{ = 2,38 • 1010; a, = Ю5.Д38 « 1,54 • 105.
Известно, что для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, границы практически возможных значений заключены между тх ±Зох («правило трех сигма»).
В нашем случае нижняя граница возможных значений случайной величины Ху если бы она была распределена по нормальному закону, была бы тх - 3ох = (2,23 - 3 • 1,54) • 105 = -2,39 • 105.
Отрицательное значение этой границы указывает на то, что случайная величина X не может считаться распределенной нормально.
а ат
8.48*. Найти предел lim У^ е a, где а — целое положительное число.
а ат
Решение. Выражение Vа е a есть вероятность того, что
m^O т '
случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, не превзойдет своего математического ожидания а. Но при неограниченном увеличении параметра а закон Пуассона приближает-ся к нормальному. Для нормального закона вероятность того, что случайная величина не превзойдет своего математического
а ат 1
ожидания, равна 1/2, значит, lim V4 е~а =-.
о^ш! 2
8.49. Доказать, что показательный закон распределения является устойчивым по отношению к операции нахождения минимума, т.е. если случайные величины Хг,Х2, ..., Хп независимы и подчинены показательным законам распределения с параметрами Х15 Х2,..., Хп соответственно, то случайная величина Z = = min{X1, Х2,..., Хп } также подчинена показательному закону,
п
причем параметр этого закона X — У^Хг.
г =1
Решение. На основании решения задачи 8.34 функция рас-пределения случайной величины Z:
п
п
G(z) = l- Пе~Х|" i=1 ,
г =1
а это есть функция распределения показательного закона с параметп
ром Х = у>,.
і =1 8.50. Независимые случайные величины Хг,Х2, ... распреде-лены одинаково по показательному закону с параметром X:
f(x) = \e~Xx (х>0). Рассматривается сумма случайного числа таких величин:
»=1
где случайная величина Y распределена по сдвинутому на единицу закону Паскаля (см. задачу 5.15):
Рп =Р(Y = n) = pqn-1 (0 < ^ < 1; п = 1,2, ...).
Найти закон распределения и числовые характеристики слу-чайной величины Z.
Решение. Сумма фиксированного числа п случайных велип
чин п°Дчинена закону Эрланга (п— 1)-го порядка (см. за»=i
дачу 8.31) с плотностью
f^(x)=X{Xx)n~1 е-^ (х>0). V ' (п-1)! V
Плотность распределения случайной величины Z находим по формуле полной вероятности с гипотезами Нп (Y = п):
00 00 \ f \ И n
n=1 п=1 •
= = рХе-^е^ = p\e~Xpz (z > 0),
71 —1
т. е. случайная величина Z будет также подчинена показательному закону, но с параметром \р. Следовательно,
1 л 1
mz = — > z =
\р' z \2Р2
8.51*. Рассматривается сумма случайного числа случайных слагаемых
»=і
где XvX2j... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью /(я), Y — положитель242
ная, не зависящая от них целочисленная случайная величина с законом распределения P(F = п) = Рп (п = 1, 2, ..., N).
Требуется найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Z.
Решение. Допустим, что случайная величина Y приняла значение п (п = 1,2, ..., N). Вероятность этого равна Рп. При этой гипотезе
і =1
Обозначим плотность распределения суммы п независимых одинаково распределенных величин Xv Х2, Хп через /(п)(ж).
Эти плотности можно найти последовательно: сначала/(2) (ж) —
композицию двух одинаковых знаков f(x) и /(ж), затем —
композицию /(2)(я)и f(x) и т.д.
По формуле полной вероятности плотность распределения случайной величины Сбудет
п —1
Для нахождения числовых характеристик воспользуемся тем же приемом. Допустим, что У = п. В этом случае условное мате-матическое ожидание будет
М[2„] = М
і =1
где
оо
тх =М[Х{]= f xf(x)dx.
