<<
>>

6.8. Аксиоматическое обоснование дисконтирования (дискретный случай)

единственный, который удовлетворяет всем сформулированным требованиям. Такой подход близок к принятому в теории полезности, интенсивно разрабатываемой в последние 40 лет. Для более подробного ознакомления с этой теорией и критериями сравнения объектов разнообразной структуры, обосновываемыми с ее помощью, отсылаем читателя к [24, 43, 82, 124].

Рассмотрим проекты, реализуемые в Т шагов.

Свяжем с каждым таким проектом вектор R = (Rq, Rv ..., RT_ j), компонентами которого будут эффекты (чистые доходы), достигаемые на соответствующих шагах. Такой вектор назовем вектором результатов проекта (project results vector). Для некоторых таких векторов введем специальные обозначения. Вектор, все компоненты которого равны 0, обозначим через 0 — он, очевидно, отвечает проекту "ничего не делать". Вектор, у которого компонент, относящийся к шагу п, равен единице, а все остальные равны нулю (п-й координатный вектор), обозначим через Jn.

Рассмотрим теперь два независимых проекта (см. раздел 1.8), т.

е. таких, что реализация одного из них никак не влияет на затраты и ре-зультаты другого. Пусть R и S — векторы результатов для этих проектов. Если оба проекта реализовать совместно, то эффект на шаге t по первому проекту составит Rt, по второму — St, а по обоим проектам в совокупности — Rt + S;. при совместной реализации независимых проектов векторы их результатов складываются.

Оценка эффективности проекта означает, что ему, а следовательно, и соответствующему вектору результатов должно быть приписано некоторое число, по величине которого принимается решение о целе-сообразности его реализации. Большим числам при этом должны соответствовать более эффективные проекты, меньшим — менее эффективные, а проекты, которым приписаны одинаковые числа, должны рассматриваться как одинаково приемлемые (или одинаково неприемлемые) для реализации — равноэффективные.

Такое число, играющее роль критерия при оценке проектов и отборе лучшего из них, очевидно, должно выражаться некоторой функцией от компонентов вектора R результатов проекта. Обозначим эту функцию через Э(R) и будем называть интегральным эффектом вектора R. Проблема состоит в том, чтобы выяснить вид, структуру, математическое выражение этой функции.

Формулы (6.1) и (6.13) подсказывают, что такая функция, по-види- мому, должна быть суммой разновременных результатов проекта, умноженных на некоторые "весовые" коэффициенты. Как будет показано ниже, это действительно так, однако данные выше обоснования этого нельзя считать строгими — слишком много не очень очевидных допущений при этом пришлось сделать. Осталось неясным, например, почему субъект должен ориентироваться на фьючерсный рынок (которого в России по существу нет) или использовать в качестве критерия взве- шенную сумму разновременных результатов, а не их произведение или сумму кубов. Не очевидно и предположение, что субъект должен стремиться к обеспечению именно постоянной доходности вложенного капитала, сравнивая конкретный проект с вложениями в какой-либо банк. В то же время здравый смысл подсказывает, что игнорирование общепринятой практики может привести к ошибкам. Формализацией этого здравого смысла мы и займемся ниже.

3. Итак, начнем с того, что экономический субъект получает информацию о каждом инвестиционном проекте в виде некоторого вектора R и оценивает его, вычисляя интегральный эффект проекта Э (R) — некоторую функцию от его компонентов. Какими свойствами должна обладать эта функция, чтобы принимаемые субъектом решения не противоречили здравому смыслу, были экономически разумными? Подобные свойства, как это принято в литературе, называются аксиомами. В осно-ву нашего рассмотрения вначале положим следующие аксиомы рационального поведения (ср. п. 2.1.1).

Монотонность (monotonicity). При увеличении любого результата проекта (без изменения всех остальных его параметров) интегральный эффект проекта увеличивается.

Если для функции Э это требование не выполняется, субъект, руководствуясь таким критерием, может выбрать из двух подобных проектов тот, который обеспечивает получение меньших результатов, что противоречит здравому смыслу.

Согласованность (consistency).

Э (Ь/0) = Ь.

