<<
>>

ГЛАВА 4 ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Независимые опыты могут производиться как в одинаковых условиях, так и в различных.

В первом случае вероятность появления какого-то события А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.

Частная теорема о повторении опытов

Если производится п независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью р появляется событие А, то вероятность Рт п того, что событие А произойдет в этих п опытах ровно т раз, выражается формулой

Рт,п = C™pmqn~m (га = 0,1,..., п), (4.0.1)

где q = 1 - р.

Формула (4.0.1) выражает так называемое биномиальное распределе-ние вероятностей.

Вероятность хотя бы одного появления события А при п независимых опытах в одинаковых условиях равна

Кп = i

Общая теорема о повторении опытов

Если производится п независимых опытов в различных условиях, причем вероятность события А в г-м опыте равна Pi(i = 1, 2,п),то вероятность Рт п того, что событие А появится в этих опытах ровно га раз, равна коэффициенту при zm в разложении по степеням z производящей функции:

п г =1

Вероятность хотя бы одного появления события А при п независимых опытах в различных условиях равна

Кп =1-П «іі =1

Для любых условий (как одинаковых, так и различных)

771=0

Вероятность п того, что при п опытах событие А появится не менее &раз, выражается формулой

Rk,n или я*.» = 1ш=А: ш=0

Теоремы о повторении опытов, как частная, так и общая, допускают обобщение на TOJT случай, когда в результате каждого опыта возможны не два исхода (А и А), а несколько исходов.

Если производится п независимых опытов в одинаковых условиях, причем каждый опыт может иметь А; исключающих друг друга исходов Av

то вероятность того, что в

=1

i=i

А2,Ак с вероятностями pv р2,рк тах — событие Л».

mt опытах появится событие i4t, в тт^ опытах — событие и т.д., в т^ опывыражается формулой

=

Vi =1

п!

m1 !m2!...

тк !J

или

к

и» j

Р = n}Y\Pj

л піл ,т0, ....

т Lin ' I I

J=1 З

Если условия опытов различны, т.е. в г-м опыте событие А-3 имеет вероятность Pij(і =1,2, ...,n;j = 1,2, ..., А:), то вероятность Pmi m2) ^mjfc.n вычисляется как коэффициент при члене, содержащем ...z™k в разложении по степеням zl, z2,..., zk производящей функции:

п

г=1

4.1. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна р. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти веро-ятность того, что за время t а) откажет хотя бы один узел; б) откажет ровно один узел; в) откажут ровно два узла; г) откажет не менее двух узлов.

Ответ, a) R110=l-q10, где q = 1 - р; б) Р1)10=^о№ = = 10pq°- в) P2tl0 = C*0p2q*=4bp2q*l г) Л2Д0 = 1 -q10- 10pq9 =

= 1-Производится четыре независимых выстрела по некоторой цели. Вероятности попадания при разных выстрелах различны и равны: рх = ОД; р2 = 0,2; р3 = 0,3; р4 = 0,4. Найти вероятности Р0 4; Рх 4; Р2 4; Р3 4; Р4 4 ни одного, одного, двух, трех, четырех попаданий; вероятность 4 хотя бы одного попадания; вероятность R2 4 не менее двух попаданий.

Решение. Производящая функция

Ч>4(*) = (0,9 + 0,1г)(0,8 + 0,2г)(0,7 + 0,3г)(0,6 + 0,4г). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, имеем 4>4(z)*s 0,302 + 0,460г + 0,205г 2 + 0,031г3 + 0,002г4;

откуда

Р0)4 = 0,302; Р1 4 = 0,460; Р2 4 = 0,205; Р3 4 = 0,031; Р4 4 = 0,002. Я14 = 1 - Рм = 0,698; R2 4 = 1 - Р0)4 - Р1 4 = 0,238.

Производится четыре независимых выстрела в одинаковых условиях, причем вероятность попадания при одном выстреле р есть средняя из четырех вероятностей предыдущей задачи:

р=Р1±Р1 + Р1 + Р± = 025. 4

Найти вероятности

¦^0,4) А, 4' -^2,4' ^3,4' -^4,4) -^1,4' ^2,4'

О т в е т. р. )4 = С\р{ q ; Р0)4 = 0,314; Рг 4 = 0,422; Р2 4 = 0,212; Р3 4 = 0,048; Р44 = 0,004; Л1 4 = 0,686; Д2 4 =0,264.

