Сетевое планирование

В областях экономики особую сложность представляет собой планирование и создание новых систем (освоение про-изводства новых видов продукции), периодически повторяющихся разработок (ежегодное составление плана).

В планировании и управлении сложными разработками оптимальными оказались сетевые методы, основу которых составляет сетевой график - наглядное отображение плана работ. Главными элементами сетевого графика являются события и работы. Событие - это состояние или момент достижения промежуточной или конечной цели разработки. Начальное событие - отправной момент разработки. Событие не имеет протяженности во времени. Работа - это протяженный во времени процесс, необходимый для совершения событий. Каждая работа имеет предшествующее событие и определенным событием завершается. События обозначают кружочками, работу - стрелками. В сетевых графиках время «течет»

147 слева направо. Первое событие помещают в левой части графика; последнее - в правой, разместив между ними промежу-точные события в некотором порядке, соответствующем их номерам (рис.

Возведение стен

Рис. 4.10. Элементы сетевого графика

События связываются работами-стрелками. После составления графика необходимо проверить его соответствие некоторым обязательным требованиям.

Только начальные события не имеют входящих стрелок, только конечные - выходящих. Промежуточные события имеют входящие и выходящие стрелки.

Каждая работа должна иметь предшествующее и завершающее события.

На графике не должно быть изолированных участков, не связанных работами с остальной частью графика.

и петель (рис. 4.12)

Рис. 4.11. Контур

148

Рис. 4.12.

На графике не должно быть контуров (рис. 4.11).

так как они означают, что условием начала некоторой работы является ее окончание. При возникновении контура, а в сложных сетях это случается довольно часто, необходимо вернуться к исходным данным и путем пересмотра состава добиться его устранения.

5. Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой: а) при обнаружении на графике параллельных работ вводится фиктивное событие 2' и фиктивная работа >, и одна из параллельных работ замыкается

Рис. 4.13. Параллельная работа (а) и фиктивные события и работа (б)

б) в другом случае фиктивные работы вводятся, когда отражаются зависимые события. Например, работы а и b могут выполняться независимо друг от друга, но требуют одно и то же оборудование, и работа b не может начаться, пока не освободится оборудование после окончания работы а. Это обстоятельство требует введения фиктивной работы c (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Зависимые события

149 в) случай - неполная зависимость, например, работа c требует для своего начала завершения работ a и b, но работа d связана только с работой b, а от работы a не зависит. Тогда требуется введение фиктивной работы x и фиктивного события 3' (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Неполная зависимость

Во всех этих случаях фиктивные работы не имеют протяженности во времени, однако без их введения анализ сетевых графиков может иметь неправильные результаты.

г) случаи введения фиктивных работ - это отражение реальных отсрочек и ожидания. В ряде технологических процессов требуется, например, естественное дозревание, брожение, затвердевание и др., когда реальная работа не производится, но следующий этап работы до определенного момента начаться не может. В подобных случаях в сетевом графике вводятся фиктивные работы, которые имеют протяженность во времени.

Сетевое планирование заключается в следующем. Сначала построим график, например, имеющий 10 событий и 16 работ соединяющих эти события (рис.

150

После построения графика следует этап его упорядочивания, которое заключается в таком расположении событий и работ, при котором все работы-стрелки направлены только слева направо. Упорядочение происходит по принципу «слоеного пирога»:

поместим в первый слой начальное событие 1, мысленно вычеркнем его на графике и выходящие из него стрелки. Тогда без входящих стрелок останутся события 2 и 3. Они образуют второй слой. Вычеркнув мысленно события 2 и 3, мы обнаружим, что без входящих стрелок остается 4, которое образует, таким образом, третий слой. Продолжая процедуру вычеркивания, получим 4-й слой с событиями 5 и 6; 5-й с событием 7; 6-й с событиями 8 и 9; 7-й с событием 10.

Упорядоченный график отражает последовательность событий и работ более четко и наглядно (рис. 4.17).

151

В сложных «запутанных» сетях упорядочение графика является первоочередным условием для последующего анализа. Правильно составленный график всегда можно упорядочить, в отличие от графика, содержащего контуры.

Каждая работа сетевого графика (кроме фиктивных) требует для своего выполнения затрат времени, трудовых и материальных ресурсов. Важнейшим этапом сетевого планирования является анализ сетевого графика по критерию времени.

Предположим, что продолжительность выполнения каждой работы может быть установлено с достаточной точностью. Обозначим на графике (рис. 4.18) время каждой работы в днях и запишем его над стрелками.