Тогда полное математическое ожидание найдем из выражения
n
mz=M[Z] = Y^nmxPn =™>х™>у>
71 —1
где
n
mv =Eniv
П=1
1=1
г Таким же образом найдем и условный второй начальный момент при условии, что Y~n\
= м
г =1
= = па2х + n(n - 1) т2 =nDx + п2т2,
і=І
где
D, =D[^]= f (x-mx)2f(x)dx.
—оо
Второй начальный момент случайной величины Z
п =1 п =1
= Z)xmy +mx2a2y
iV
где ot 2у = $>2Р„ =Dy+m2y.
71 =1
Дисперсия случайной величины Z
= OL2z -m2z =Dxmy +m2OL2y - m2m2y = Dxmy +m2xDy.
8.52. Независимые случайные величины Хг,Х2, ...
распределены одинаково по показательному закону с параметром X. Случайная величина Y = Y1 + 1, где случайная величина Yt распределена по закону Пуассона с параметром а. Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины
і=І
п
Решение. Закон распределения суммы представляет
г =1
собой закон Эрланга (п— 1)-го порядка (см. задачу 8.31) с параметром X:
f("\x)=4Xx)n~1 (х>0).
К ' (п — 1)! V '
По формуле полной вероятности плотность распределения случайной величины Сбудет n -1 л n -1
Хг Я -a
e e =
(n-1)! при z > 0.
& й (n-l)l
& (A;!)2 Эту плотность можно выразить через модифицированную ци X
оо | 2
І(кіу
линдрическую функцию /0 (х) = ф(2) = \e~Xz~a 10 (2-s/Xza) при z > 0. їй решения преды
Далее на основании решения предыдущей задачи
а + 1 X '
D[Z] = Dxmy + m2xDy =
2 n _a + l a _ 2a + 1 X2 " X2
X2 8.53. Рассматривается система случайных величин Х{ (і = 1, 2, ...,п), которая связана с дискретной случайной величиной Y следующим образом:
X, =
1, если г < Y, 0, если і >Y.
Известна функция распределения F(y) случайной величины Y. Требуется найти закон распределения каждой случайной величины Х{ и числовые характеристики системы случайных величин (Хг,Х2, ..., Хп ).
Решение. Ряд распределения случайной величины Х{ имеет вид 0 1 Р(У < г) Р(У > г)
Так как Р(У < г) = F(i \ то ряд распределения имеет вид 0 1 F(i) 1 - F(i)
откуда га = 1 - F{i),DXi = F(i)[ 1 - F(i)].
Найдем корреляционные моменты случайных величин Х{ и Xjt для чего определим М[Х І X j]. Произведение Х{Хл при г< j может принимать только два значения: 1, если X = 1, и 0, если X ¦ — 0. Следовательно,М[Хг- Xj] = m = 1 - F(j) (і < j),откуда
K{j = М[Х{Х,} - mXimXj = 1 - F(j) - [1 - F(i))[l - F(j)] =
= F(0[1-F0)] (iа коэффициент корреляции
r _ K* F(i)[l-F(j)} F(i)[l-F(j)}
ij jF(i)F(j)[l-F(i))(l-F(j)} iF(j)[l-F(i)\
(1 < І < j < n).
8.54. Найти характеристическую функцию случайной величины, равномерно распределенной в интервале (а, Ь).
Г 1 y 1 eitb - еita
Решение. g{t) — I elxdx — .Если a = —b
J b — a b — a it
a
(b> 0),TO 9(t) =
1 ei* _e-itb 1 eM _e-itb s[ntb
2b it tb 2 і tb 8.55. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по показательному закону:
/(ж) = Хе"Хх, х>0.
X Х + \й
Решен и e.g(t)= С \e~Xxeitxdx = —-— = J \ — it.