'4.4*. По некоторой цели производится п независимых выстрелов. Вероятность попадания при г-м выстреле равна р{ {і = 1, 2,..., п).

При вычислении вероятности хотя бы одного попадания различные вероятности рі заменяют их средней арифметической:

п

Е *

= 1=1

п

Увеличится или уменьшится от такого осреднения вероятность хотя бы одного попадания? Решение. Точное значение Ял „ :

1 , и

п 1=1

Приближенное (по осредненной вероятности): i=l

г=\

=1<„=1-(1-р*)"=1- Требуется сравнить величины п«<

Е««

и

г=1

г=1

72 Известно, что среднее геометрическое не равных между собой положительных величин меньше, чем их среднее арифметическое, следовательно,

7t

ГИ— Е«< п

i=1 значит, Rx 4 > Л* n ; от примененного осреднения вероятность хотя

бы одного попадания уменьшится.

4.5. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе — с вероятностью 0,95; третье — с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно:

А — все четыре испытания; В — ровно два испытания (из четырех); С — не менее двух испытаний (из четырех). Решение.

Ф4(2Г) = 0,00015 + 0,00565* + 0,06965z2 + + 0,34315*3 + 0,58140* 4;

Р(А) = Р4 4 = 0,58140; Р(В) = Р2 4 = 0,06965;

Р(С) = Д2| 4 = 1 - Р0| 4 - Plf 4 = 0,99420.

Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью г (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р. Для контроля из продукции завода выбирается п изделий. Найти веро-ятность следующих событий:

А — ни в одном из изделий не будет обнаружено дефекта;

В — среди п изделий ровно в двух будет обнаружен дефект;

С — среди п изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект.

Решение. Вероятность того, что в одном наугад взятом изделии будет обнаружен дефект, равна рг.

Р (А) = Р0,п =(1 -pr)»; Р(В) = Р2}П =C2n(pr)\l-pry-2] = 1 - Р0 п -phn =1 -(l-pr)»- [(l-pr) + npr].

При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 2 к новых электролампочек.

Каждая электролампочка в течение года перегорает с вероятностью г. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных лампочек придется заменить новыми.

О т в е т. Р(А) = 1 - gРт, Л = 1 - gС™ г m (1 - г):.

771=0 771=0

Система противовоздушной обороны охраняет территорию от воздушного налета, в котором принимает участие N самолетов. Для поражения каждого из самолетов выделяется два ис-требителя-перехватчика; каждый истребитель поражает цель не-зависимо от другого с вероятностью р. Найти вероятность того, что во время воздушного налета будет поражено: А — ровно три самолета; В — не менее двух самолетов.

Ответ.P(j4) = С%[ 1 - (1 - p)2f (1 - р)2^;

Р(В) = 1 - (1 - p)2N - N( 1 - p)2(iV-1}[l - (1 - p)2}.

По самолету производится n независимых выстрелов; каждый из выстрелов с вероятностью рх попадает в зону, где он поражает самолет немедленно; с вероятностью р2 попадает в топливный бак и с вероятностью р3 не попадает в самолет вообще. Снаряд, поразивший топливный бак, оставляет в нем пробоину, через

которую вытекает к литров горючего в час. Потеряв М литров горючего, самолет становится небоеспособным. Найти вероятность того, что через час после обстрела самолет не будет боеспособен.

Решение. В результате каждого выстрела может произойти одно из трех событий:

Ах — самолет поражен;

А2 — пробоина в баке;

А3 — нет попадания.

Вероятности этих событий рх, р2, р3. Вероятность того, что в результате п выстрелов событие Ах произойдет тпх раз, А2 — га2 раз и А3 — т3 раз, равна

о т і

3 р . 3

Р = п !ТТ J

гпл, тп, то, п II і '

™> j •

Самолет может быть поражен двумя способами: или произошло хотя бы одно попадание в зону безусловного поражения, или не произошло ни одного попадания в эту зону, но зато самолет выведен из строя за счет вытекания горючего (для чего должно

быть т2к> М). Обозначая — =1 наибольшее целое число, соk.