Определим ожидаемые сроки наступления каждого события. Срок наступления начального события считаем 0. Событие 2 наступает через 10 дней. Событие 3 - на 11-й день, 4-е событие - 4+7=11 день и т.д. Последнее событие наступит через 51 день.

152

Процесс нахождения возможных путей напоминает решение задач динамического программирования. Общий принцип оптимальности этого метода позволяет утверждать, что поэтапно найденная нами цепочка работ, определившая срок наступления конечного события, действительно является наиболее протяженным путем среди всех возможных путей данного сетевого графика.

Руководители разработки должны в первую очередь уделять внимание своевременному выполненных критиче-ских работ, обеспечению их необходимыми трудовыми и ма153 териальными ресурсами. Если учесть, что в реальных сетевых графиках критические работы составляют лишь 10-15% общего количества работ, ясно, каким ценным орудием управления служит метод критического пути в руках руководителя сложных разработок.

Сетевой график может содержать не один, а несколько критических путей. Некритические события, не влияют на срок наступления конечного события, и для них, кроме ожи-даемых сроков наступления, имеются наиболее поздние допустимые сроки наступления и имеются известные резервы времени для их выполнения.

Например, работа 4-7 вместо 4 дней может продолжаться 19 дней (30-11), т.е. на 15 (19-4) дней больше. Эти 15 дней составляют свободный резерв времени. А если взять работу 6-9, то событие 9 может закончиться либо на 36 (30+6), либо на 40 (51-11) день. Следовательно, свободный резерв времени для данной работы составит 8 (36-21-7)дней, а максимальное допустимое время выполнения этой работы составляет 19 дней (40-21), отсюда резерв - 12 дней. При этом сроки выполнения всего проекта не нарушатся. Итак, наряду со свободным резервом времени, равным 8 дням, работа 6-9 имеет полный резерв времени - 12 дней.

Работа 7-9 свободного времени не имеет, а полный резерв составит 4 дня (40-6-30=4).

154

позже наиболее допустимого срока (55-37). Определение резервов времени событий и работ сетевого графика имеет большое значение, как для этапа разработки и корректировки, так и в ходе выполнения проекта:

во-первых, в проекте могут оказаться «узкие места». С точки зрения обеспечения трудовыми или материаль-ными ресурсами одновременно ведущихся работ;

во-вторых, в первоначально составленном графике общая продолжительность работ может оказаться выше директивно установленного срока. Чтобы уложиться в этот срок, нужно сократить длительность некоторых работ критического пути. Обычно это возможно при условии привлечения на эти работы дополнительные ресурсы, а их можно высвободить за счет удлинения продол-жительности работ на некритическом пути, причем вычисленные резервы времени покажут, до какого предела такое удлинение возможно. (Нужно, однако, учитывать, что при увеличении продолжительности некритических работ критический путь может измениться);

в-третьих, уже в процессе осуществления проекта часто возникают отклонения от намеченных сроков выполнения работ и наступления событий. По некритическим работам и событиям фактическое запаздывание против графика может никак не отразиться на сроках выполнения всего проекта, если запаздывание находится в пределах резерва времени.

Сетевые графики, составленные для практических целей, имеют обычно сотни, а нередко и тысячи событий и работ, которые более сложные для анализа, так, как в них количество работ намного превышает количество событий.

Следует отметить, что наряду с составлением графиков, состоящих из работ и событий, применяется и другой принцип построения сетей, без событий. В таких сетях кружок изо155 бражает определенную работу, а стрелка - связь, зависимость работ в соответствии с их технологической последовательностью. Сетевой график «работы-связи» в отличие от графика «события-работы» обладает известными преимуществами: не содержит фиктивных работ, имеет более простую технику построения и перестройки (введение новых работ, изменение связей), включает только хорошо знакомое исполнителям понятие работы без привычного понятия события. Вместе с тем, сеть без событий получается более громоздкой, т.к. событий обычно меньше, чем работ. График «события-работы» обеспечивает экономию электронной памяти, что является решающим аргументом в пользу этого способа.

Сетевое планирование в условиях неопределенности. В предыдущем примере время выполнения каждой работы было точно известно, т.е., детерминировано, но в действительности это бывает довольно редко, поскольку основное направление использования сетевых методов - это планирование сложных разработок, зачастую не имевших в прошлом никаких аналогий, поэтому, продолжительность выполнения работы является неопределенной, в математическом понимании - случайной величиной. Если известен закон распределения случайной величины, то нетрудно найти две ее важнейшими характеристики: среднее значение (математическое ожидание) и дисперсию.

Однако применительно к работам сетевого графика уверенно судить о законе распределения времени, определенных работ обычно не удается. Практика сетевого планирования выработала для анализа сетевого графика со случайными длительностями работ определенную общую методику, которая рациональна и удобна, но с точки зрения строгой теории не во всем безупречна.