о \ — it Х2+*2
8.56. Найти характеристическую функцию для случайной ве-личины Ху распределенной по закону Лапласа:
Л
\ Ot — otlx—ml х) =
Решение. Заменой х — т — у получим
оо
g(t) = feitx-e~alx-mldx =
—ОО
< 0 ОО
f eityeaydy + f eitye-«ydy
= —e
а2
При лі—О получим g(t) =
Л 2 , .2 а + с
8.57. Найти характеристическую функцию случайной величи-ны X, распределенной по биномиальному закону с параметрами р и п:
Р (X = m) = C:Pmqn-m,
гдед = 1 — р) 0 < р < 1; т = 0,1, ..., п.
Решение. Представим величину X как сумму п независимых случайных величин:
к=1
где Х- — случайная величина с рядом распределения 0 і q V 8.58.
Характеристическая функция величины Хк равна gk(t) = M[eitXk) = qe° +реи = q + peu.
Так как характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций, то
9(t) = fl9k(t) = (q + рей)п.
к=1
Найти характеристическую функцию случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а:
п т
р (X = т) = —е~а (а > 0; т= 0,1,2,...).
ТП !
ос т оо (пр it \т
Решен иe.g(t)= Y?—e-aeltm = е~а V[ ' = >! h rnl
Характеристическая функция случайной величины X равна дх (t). Случайная величина У получается из X прибавлением постоянной величины a: Y = X + а. Найти характеристическую функцию ду (t) случайной величины Y.
Решение. Рассматривая неслучайную величину а как частный случай случайной, находим ее характеристическую функцию да (t) = elta .Так как случайная величина Хне может зависеть (в ве-роятностном смысле) от неслучайной а, получаем ita
аЛ) = аЛ)9а (0 = 0.(0* 8.60. Найти характеристическую функцию ду (t) случайной ве-личины Y, распределенной по закону Паскаля:
Р(Г = к) = рдк (к = 0,1, 2,...),
а также характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по «сдвинутому на единицу» закону Паскаля:
X = Y + 1; Р(Х = к) = pqk~l (к = 1, 2,...). Решение.
оо оо ^
it \к V
1 й
к=о к—о L — qe
Применяя правило, выведенное в предыдущей задаче, получим
«.<01 - де*
8.61. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Опыты прекращаются, как только событие А появилось п раз (п >1). Найти закон распределения, числовые характеристики и характеристическую функцию числа X «неудачных» опытов, в которых событие А не произошло.
Решение. Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение к. Для этого нужно, чтобы общее число произведенных опытов было равно п + к (к опытов кончились «неудачно», an— «удачно»). Последний опыт по условию должен быть «удачным», а в предыдущих п — к + 1 опытах должны произвольным образом распределиться п - 1 «удачных» и к «неудачных» опытов. Вероятность этого равна
p(* = *) = c*+i_lpv (л = o,i,...).
Полученный закон распределения является естественным обобщением закона Паскаля. Мы будем его называть «обобщенным законом Паскаля п-го порядка». Случайную величину X можно представить в виде суммы п независимых случайных величин:
5=1
где каждая случайная величина Xs распределена по закону Паскаля: Р (Xs=k) = pqk (k = 0,1,...).
Действительно, общее число «неудачных» опытов складывается из: 1) числа «неудачных» опытов до первого появления события А; 2) числа «неудачных» опытов от первого до второго появления события А и т. д.
Отсюда получаем числовые характеристики величины X nq Р
nq
т„ =
?> = и характеристическую функцию
0,(0 =
[1 -qel
8.62. Условия задачи те же, что и в задаче 8.61, но случайная величина Y представляет собой общее число опытов, произведенных до п-кратного появления события А. Найти закон распределения, числовые характеристики и характеристическую функцию случайной величины Y.
Решение. Y = X + п, где X — случайная величина, фигури-рующая в предыдущей задаче. Отсюда
P(Y = k) = P(X = k-n) =
sik—п ^ ті к—п лп-1 7i „к—ТІ /і «л і і \
= Ц-1 Р Q =Ck-iP Q (к = п> П + 1,...).
Числовые характеристики величины Y
nq п п п nq
ту=тх+п = — + n = -; Dy = Dx — —.