держащееся в М/к («целая часть» от числа М/к)у находим вероятность поражения самолета: п\

Ро 2Р,

P(A) = l-(l-Piy + ? - 4.10. Производится три опыта, каждый из которых заканчива-ется результатом Ах с вероятностью ри, А2 — с вероятностью р2і, А3 — с вероятностью рЗІ и Ад — с вероятностью рАІ (г = 1, 2, 3 — но4

мер опыта; р ~ =1). Требуется найти вероятность р того, что в

м

результате этих трех опытов событие Ах произойдет один раз, А2 — два раза, а А3 и А4 не произойдут совсем.

Написать производящую функцию и указать, коэффициент при каком члене ее разложения будет равен искомой вероятности.

Ответ. р = рпр22р23 + РгіРігРгг + РгіРггРи- Производящая функция

3

= +P2iZ2 +P3iZ3 +P4iZ*y>

і —1

вероятность р представляет собой коэффициент при zxz2 в разложении фз , z2, , ) по степеням аргументов.

4.11. Первый прибор состоит из щ узлов, второй из п2 узлов. Каждый из приборов работал в течение времени t. За это время каждый из узлов первого прибора выходит из строя, независимо от других, с вероятностью qv второго — с вероятностью q2. Найти вероятность р того, что за время t в первом приборе выйдет из строя тх узлов, а во втором — щ узлов.

Ответ, р = С™1?™1 (1 - ?! )П|"ТО| C™*q р (1 - q2 .

4.12*. В условиях задачи 4.11 найти вероятность того, что в первом приборе выйдет из строя больше узлов, чем во втором.

Решение. Вероятность события В — в первом приборе вышло из строя больше узлов, чем во втором — находим по формуле пол-ной вероятности с гипотезами #• — в первом приборе вышло из строя г узлов (г = 1, 2, ...,п

г -1 і -1

P(S|tf, ) = = 0- - U )"'"' (»' * "2 + 1).

2 ' 2

3= о j=0

Р(ВД) = 1(г>п2+1).

Если п1 <п2 + 1,то

і-1

Р(5) = (1 -Qi)n 2

г =1 i=0

если п1 > п2 + 1,то

Р(В) = "?c:iq; (1 - ,г )"•-' Zci2ii( 1 - «а)",_і +

г =1 J=0

+ Ec'^a-^r-4.

г =п 2 + 2

Монета бросается т раз. Найти вероятность р того, что

герб появится не менее к раз и не более I раз (к <1 < т).

і і (-\\т 1 Решение.р = ?Рііт =1

i=k i=k i=k

Прибор, состоящий из А;узлов, работал в течение времени t. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого узла за время t равна р. По истечении времени t прибор выключается, тех-ник осматривает его и заменяет узлы, вышедшие из строя. На за-мену одного узла ему требуется время т. Найти вероятность Р

того, что через время 2т после выключения прибор будет готов для нормальной работы.

Решение. Для этого нужно, чтобы за время t вышло из строя не более двух узлов: к-г , *(*-!)

2 к-2

(1 -РУР

Р = рк + к(1 - р)рк~1 + 4.15. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: 1) три партии из четырех или пять из восьми? 2) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми? Решение. Ґ

12,

~32; РМ>Р5,8і)— с\ т:1 — А,8 — сі5

42 Три партии из четырех выиграть более вероятно. 16' т + с86| + cl f1!" 5

+ '1' в _ 93 ,2, 81 12J k2j >2, 256 2)

^5,8 — ^8

Не менее пяти партий из восьми выиграть более вероятно. 4.16. Человек, принадлежащий к определенной группе населе-ния, с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,3 — шатеном, с вероятностью 0,4 — блондином и с вероятностью ОД — рыжим. Выбирается наугад группа из шести человек. Найти вероятности следующих событий:

А — в составе группы не меньше четырех блондинов; В — в составе группы хотя бы один рыжий; С— в составе группы равное число блондинов и шатенов. Решение.

Р(Л) = 1 - [0,б6 + 6 • 0,4 • О,б5 + 15 • 0,42 • О,б4 ] и 0,455; Р(?) = 1 — (1 — ОД)6 «0,468;С = С0 +(?! +С2 +С3,

где С0 — в группе нет ни блондинов, ни шатенов;

Сх — в группе по одному блондину и шатену, а остальные — ни то, ни другое;

С2 — в группе по два блондина и шатена, а остальные — ни то, ни другое;

С3 — в группе по три блондина и шатена.