Содержание этой аксиомы станет яснее, если учесть, что:

вектор bJQ отвечает проекту, обеспечивающему получение эффекта b на шаге 0 и нулевого эффекта — на последующих шагах;

при сравнении проектов, дающих эффект сразу же (т. е. на шаге 0), субъект выбирает тот, где эффект больше, т. е. руководствуется критерием максимума эффекта. Результат выбора не должен измениться, если те же проекты субъект рассмотрит как частный случай "растянутых во времени" проектов.

Таким образом, данная аксиома выражает требование, чтобы оценка проектов с разновременными эффектами была согласована с оценкой проектов с единовременным эффектом.

Независимость от дополнительных проектов. Пусть один проект не менее эффективен, чем второй, а третий проект не зависит ни от первого, ни от второго. Тогда совместная реализация первого и третьего проектов не менее эффективна, чем совместная реализация второго и третьего. Другими словами, отношения предпочтительности между проектами не изменятся, если каждый из них реализовать совместно с каким-либо дополнительным, независимым от них проектом.

Данная аксиома представляется чрезвычайно важной, обеспечивая возможность в определенной мере игнорировать влияние внешней среды и соответственно позволяя децентрализовать принятие решений. Объясним это подробнее. Отметим вначале, что в стране все время реализуются какие-то проекты. Если субъект, принимая решение о выборе лучшего из нескольких вариантов "своего" проекта и его последующей реализации, должен при этом учитывать всю совокупность "чужих" проектов, реализуемых одновременно, это чрезвычайно усложнит процесс принятия решений. Поэтому обычно во внимание принимаются только те "чужие" проекты, реализация которых достаточно существенно влияет на затраты и результаты "своего" проекта. Данная аксиома и оправдывает такое поведение, позволяя исключить из рассмотрения "чужие" проекты, реализация которых не влияет на затраты и результаты "своего" проекта (по нашей терминологии — "не зависящие" от него).

Теперь — о децентрализации.

Решение об участии в реализации проекта не обязательно должно принимать единственное лицо, пред-ставляющее хозяйствующего субъекта, — субъект может представлять некоторую фирму, в которой одни решения принимаются "на высшем уровне управления", а другие — на низших. Если это так, то процесс принятая решений в такой фирме децентрализован. Однако решения, принимаемые на низших уровнях управления, не должны противоречить целям и интересам высших уровней, поэтому на всех уровнях ре-шения должны приниматься по одному и тому же критерию.

Предположим теперь, что некоторая фирма руководствуется таким критерием эффективности, при котором рассматриваемая аксиома не выполняется как обязательное требование. Тогда найдутся такие проекты А и Б и не зависящий от них проект В, что А будет не менее эффективен, чем Б, а совместная реализация А и В (т. е. в обозначениях раздела 1.8 — проект АФВ) — менее эффективна, чем совместная реализация Б и В. Пусть тогда в одном из подразделений фирмы решают вопрос о выборе между участием в проекте А и участием в проекте Б, в то время как другое подразделение принимает решение о реализации не зависящего от А и Б проекта В. Тогда в первом подразделении может быть отобран для реализации проект А, что противоречит интересам фирмы в целом (проект АФВ, т. е. совместная реализация А и В, менее эффективен, чем БФВ). Мы приходим к выводу, что в подобной фирме все решения об участии в реализации проектов должны приниматься только на высшем уровне управления. Это, конечно, возможно, однако практика свидетельствует о многочисленных неудачах, возникающих в крупных фирмах, где процесс принятия решений чрезмерно централизован. Та- ким образом, аксиома независимости может не выполняться, если субъектом, оценивающим эффективность проекта, является физическое лицо или мелкая фирма, однако для разумного экономического поведения "обычных" участников инвестиционных проектов необходимо, чтобы используемые ими критерии удовлетворяли данной аксиоме.

Пусть R, S, Q — векторы результатов, отвечающие проектам А, Б, В.

Тогда проекту АФВ будет отвечать вектор результатов R + Q, а проекту БФВ — вектор S + Q. Теперь аксиому независимости можно записать в следующем виде:

если Э(R) > Э(S), то Э(R + Q) > Э(5 + Q). (6.15)

Изменив нумерацию проектов в аксиоме независимости, ее можно сформулировать иначе. Пусть один проект не более эффективен, чем второй, а третий проект не зависит ни от первого, ни от второго. Тогда совместная реализация первого и третьего проектов не более эффек-тивна, чем совместная реализация второго и третьего. Пусть теперь проекты А и Б равноэффективны, а проект В не зависит ни от А, ни от Б. Такая тройка проектов подходит под обе формулировки, и поэтому совместная реализация проектов А и В будет столь же эффективна, как и совместная реализация проектов Б и В:

если Э(Я) = Э(5), то Э(R + Q) = Э(5 + Q). (6.16)

4. Пусть R и Q — два произвольных вектора результатов с интегральными эффектами соответственно г и q. В силу аксиомы согласованности точно такие же эффекты имеют соответственно и векторы rj0 и qfQ. Поэтому выполняются равенства

Э(Я) = Э(г/0) = г, 3(Q) = Э(qf0) = q.