р р р
Характеристическая функция ре
it ч"
9y(t) = gx(t)ettn =
u -qe' 8.63. Найти характеристическую функцию случайной величи-ны X, распределенной по обобщенному закону Эрланга (п — 1)-го порядка (см. задачу 8.31):
-Х.х
при х > 0.
І=1 МШХ; ~х*)
k^j
Решение. Обобщенный закон Эрланга (п—1)-го порядка получается как результат сложения п независимых случайных величин, распределенных по показательным законам с различными параметрами Х1? Х2, ...,ХП.
Следовательно, характеристическая функция будет равна произведению п характеристических функций показательных законов (см. задачу 8.55): х,
п^
\2 J-і2 *=1 Л& +1
*„-!(') = п
х2* + V*
=i ^к
it 11 Если все тг случайных величин распределены одинаково, то получаем закон Эрланга (п — 1)-го порядка: п —1
-Xi
X (\х)
(х > 0),
/„-l(*) =
(п-1)!
с характеристической функцией 9п-1(0 = X ] п 'Х2 + \it \-it, х2+Н
8.64. Имеется случайная величина У, распределенная по показательному закону с параметром X: -Ху
(У >0).
/(у) = Хе Случайная величина X при заданном значении случайной величины Y = у распределена по закону Пуассона с параметром у: (к — 0,1, 2, ...)•
Р(Х = к\? = у)=У-е~» к\ Найти безусловный закон распределения случайной величины X. Решение. Полная вероятность события X = к будет
Р(Х = к) = [У-е-у\е-хЧу=- Г уке-<1+х)Чу =

о 'о

Если ввести обозначения

получим
P(X = k) = pqk (к = 0,1,2,...),
т.е. случайная величина Xподчинена закону Паскаля с параметром
X
р =
1 + Х
8.65. На космическом корабле установлен счетчик Гейгера для определения числа космических частиц, попадающих в него за не-который случайный интервал времени Т. Поток космических частиц — пуассоновский с плотностью X; каждая частица регистрируется счетчиком с вероятностью р. Счетчик включается на время Г, распределенное по показательному закону с параметром р. Случайная величина X — число зарегистрированных частиц. Найти закон распределения и характеристики тх, Dx случайной величины X.
Решение. Предположим, что Т= t, и найдем условную вероятность того, что X = тп (тп = 0,1, 2,...):
тп!

о
А
тп

e~Xpt
(см.
\р + мА это и есть распределение Паскаля с параметром
предыдущую задачу), поэтому (см. задачу 5.15)
\і _ \р
ТП„ =
\р + \1 \р + \1 р, \р (\р + \i) Ц2


D =
Л? +
И )
+ ±1 = тх(тх+1). V- 8.66. Решить задачу 8.65 при условии, что счетчик включается на случайное время Тс плотностью распределения f(t) (t > 0).
Решение. Так же, как и в предыдущей задаче, условный закон распределения величины Хпри Т= t: га !
(m =0,1,2,...). Безусловный закон распределения будет оо
р (X = m) = f
(W
га!
f(t)dt
(m= 0,1,2,...).
Находим числовые характеристики случайной величины X. Условное математическое ожидание = \pt; безусловное ма-тематическое ожидание
оо оо
mx = J \ptf(t)dt = \р Jtf(t) dt = \pmt,
где га t = М[Т]. Аналогично находим второй начальный момент случайной величины X (заметим, что так можно находить только начальные безусловные моменты, а не центральные):
CL2[X\t}=\pt + (\pt)2;
оо оо
a2[X]=\pJtf(t)dt + (\p)2Jt2f(t) dt = \pmt + (\p)2a2[T} =
о о
= \pmt + (\p)2(Dt +mf),
где Dt — дисперсия случайной величины Т. Отсюда имеем D, =а 2[X}-m2x=\pmt+(\p)2Dt.
8.67. Решить предыдущую задачу для конкретного случая, когда f(t) есть закон Эрланга А;-го порядка с параметром р: (ОО).
m=m=»MLe-«
к\ Решение.