Основные положения этой методики.

По каждой работе i-j, точную продолжительность которой установить нельзя, определяются на основании опроса исполнителей и экспертов три временные оценки:

156

оценка aij min времени, за которую может быть вы-полнена работа при самом благоприятном стечении обстоятельств (ее называют оптимистической оценкой);

оценка bij max времени, которое потребуется на вы-полнение работы при самых неблагоприятных условиях (пессимистическая оценка);

оценка mij наиболее вероятного времени выполнения работы при нормальных условиях.

Эти три оценки являются основой для расчета средней ожидаемой продолжительности работы и ее дисперсии. При этом используется гипотеза об определенном законе распределения длительностей работ (так называемое в-распределение).

Эмпирически найдены формулы определения для каждой работы средней ожидаемой продолжительности t^ и дис-персии Sij при заданных оценках aij,bij,mij:

Далее процесс расчета не отличается от соответствующих расчетов в детерминированном случае. При суждении о временных характеристиках событиях сетевое планирование опирается на центральную предельную теорему теории вероятности. Данная теорема утверждает, что сумма большого числа независимых случайных величин (в данном случае дли-тельностей работ) при некоторых общих условиях имеет нормальное распределение со средним значением, равным сумме средних значений этих величин и дисперсией, равной сумме их дисперсий. Тогда можно считать, что сроки наступления событий, достаточно удаленных от начального события, имеют распределение со средним сроком и дисперсией, определяемых по известным формулам. (Правда, это утверждение предполагает о независимости случайных длительностей работ, что не всегда справедливо для конкретных проектов.)

157 Например, имеется сетевой график, где продолжительность каждой работы четко неопределенна, но имеются (см. табл. 4.19), временные характеристики для каждой работы, рассчитанные по приведенных формулам.

Таблица 4.19

Временные характеристики работ Работы Оценки времени выполнения Дисперсия среднего времени «й минимальная

a,j максимальная

bj наиболее вероятная

mj средняя ЕУ 1-2 5 9 6 6,33 0,44 1-3 2 7 5 4,83 0,69 1-4 4 10 8 7,67 1 3-4 9 14 11 11,17 0,69 2-5 7 13 10 10 1 4-5 1 4 3 2,83 0,25

158

После того, как найдены продолжительности каждой работы, определяем по критическому пути время окончания всего комплекса работ (рис. 4.19).

6,33

различие связано со структурой самой сети. Рассмотренные сети, в которых необходимо выполнять в заданной последовательности все работы графика, являются детерминированными, хотя и имеют случайную длительность. Однако встречаются проекты, особенно при планировании исследовательских работ, на некоторых этапах которых дальнейшее содержание и порядок работ зависят от неизвестного заранее результата предшествующего события. Например, предусмотрено несколько проектов строительства предприятий разной мощности по обработке сырья в зависимости от результатов разведки запасов этого сырья. Тогда на графике от «решающего события», означающего результаты проведения разведки, отходит несколько обособленных комплексов работ, соответствующих нескольким вариантам строительства и, какой из них будет выполняться, заранее не известно, а может быть оценено с некоторой вероятностью. Такие сети называются стохастическими, и методы их анализа основываются на теории вероятности. Стохастические сети, как и детерминиро-ванные, могут характеризоваться детерминированной, либо случайной длительностью работ.

Оптимизация сетевых моделей. Существует различные сетевые графики с разным уровнем затрат и сроками исполнения работ, что позволяет говорить о возможности поиска оптимальных вариантов.

Простейший подход при этом предполагает, что по каж-дой работе имеются следующие данные:

нормальная продолжительность работы и соответст-вующий им размер затрат;

срочная (экстренная) длительность и отвечающие им затраты, которые увеличены за счет ускорения работ. Связь между ускорением работ и увеличением затрат при этом линейная: чем быстрее выполнения работы, тем больше затрат при этом используют.

Возможная оптимизация сетевого графика видна из следующего примера. Предполагается, что при нормальной продолжительности работы определены самые минимальные за160

траты на ее выполнение. Сокращение сроков продолжитель- ностей работ невозможно больше, чем предусмотрено в срочном варианте, так как будет нарушена технология производства. Таким образом на графике определенная работа может иметь любую протяженность между нормальной длительностью с минимальными затратами и срочной длительностью с наиболее высокими затратами (табл. 4.20).