Теперь, дважды применив формулу (6.16) и аксиому согласованности, получаем

Э(Я + Q) = Э (r/0 + Q) = Э(г/0 + q/0) = Э((г + q^ = = г + q = Э(/?) + 3(Q).

Таким образом,

Э(й + Q) = Э(И) + 3(Q). (6.17)

Это означает, что функция интегрального эффекта Э аддитивна — ее значения суммируются при суммировании аргументов (в п. 2.1.1 это положение сформулировано как принцип аддитивности). Теперь несложно установить вид этой функции.

Для фиксированного шага t рассмотрим следующую функцию от параметра b-.

f(b) = 3(bJt).

В силу аксиомы согласованности для t = 0 имеем f(b) = b, поэтому имеет смысл рассматривать данную функцию только для t > 0. Из ад-дитивности функции Э следует, что функция/тоже аддитивна-, f(Ь + с)= =/(b) + f(c). Кроме того, она монотонно возрастает при увеличении аргумента. В частности, величина at = Э (Jt) положительна для любого t (при t = 0 она равна.

1). Заметим теперь, что, как легко доказать, любая монотонная аддитивная функция одного переменного — линейна, так что

эда =f(b) = bf( 1) = bat. (6.18)

Теперь можно установить общий вид функции интегрального эффекта. Рассмотрим произвольный вектор R = (RFY RV ..., RTA). Легко видеть, что он может быть представлен как сумма координатных векторов: R = R0J0 + RL'J1 + ... + Rt_iJT_Y Тогда в силу аддитивности интегрального эффекта получим

Э (R) = 3(R0J0) + Э (ЗД) + ... + Э (RT_JTJ.

Теперь, применяя последовательно формулу (6.18) для каждого шага, получим следующее выражение для интегрального эффекта, аналогичное формуле (6.1):

Г-1

Э(R) = R0Aо + Ял +... + аг_! = ? RNAN. (6.19)

п=0

Итак, мы приходим к выводу, что интегральный эффект проекта с разновременными эффектами должен определяться путем суммирования этих эффектов с некоторыми положительными весовыми коэффициентами (коэффициентами дисконтирования), различными для разных лет расчетного периода. При этом коэффициент дисконтирования для начального шага 0 равен единице.

До сих rtop "предельная" продолжительность реализации проектов была зафиксирована и составляла Т шагов. Что произойдет, если добавить к этим шагам (сохранив их длительность) еще один и начать рассматривать более длительные проекты, охватывающие уже (7+1) шаг? Строго говоря, для таких проектов коэффициенты дисконтирования могут оказаться совсем другими. Однако этого не произойдет. Действительно, пусть для проектов длительностью Т шагов интегральный эффект определяется формулой (6.19), а для проектов длительностью (Т + 1) шаг — другой формулой: Э(К) = i?030 + + ... + RTfiT. Заметим теперь, что любой проект длительностью Т шагов дает на следующем, (Т + 1)-м шаге нулевые результаты. Поэтому его интегральный эффект можно определить и по второй формуле при RT = 0. Но в этом случае обе формулы дадут одинаковые результаты, только если коэффициенты дисконтирования в них будут одними и теми же (а0 = Р0, ... , аГ1 = рГ1). Таким образом, величина коэффициента дисконтирования, относящаяся к некоторому п-му шагу, не зависит от того, при каком значении Т > п мы ее определяем. Это позволяет считать, что каждому правилу рационального экономического поведения и каждому разбиению временной оси на шаги отвечает некоторая бесконечная последовательность коэффициентов дисконтирования {аи} (хотя при оценке любого конкретного проекта используется только конечное число членов этой последовательности) .