оо
к\
т!
р (х = т) = J
О /х \ rn k 00
ml к! ^ И-* (т + к)\ ст ( \ М- к+г Хр ] к\ (\p + \i)m+h+1 т+к ЛР + ЛР + м»,
Итак, величина X распределена по «обобщенному закону Паскаля (к + 1)-го порядка» (см. задачу 8.61) с параметром рх = f Хр
МХр + р
= Яг = 1 - Pi
\р + р Математическое ожидание случайной величины Т, распределенной по закону Эрланга А;-го порядка, будет mt = ^ ^ , а дисМк + 1
Персия Dt = . Следовательно, по формулам, полученным в
м<2
предыдущей задаче,
mx=±l(k + iy, Dx=±P(k + 1) VМ- Мчто, как и в задаче 8.61, можно представить в виде _ (* + 1) дх _ (к + 1)дг
171 Т ) их ~ Pi
Pi 8.68. Найти характеристическую функцию гамма-распределе-ния Рах Г(а)
(Захс Г(а)
оо оа а-1
Решение. g(t) = J
(х > 0; (3 > 0; а >1).
Ра
e~*xeitxdx = Примечание. При целом а гамма-распределение превращается в распределение Эрланга (а - 1)-го порядка, так как
Г(а) = (а - 1)! и f(x) = Р е^ (х > 0),
(а -1)!
и характеристическая функция распределения Эрланга имеет такой же вид, как и для гамма-распределения (см. задачу 8.63).
8.69*. Случайная величина Z представляет собой сумму случайного числа случайных слагаемых
к=і
где Хк — одинаково распределенные случайные величины с плотностью f(x) и характеристической функцией дх (t), а случайная величина У распределена по сдвинутому на единицу закону Паскаля:
р (Y = m) = pqm-1 (т= 1,2,...).
Случайные величины Хк (к = 1, 2,...) и Y независимы между собой. Требуется найти характеристическую функцию случайной величины Zn ее числовые характеристики.
Решение. Допустим, что случайная величина Y приняла значение т. При этой гипотезе
тп
Z = Zm = ^Xk.
k=l
Характеристическая функция случайной величины Zm будет равна
5т(0 = [?Л*)Г>
следовательно, характеристическая функция случайной величины Z будет
ОО 00
<7г(0 = ?р? к (<)Г fa», (ОГ •
т=1 <7 т—1
Так как 0 < q <1 и 0< < 1, то
q (t)-p q9x№ - Р9х^ Ч^-ЯдЛ) 1 -Q9x(t) Отсюда d9x(t) д (it)
dgy{t)
pmx
= mxmy 5
M[Z) = *U =
«=o[і -ю,(0]а
d(it)
<=0
так как га = —. Далее имеем a2x
(1 -q) + 2qm2x a
2xP +
а (Й)
(=0= P откуда
Гї 2 a2 хР + 24тх mx гл 2гл
Z), =a2z-m2z= 2xF ^ --2L = Dxmy +m2xDy, P Я*) 2 Ь—а а а+6 2 Ь Рис. 8.70 х < а 5 а + 6
а <х < ,
2 а + Ь 2 <х<Ь, я > 6. Получили тот же результат, что и в задаче 8.51, но другим ме-тодом.
8.70. Найти характеристическую функцию случайной величисона (закону равнобедренного треугольника) в интервале (a, Ь) (рис. 8.70). Решение. 0 4(з -а) (Ь- а)2 4(6 (6- а)2 0 при
4 (x — a) (b-a)2
a +b 2
dx +
g(t)= Jeitxf(x)dx = j eitx ±a+b 1- і
— e
и
Ia+b 2~~
4(Ь-Ж) (6 — a)2
dx = •
¦ +
+
(6-а)2
/
itb
it- + (6-а)2
Итак, , ita 2 ( *b ia )] it— it— e 2 — e 2 t(b-a) < у (2 . tb — sin—
e*6 + 2e* 2
9(t) =
t2{b-ay
При а — -Ь (b> 0) имеем
ІКО =
Ub 2 Сравнивая полученные результаты с решением задачи 8.54, за-ключаем, что распределение Симпсона можно рассматривать как
(а Ь)
композицию двух равномерных распределении на интервале I -, -I.