Таблица 4.20

Два варианта работ Работы Нормальный вариант Срочный вариант Прирост затрат на 1 день ускорения работ, руб. время, день затраты,

руб. время, день затраты,

руб. 1-2 6 150 3 180 10 1-3 5 200 4 220 20 1-4 8 650 5 770 40 3-4 12 520 8 580 15 2-5 9 300 5 420 30 4-5 4 100 2 150 25 Итого - 1920 - 2320 -

Исследуем сначала первый вариант графика с нормальной продолжительностью, который будем оптимизировать путем сокращения срока завершения всего комплекса работ. Опти-мальный вариант - между 21 и 14 днями. Для этого надо сокращать продолжительность работ критического пути (рис. 4.20).

Из табл. 4.20 видно, что из трех критических работ наименьший прирост затрат в работах 3-4 (15 руб. на 1 день ускорения). Поэтому следует в первую очередь сокращать про-должительность работы 3-4. При срочном варианте эта работа равна 8 дням. Критический путь сократится до 17 дней, удорожание проекта составит 60 руб. Далее сокращаем 1-3 и 4-5 на 1 день, затраты на проект увеличатся еще на 45 рублей. После сокращения на графике появляется второй критический путь: работы 1-2 и 2-5. Оба пути имеют протяженность 15 дней. Теперь, для дальнейшего уменьшения продолжительности всего комплекса работ необходимо одновременно сокра161 щать оба критических пути. На втором критическом пути на 1 день необходимо сократить работу 1-2, так как здесь наи-меньший прирост затрат равный 10 рублям, на старом графике есть возможность сократить работу 4-5 еще на 1 день, тогда общая продолжительность составит 14 дней и уже дальнейшее сокращение невозможно по условию задачи. Затраты при этом варианте будут равны 2 060 руб., что на 140 руб. больше, чем при нормальной продолжительности всех работ.

Нормальный вариант = 21 день Затраты = 1 920 руб. Рис. 4.20. Нормальный вариант

Рис. 4.21. Срочный вариант

2 Срочный вариант = 14 дней Затраты = 2 320 руб.

162

Срочный вариант. Затраты при этом составят 2 320 руб. Данный график не оптимален потому, что в срочном порядке с наибольшими затратами выполняются и некритические работы (рис. 4.21).

Также определяется прибыль, если ООО выбирает стратегию В, а конкурент стратегию Д, не противоречащую его стратегии: ПР (ВД) = 400 • (8 500 - 6 500) + 400 • (10 000 - 7 000) = 2 000 000 руб.

Если ООО «Слава» выберет стратегию В и при этом конкурент другую, противоречащую сбыту стратегию С, при которой данное предприятие не сможет полностью реализовать мебельные гарнитуры, то прибыль составит:

ПР (ВС) = 400 • (8 500 - 6 500) + 300 • (10 000 - 7 000) - (400 - 300) • 7000 = 1 000 000 руб.

Составим матрицу на основании произведенных расчетов (табл. 4.21).

Таблица 4.21

Матрица Р2 «Предприятие- конкурент» Р1 А В С 1 900 000 1 000 000 Д 1 050 000 2 000 000

Вероятность попадания ООО в стратегию А = Х;

Вероятность попадания ООО в стратегию В = (1-Х).

Если игрок Р1 (ООО) принимает оптимальную смешанную стратегию, то не зависимо от стратегии игрока Р2 (предприятия-конкурента), он должен получить одинаковую среднюю прибыль (выигрыш):

1 000 000 < ПР < 2 000 000;

1 900 000х + 1 000 000 (1-х) = 1 050 000х + 2 000 000 (1-х);

190х +100(1-х) =105х+200(1-х); отсюда :

90х + 100 =200 - 95х;

х = 100 / 185; или х =20/37 - вероятность попадания в стратегию А;

1-х = 17/37 - вероятность попадания в стратегию В.

Составляем план для определения среднего выигрыша:

выпуск шкафов:

(500 • 20/37) + (400 • 17/37) ~ 454 шт.;

выпуск мягкой мебели:

(300 • 20/37) + (400 • 17/37) ~ 346 шт.

Теперь надо определить оптимальную программу, не зависящую от стратегии конкурента.

Стратегия конкурента С: ПР = 454 • 2 000 + 300 • 3 000 - (346-300) • 7 000=1 486 000 руб. ~ 1,49млн руб.

Стратегия конкурента Д: ПР = 400 • 2 000 + 346 • 3 000 - (454-400) • 6 500 =148 700 000 руб. ~ 1,49 млн руб.

165 Вывод. Следовательно, оптимальная стратегия ООО «Слава» показывает, что при среднем выпуске 454 шт. шкафов и 346 гарнитуров мягкой мебели при любых стратегиях конкурента ООО получит в среднем прибыль в сумме 1,49 млн руб.

4.2.2.4.