Обычно на практике используются коэффициенты дисконтирования, имеющие "достаточно хорошую" динамику, хотя из введенных аксиом это не вытекает. Для того чтобы обосновать возможность использования "регулярно меняющихся" коэффициентов дисконтирования, необходимо вводить дополнительные требования (аксиомы).

Предпочтительность более ранних доходов. Последовательность {ая} монотонно убывающая: ап1 > ап для всех п > 1.

В соответствии с определением (3.9) эта аксиома означает, что получение дохода в любой момент менее значимо для субъекта по сравнению с получением такого же дохода в более поздний момент. Соответственно если результаты проекта меняются так, что доход на каком-то шаге уменьшается, а в следующем — на ту же величину увеличивается, это расценивается субъектом как уменьшение эффективности проекта. Как отмечено в [58], данная аксиома означает, что "равные по номинальной величине настоящие затраты и результаты значат больше, чем будущие... если имеется возможность без потерь отложить затраты, то это стоит сделать". Это требование достаточно хорошо отражает "обычные" межвременные предпочтения хозяйствующих субъектов, что уже неоднократно отмечалось выше, и обеспечивает монотонное убывание коэффициентов дисконтирования, что отвечает здравому смыслу.

Однако из данной аксиомы не видно, как быстро убывают коэф-фициенты дисконтирования. Для этого требуется дополнительная аксиома.

Неокупаемость достаточно больших единовременных затрат непрерывно получаемыми постоянными доходами. Существует такой уровень затрат С, что проект, предусматривающий осуществление этих или больших затрат и последующее получение в течение сколь угодно продолжительного периода постоянного положительного эффек- та с интенсивностью 1 руб. в год, неэффективенСмысл этой аксиомы в соответствии с [58] в том, что "нецелесообразно производить большие затраты ради относительно небольшой по величине ежегодной экономии в будущем, сколь продолжительным бы ни был процесс получения этой экономии". Наоборот, при невыполнении данной аксиомы постоянным получением 1 руб. доходов в течение неограниченного времени можно было бы оправдать сколь угодно большие первоначальные инвестиции — вряд ли такое оправдание было бы приемлемо для бизнесменов.

Для формализации этой аксиомы обозначим через Д„ длительность п-то шага в годах или долях года и заметим, что интенсивности получения дохода в 1 руб. в год соответствует получение дохода на п-м шаге в размере Дп руб. Теперь с помощью формулы (6.19) можно определить интегральный эффект проекта, требующего единовременных затрат С руб. и обеспечивающего на каждом п-м шаге получение дохода Д„ руб. Этот эффект оказывается равным -С + + о^Д, + _ + аг_,Дг1. Тот факт, что эта величина будет отрицательной при любом Т, означает, что ряд а0Д0 + (XjAj +... сходится. Отсюда следует, в частности, что если длительности шагов ограничены снизу положительной величиной (например, все Д„ не меньше 1 месяца), то коэффициенты дисконтирования ап должны убывать быстрее, чем 1 /п, так что, например, применение коэффициентов ап = 1/(п +1) будет противоречить здравому смыслу.

10. Обычно в популярных пособиях рассматривается ситуация, когда длительность всех шагов одинакова и равна одному году, и приводятся соответствующие формулы для определения интегрального эффекта типа (6.3). Обоснование этих формул требует введения дополнительных требований к правилам рационального экономического поведения. Одно из таких требований можно формализовать в виде следующей аксиомы — в отличие от предыдущих она "менее универсальна" и не всегда должна соблюдаться.

Инвариантность к сдвигу во времени (invariance to time shift). Если два денежных потока равноэффективны, то они останутся равноэф- фективными при сдвиге начала реализации соответствующих проектов на год вперед . Как будет показано ниже, данная аксиома дает возможность оценивать эффективность проектов, не "привязывая" их начало к какой-либо конкретной календарной дате. Выясним, какая динамика коэффициентов дисконтирования согласуется с данной аксио- мой. Для этого рассмотрим вектор RN = [0,...,0, -ап, an_v 0,..., 0), все ком-поненты которого, кроме относящихся к (п - 1)-му и п-щ годам, равны нулю. В соответствии с формулой (6.19) интегральный эффект этого проекта равен -сс„агг_1 + ссгг_1агг = 0, поэтому данный вектор равноэффек- тивен с вектором О. При сдвиге начала реализации проекта на год вперед нулевой вектор останется нулевым, а ненулевые компоненты вектора RN передвинутся на год вперед.