р(С0) = (1-0,7)6 « 0,0007;

Р(Сг) = Yijj^0'3 • Ml - 0,7)4 « 0,0292;

• 0,42(1 — 0,7)2 « 0,1166;

P(C3) = ^0,33 • 0,43 « 0,0346; P(C) w 0,181.

Мишень состоит из яблока и двух колец. При одном выстреле вероятность попадания в яблоко равна р0, в первое кольцо — pv во второе — р2; вероятность непопадания в мишень р3. По мишени произведено пять выстрелов. Найти вероятность того, что они дадут два попадания в яблоко и одно — во второе кольцо.

Ответ. Р2012;5 =-——р20р^р11р,2 =ЗОр20р2р1

Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаряды попадают в цель независимо друг от друга. Для каждого снаряда вероятность попадания в цель равна 0,4. Если в цель попал один снаряд, он поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью 0,3; если два снаряда — с вероятностью 0,7; если три снаряда—с вероятностью 0,9. Найти полную вероятность поражения цели.

Решение. ГипотезыД — в цель попало і снарядов (і = 1, 2, 3);

Р(#!) = 3 • 0,4 • 0,62 =0,432;

Р(#2) = 3 • 0,42 -0,6 = 0,288;

Р(#3) = 0,43 = 0,064.

Событие А — поражение цели,

Р(А) = 0,432 • 0,3 + 0,288 • 0,7 + 0,064 • 0,9 w 0,389.

Производится стрельба по цели п независимыми выстрелами. При одном выстреле попадание в цель происходит с вероят-ностью р. Если в цель попало т снарядов (т = 1, 2,..., гс), то ус-ловная вероятность поражения цели выражается формулой

Р(А\т) = 1 — 5т , где 0 < 5 < 1.

Определить полную вероятность поражения цели.

Решение. Гипотезы Нт — попало т снарядов (m = 1, ..., п).

Р(А) = ]ГР(Ят )Р(Л|т) = (1 - р)п~т (1 - sт ).

т= 1 т—1

Упростим это выражение; так как 1 — 5° = 0, то

Р(А) = ?c„m рт (1 - р)п~т (1 - 5т ) =

ш=0

= рт а - Ру-т - (ps)m а - рг

т=0

ш=0

но

?с:Рт(1-Ру-т =1;

771=0

далее, по формуле бинома

(і - РУ~т = [ре +1 - р]п = [і - Р (і - в)]";

771 =0

поэтому

Этот же результат получается проще, если заметить, что р (1 - s) есть вероятность поражения цели при одном выстреле и что из формулы Р(А\т) = 1 — sm следует независимость поражений цели при любом заданном числе попаданий.

4.20. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одна от другой п торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью р. Каждая попавшая в корабль торпеда с одинаковой вероятностью попадает в любой из к отсеков, на которые разделена подводная часть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идет ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. Найти вероятность того, что корабль будет затоплен.

Решение. Эту задачу удобно решать по формуле полной вероятности с гипотезами Нт — в корабль попало га торпед (т = 1,2, ...,п).

р (нт) = рт,п =c;>m(W)n-m.

Найдем Р(А\Нт ). По условию Р(А\Н1) = 0. При га > 2 попавших торпедах корабль не затопляется, только если все торпеды попали в один отсек; следовательно, і

Р(Л|Ят) = 1-*

(т > 2).

(!Г=1 г

Л) кт Полная вероятность потопления корабля:

p(A)=j2cnPm(1-p)n~

771=2 4.21. В течение времени t эксплуатируется N приборов. Каж-дый из приборов имеет надежность р и выходит из строя незави-симо от других. Найти вероятность Р(А) того, что мастер, вызван-ный по окончании времени t для ремонта неисправных приборов, не справится со своей задачей за время т, если на ремонт каждого из неисправных приборов ему требуется время т q .

Решение. Событие А равносильно тому, что число вышед- ших из строя приборов больше чем 1 = т , где т т0. т0. наибольшее целое число, заключенное в —.

Р (А)= ЕСлЧІ-рГР"-™.