8.71. При измерении физических величин результат измерения неизбежно округляется в соответствии с минимальной ценой деления прибора. При этом непрерывная случайная величина пре-вращается в дискретную, возможные значения которой отделены друг от друга интервалами, равными цене деления. В связи с этим возникает следующая задача. Непрерывная случайная величина Ху распределенная по закону с плотностью /(я), округляется до ближайшего целого числа; получается дискретная случайная ве-личина У = Ц(Х), где под Ц(Х) подразумевается целое число, бли-жайшее к X.
Найти ряд распределения случайной величины Y и ее числовые характеристики: ту7 Dy.
Решение. График функции Ц(х) представлен на рис. 8.71 Правило округления в случае, когда расстояния от значения х до
двух соседних целых значений рав- ^^
ны, несущественно, так как для не- 2
прерывной случайной величины ве- -2 5 -1 5 -0 51
0,5 1,5 2,5 -2
роятность попадания в любую точку 1 т—
равна нулю. ; \
Вероятность того, что случайная величина Y примет целое значение рис g
к, равна *+0,5
р(Y = k)= J f(x) dx (А; = 0, ± 1, ± 2,...),
k-0,5
откуда
oo * + oo * +
my = e * I Dv=T,k2 f №k=- 00 к—0,Ь k-0,5
8.72. Случайные величины Хи Yнезависимы и распределены по законам Пуассона с параметрами а и Ь. Найти закон распределения их разности Z — X— Yи модуля их разности U = \Х — Y\
Решение. Случайная величина Z может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Вероятность того, что Z примет значение к > 0, равна сумме вероятностей того, что X и Y примут два значения, различающиеся на к (причем X — больше или равно Y):
оо L ТП т+к
р (z = k)=y~— е_(о+6) (*>о).
Вероятность того, что Z примет отрицательное значение -ку будет
оо m im+k
Р (z = -k)=Y- e-(0+i) (к > о).
Для случайной величины U получим
Ш=0 Ч
р(и=*)=? е_(0+Ь) + ) <* > °>- ?Ґ0тп\(тп + к)\
'' Если единица измерения (цена деления прибора) мала по сравнению с диапазоном возможных значений случайной величины X, то m у amx\Dy « Dz.
Эти вероятности могут быть записаны с помощью модифицированных цилиндрических функций 1-го рода:
1
х [2)
\к + 2т
(* = 0,1,2,...
1к(х) = 1_к(х)= У~!0т \(к + т)\ а
(ъ)
2 е-(а+Ь)
(А; = 0, ± 1, ± 2,...);
При этом P(Z = k) = Ik(2jab) Р([/ = 0) = /0(2л/^)е"(а+6); P(U = k) = Ik(2>fab) а' 2 , 2 — + — е UJ [ъ) (к> 0).
Грибник вышел собирать грибы в лесу. Радиус обзора его равен R. Перемещаясь по лесу, он обнаруживает каждый гриб, на-ходящийся в пределах круга обзора, с вероятностью p(v), которая зависит от скорости v передвижения грибника по лесу. Считается, что грибы в лесу образуют пуассоновское поле точек с плотностью X (X — среднее число грибов на единицу площади).
Определить оптимальную скорость движения грибника по лесу, при которой он за время t обнаружит в среднем наибольшее количество грибов, если вероятность p(v) задана формулой
p(v) = e-™ (a > 0, v > 0),
и грибник не возвращается на уже пройденные им места.
Решение. За время t грибник просмотрит полосу, площадь которой S = 2vtR, и обнаружит в среднем количество грибов, равное т = S X p(v) = 2 vt R\e~av.