В силу аксиомы инвариантности к сдвигу во времени эффект для полученного вектора также будет нулевой. Используя формулу (6.19), это условие можно записать в следующем виде: -а„а„ + + 1 = 0,

откуда следует, что = . Таким образом, отношения соседних

ап-1 ап

коэффициентов дисконтирования равны, так что эти коэффициенты образуют геометрическую прогрессию. Более того, поскольку последовательность {ап} монотонно убывающая, знаменатель прогрессии меньше единицы. Обозначив его через 1/(1 + Е) и учитывая, что начальный член прогрессии а0 = 1, получим общее выражение для коэффициентов ап, совпадающее с формулой (6.2): ап = 1 /(1 + Е)п. При этом выражение для интегрального эффекта принимает вид (6.14), обычно используемый в практических расчетах (обоснование этой формулы на основе иной системы аксиом см., например, в [49]). Обратим внимание, что здесь норма дисконта Е имеет иной смысл, отражая уменьшение значимости для субъекта более поздних доходов (интенсивность межвременных предпочтений). Одновременно она имеет смысл "ставки отсечения" (hurdle rate), поскольку позволяет "отсечь", признать неэффективными проекты с более низкой доходностью.

Указанная формула обладает следующим преимуществом. Предположим, что оценка эффективности некоторого проекта производится в постоянных ценах. Тогда, -если в качестве момента приведения выбран момент начала реализации проекта, величина Финт не зависит от того, в каком именно календарном году начнется проект. В противном случае при сдвиге начала проекта вперед или назад некоторые технические проектные решения могли бы оказаться неоптимальными.

Выше мы указали, что рассматриваемая аксиома "менее универсальна" и считаться с ней можно не всегда. Это обусловлено вытекающим из нее условием неизменности нормы дисконта во времени. Между тем имеется ряд обстоятельств, обусловливающих динамичность этой нормы (подробнее см. раздел 7.4). Поэтому в общем случае норма дисконта должна рассматриваться как переменная во времени. Отсюда, однако, вытекает, что такая динамичность приводит к нарушению аксиомы ин-вариантности эффекта: равноэффективностъ двух проектов нарушается от (одного и того же для обоих проектов) переноса сроков ихреализа- ции. В частности, эффективный проект, начинающийся в году 0, может перестать быть эффективным, если начать его в следующем году 1. Тем самым понятие "эффективность проекта в целом" несколько размывается — при одних и тех же "технических" параметрах проекта и одних и тех же ценах на продукцию и ресурсы эффективность проекта начинает зависеть от даты начала его реализации (поскольку одни и те же денежные потоки начинают дисконтироваться с применением других коэффициентов).

ПРИМЕР 6.9. Пусть для первых трех лет расчетного периода коэффициенты дисконтирования составляют соответственно а0 = 1,

<< | >>
Источник: Виленский ПЛ., Лившиц В.Н., Смоляк С.А.. Оценка эффективности инвестиционных проектов. 2002

Еще по теме 6.8. Аксиоматическое обоснование дисконтирования (дискретный случай):

  1. ДИСКРЕТНЫЙ СПОСОБ СТАНОВЛЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО СЕКТОРА
  2. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
  3. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
  4. Дисконтирование денежных потоков. Аннуитеты
  5. Определение дисконтирования и дисконтированной стоимости
  6. Дисконтирование и наращение
  7. 7.4 Анализ инвестиционных решений в процессах наращения и дисконтирования
  8. Исчисление сложного процента и дисконтирование
  9. ОБОСНОВАНИЕ
  10. ОБОСНОВАНИЕ
  11. Книга-обоснование
  12. 1.11. Многодисциплинарное обоснование методов вербального анализа решений
  13. Презентация компании, обоснование и цель конкурса
  14. 2 . Схоластика как рациональное обоснование теологии
  15. 8.2. Факторы, влияющие на выбор и обоснование учетной политики
  16. 33. ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОЙ ВЕЛИЧИНЫ ТОВАРНЫХ ЗАПАСОВ ТОРГОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
  17. 24. Страхование от несчастных случаев
  18. 1.8. Другие случаи увольнения
  19. НЕОБХОДИМОСТЬ и СЛУЧАЙ-НОСТЬ
  20. На все случаи жизни