тп=1+1

4.22. Имеется ЛГнеисправных приборов, которые подвергаются испытаниям (тестам) с целью локализации неисправности. Каждый тест независимо от других с вероятностью р приводит к локализации неисправности. Если неисправность локализована, прибор передается на ремонтную станцию, а обследованию подвергаются другие приборы. Если во всех N приборах неисправность локализована, то тесты прекращаются. Всего имеется возможность произвести п тестов (п > N). Найти вероятность того, что неисправности во всех N приборах будут локализованы.

Решение. А — все неисправности локализованы. Противоположное событие А означает, что при п опытах (тестах) событие, состоящее в том, что неисправность локализована, появилось менее N раз.

p(A)=i-^c:Pm(i-P)n-m

771=0

или

р(А)= ?c:Pm(i-P)n-m.

m=N

4.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что в результате п тестов среди N неисправных приборов останется не менее к приборов с нелокализованными неисправностями (к < N).

Решение. Задача равносильна следующей: найти вероятность того, что при п тестах будут локализованы неисправности не больше чем в N— к приборах.

p(A)=Y;c:pm(i-py-m.

ГП=0

4.24*. Происходит соревнование между к стрелками; каждый из них делает п выстрелов по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для г-го стрелка равна pt (г = 1, ..., п). Выигрывает соревнование тот из стрелков, который будет иметь больше попаданий, чем остальные. Найти вероятность того, что среди соревнующихся стрелков будет один (только один), выигравший соревнование.

Решение. Таким одним может быть любой из к стрелков. Найдем вероятность того, что г-й стрелок выиграет соревнование (событие А{). Это событие может произойти следующими способами:

— i-й стрелок получил ровно га попаданий, а каждый из

остальных — не более чем йот — 1 (га = 1,..., га).

Вероятность того, что г-й стрелок получил га попаданий, равна Рт,п (0 — С™ р™ q"'™ , где qi = 1 - р{. Обозначим вероятность того, что j-й стрелок получил не более га — 1 попаданий, через

TmUYm-1 5=0

Тогда вероятность того, что все остальные стрелки, кроме г-го, получили не более га — 1 попаданий, равна

Тт (1)Тт (2)... Тт (і - 1 )Тт (г + 1)... Тт (к) = ЦТт (j).

Суммируя полученные вероятности для всех Значений га, получим вероятность того, что г-й стрелок в единственном числе выигрывает соревнование:

) - „ (i)ftTm (j) (і = 1, 2, ..., к).

771=1 J^i

Суммируя эти вероятности для всех стрелков, получим

р(А)=(л, )=Е?р„лопг- и)І—1 г =1 771=1 j^ti

4.25. В урне имеется к шаров; каждый из них с вероятностью 1/2 (независимо от других) может оказаться белым или черным. Из урны вынимается га раз по одному шару, причем вынутый шар

каждый раз возвращается обратно, и шары перемешиваются. Среди вынутых п шаров т оказались белыми (0 < т < п). Определить вероятность того, что среди к шаров урны ровно I белых.

Решение. Решаем задачу по формуле Бейеса. Гипотезы: Н1 — в урне I белых шаров и к — I черных (1 = 1, ..., к — 1). До опыта (л \к

Р(Я,) = С2(і .

Событие А — среди п вынутых шаров оказалось ровно т белых. 'Г ТП Л, i-i к

р(а\Н1)=С:

После опыта вероятность гипотезы Н{. СЇ

і р тл)= / • N 1 771 і к-1 t=i

С[Г{к-1)п-т Производится стрельба пятью снарядами по группе, состоящей из трех целей. Обстрел ведется в следующем порядке: сначала обстреливается первая цель и огонь по ней ведется до тех пор, пока она не будет поражена или не кончатся все пять снарядов. Если первая цель поражена, огонь переносится на вторую, и т.д. Вероятность поражения цели после одного выстрела равна р. Найти вероятности: Р0, Рх, Р2, Р3 того, что будет поражено 0 це-лей, 1 цель, 2 цели, 3 цели в составе группы.

Решение. Для того чтобы не было поражено ни одной цели, нужно, чтобы ни один снаряд не поразил цели, по которой он направлен: Р0 = (1 — р)ъ.