Для нахождения оптимальной скорости движения продифференцируем величину 772 по v и приравняем производную нулю:
— = 2 tR\e~av (l-va) = 0, dv
откуда оптимальное значение скорости будет v* = —.
a
1)
Таблицы цилиндрических функций можно найти в справочниках.
В условиях задачи 8.73 грибник идет со скоростью v и собирает все обнаруженные им грибы. Массы отдельных грибов представляют собой независимые случайные величины Yif распределенные по одному и тому же закону с математическим ожиданием ту и дисперсией Dy. Найти математическое ожидание общей массы Z всех собранных грибов за время t и (приближенно, считая число грибов большим) вероятность того, что эта величина превзойдет заданную вместимость корзинки z0.
Решение. Число собранных грибов X будет случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром тх = 2vtR Xe_otv. Общая масса всех собранных грибов будет
i=i
В соответствии с решением, изложенным в задаче 8.51 или 8.69, имеем т г = тхт у. Далее
Dz = mxDy +mlDx =mADy +my ) = тх 'a2y>
так как для распределения Пуассона Dx — гпх. Считая приближенно случайную величину Z распределенной нормально, получим
т,
p(z > z0) = l- F(z0) &1-Ф* гдеа2 =4Щ.
Известна плотность распределения /(ж, у) системы случайных величин (X, Y). Найти закон распределения их разности: Z=X- Y.
Решение. Для системы (X, —Y) плотность распределения есть/(я, - у), поэтому из X - Y = X + (—У) находим
оо
g(z) = G\z) = J^/(ж, х — z) dx.
—oo
Если случайные величины (X, У) независимы, то
оо оо
g{z) = f Л(®) /2- z) dx = J fx(y - z) f2(y) dy.
—OO —OO
Найти плотность распределения разности двух независимых показательно распределенных случайных величин с параметрами X и ц; Z = X - Y, fx (х) = \е~Хх,/2 (у ) = (х > 0, у > 0).
оо
Решение. g(z)= J fx(x) f2(x — z) dx\ fx(x) отлично от нуля
—oo
при x > 0; /2 (х - z) отлично от нуля при х - z > 0. w л —\z
а) г > 0; g(z) = Г = ^ ;
J Х + ^
б) z < 0; 5(г) = Г Хе-х*це",1(а-*)Л; = .
о Х + ^
Следовательно, -Хг
при z > 0, при г < 0.
Хре
Х + р Хре^2
Х + р
Параметры этого закона: х2+ц2
1 1 ц-Х п 11 X р, Х|Л X (JL^ (Х(л) Хр ф) X ф) Х+р j v 0 z 0 2
Рис. 8.76
Кривая распределения будет иметь вид, изображенный на рис. 8.76, а.
При Х = ц получаем g(z) = — e~x^ (рис. 8.76, б). Такой закон
2
распределения называется законом Лапласа.
<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

  1. ГЛАВА 5СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  2. ГЛАВА 7ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  3. ГЛАВА 6СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ
  4. ГЛАВА 9 случайные функции
  5. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ И ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МАРЖИНАЛИЗМА
  6. Значения нормальной функции распределения:
  7. 4. 4. Распределение численности работников бухгалтерии по функциям управления
  8. Вопрос 43. Потребление и сбережение: взаимосвязь и различия. Предельная склонность к потреблению и сбережению Вопрос 44. Инвестиции и их функциональное значение. Факторы, влияющие на величину инвестици
  9. Так как всякая величина делима на величины
  10. 8.3. Предельный доход, предельные издержки и максимизация прибыли
  11. 8.3. Предельный доход, предельные издержки и максимизация прибыли
  12. ГЛАВА 2ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  13. ГЛАВА 1ОСНОВНЫЕ понятия. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  14. ГЛАВА ЗФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА
  15. ГЛАВА 10потоки событий. марковские случайные процессы
  16. Глава 26. ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРОДУКТОВ
  17. Глава 10. СПРОС И КОНКУРЕНТНОЕПОВЕДЕНИЕПОТРЕБИТЕЛЯ: ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