Чтобы была поражена ровно одна цель, нужно, чтобы из пяти выстрелов только один поразил цель, по которой он направлен, а остальные — не поразили: Рг = C\pl (1 - р)4 = Ър (1 - р)4.

Аналогично Р2 = С5У (1 - pf = 10р2(1 - pf.

Так как события, вероятности которых обозначены Р0, Рг, Р2, Р3, несовместны и образуют полную группу, то

Р3 = 1 - (Р0 + Рг + Р2) = 1 - (1 - pf (1 + Зр + 6р'2).

Та же задача, но число целей N, число выстрелов; п (п > N) найти вероятности Р0, ,..., PN того, что будут поражены 0 целей, 1 цель, ..., N целей.

ТІ —1 .

Ответ. Р0 =(1 -р)п;Рг = пр(1-р)

N-l

Pk=cipk(l-py-k 0kЬО

4.28. В условиях предыдущей задачи обстрел целей ведется не в порядке номеров, а в случайном порядке, причем каждый выстрел случайным образом направляется на любую до сих пор не пораженную цель. Найти Р0, Рг,..., PN.

Ответ. Тот же, что и в задаче 4.27.

4.29*. Производится стрельба п снарядами по группе из iV целей (N < п). Каждый выстрел с одинаковой вероятностью направляется на любую из N целей (безотносительно к тому, поражена она предыдущими выстрелами или нет). Каждый выстрел сражает непораженную цель, по которой он направлен, с вероятностью р. Снаряд, выпущенный по уже пораженной цели, не меняет ее со-стояния. Найти вероятность того, что в составе группы будет поражено к целей (к = 0,1,..., N).

Решение. Вероятность Рк поражения к целей из N найдем по формуле полной вероятности. Введем гипотезу (n15n2, ...,nN): по первой цели пришлось щ выстрелов, по второй п2, ..., по N-ik —

N

%, причем У/П1 =п.

1=1

При этой гипотезе условная вероятность Рщп n nN поражения Уцелей из N равна коэффициенту при z в разложении по степеням г производящей функции

N

п2> ••• > UN ) = +

1=1

где = 1 — (1 — рУ1 есть вероятность поражения 1-й цели за щ выстрелов,?/ = і — Рі = (і — рУ1.

Вероятность гипотезы (п15 п2, ..., nN) находим тем же способом, каким находили вероятность того, что п шариков распределяется определенным образом по N лункам (см. задачу 1.45):

п' 1

P(n1,n2,...,nN) = nl\n2\...nN\Nn

Вероятность Рк по формуле полной вероятности равна

р - V 711 1 р

к ^^ f ^ f АТП k\nll П2, ... п N '

п\ 1_

' п1 \п2 l..nN ! Nn

где сумма распространяется на все возможные способы разбиения числа п на N слагаемых: п1, га2, ..., nN (0 < п{ < n; I = 1, ..., N).

В условиях задачи 4.29 написать формулы для Рк при

n = 5,N = 2.

Ответ. Р0 =q5]P1 =l.[(l +5q(l-2q4 +q3) + z

+10g2(l-293+g)] = l[(l + 9)5-32g5]; 16

P2=?(5(l-?)(l-g4) + 10(l-g2)(l-gs)];? = l-p.

z5

Имеется АГ лунок, по которым случайным образом разбрасываются М шариков. Найти вероятность р того, что в данную (вполне определенную, например, первую) лунку попадет ровно к шариков.

Решение. Рассмотрим Мбросаний шариков как Мнезависимых опытов, каждый из которых с вероятностью 1/N заканчивается попаданием в данную лунку; тогда

<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА 4 ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ:

  1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
  2. Вопросы для повторения
  3. СИТУАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
  4. 5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Вопросы на повторение
  5. ПРОФИЛАКТИКА ПОВТОРЕНИЯ ДОПУЩЕННЫХ ДРУГИМИ ОШИБОК
  6. Четвертый Похититель времени;управление в критической ситуации/повторение критических ситуаций
  7. ГЛАВА 12. Оказание влияния в переговорах и продажах (продвинутая глава)
  8. Глава 8. Глава государства в зарубежных странах.
  9. ГЛАВА 4
  10. Глава 1
  11. Глава 2
  12. Глава 3
  13. Глава 4