<<
>>

ГЛАВА 9 случайные функции

Случайной функцией X(t) называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее, какой именно.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

При фиксированном t случайная функция X(t) обращается в случайную величину X(t), называемую сечением случайной функции.

Одномерным законом распределения случайной функции X(t) называется закон распределения f(x, t) сечения X(t) случайной функции.

Двумерным законом распределения случайной функции X(t) называется закон распределения системы двух ее сечений: X(tt), X{t^)y представляющий собой функцию четырех аргументов: f(xv а^, tv 12).

Случайная функция X(t) называется нормальной, если закон распределения системы любого числа п ее сечений представляет собой п-мер- ный нормальный закон.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при каждом t представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции: mx(t) = М [X (t)].

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов Kx(t, t'), которая при каждой паре значений аргументов t, t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

Kx(t, о = м[х (t) х (t%

гдeX(t) — X(t) — mx(t) — центрированная случайная функция.

При t! = t корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции:

Kx(t,t) = Dx(t) = D[X(t)} = [oM2Основные свойства корреляционной функции:

1) Kx(t, t') = Кx(t', t), т.е.

функция Kx(t, t') не меняется при замене t на І (симметричность).

\Kx(t,t>)\).

Функция Kx(t, t') — положительно определенная, т.е.

f f Kx(t, Оф (*)ф(0 dt dtf > 0,

(В) (В)

где ip (t) — любая функция; (5) — любая область интегрирования, одинаковая для обоих аргументов.

Для нормальной случайной функции характеристики mx(t), Kx(t, t') являются исчерпывающими и определяют собой закон распределения любого числа сечений.

Нормированной корреляционной функцией случайной функции X(t) называется функция

г и t>) = 1'] = K*{t'іГ) } ax(t)ax(t') jDx{t)Dx{t>Y

т.е.

коэффициент корреляции сечений X{t) и X (t'); при t=t' функция rx(t, t') равна единице: rx(t, t) = 1.

При прибавлении к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого ф (t) к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое, а корреляционная функция не меняется.

При умножении случайной функции X{t) на неслучайный множитель ф (t) ее математическое ожидание умножается на тот же множитель ф (t), а корреляционная функция — на ф (і) ф (?').

Если случайную функцию подвергают некоторому преобразованию j4f, то получается другая случайная функция

Преобразование 4 0) называется линейным однородным, если

D40)

k=i

(т.е.

преобразование к сумме может применяться почленно);

2 )4°>{c*(*)} = (т. е. множитель с, не зависящий от аргумента t, по которому производится преобразование, можно выносить за знак преобразования). Преобразование Lt называется линейным неоднородным, если

Ц{Х (0} = 4о){* (<)} + Ф(<),

где ф (і) — любая функция, никак не связанная с X(t).

Если случайная функция Y(t) связана со случайной функцией X(t) линейным преобразованием

?(і) = Ц{Х (і)},

то ее математическое ожидание my(t) получается из mx(t) тем же линейным преобразованием

Jt=l

mv(t) = Lt{mx(t)}1

а для нахождения корреляционной функции Ку (t, t') нужно дважды подвергнуть функцию Kx(t, ?') соответствующему линейному однородному преобразованию, один раз по t, другой раз по t':

Ky(t,f) = ^{^{Kx(t,f)}}.

Взаимной корреляционной функцией Rщ (?, t') двух случайных функций X(t) и Y(t) называется функция

Rv(t, t') = М [І (t) Y (t>)}.

Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, что

R^(t,f) = Rvx(t',t).

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(t), Y{t) называется функция

4,1 ' } ox(t)av(t') px{t)Dy(t'Y

Случайные функции X(t) и Y(t) называются некоррелированными, если (*, 0=о.

Если Z(t) = X(t) + Y(t), то

mz(0 = тх(*)+ту(*)>

Kz{t, О = Kx(t, О + Ку (t, t') + я„ (*, t') + R^ (*', t). Для некоррелированных случайных функций X(t) и Y(t) Kz{t, о = О + ВД ОЕсли

Jfc=l

TjieX1(t),Xn(t) — некоррелированные случайные функции, то

mz(t) = Е тХк (t), Kz(t, О = ? ^ («, ОПри выполнении различных преобразований со случайными функциями часто бывает удобно записывать их в комплексном виде.

Комплексной случайной функцией называется случайная функция вида

Z(t) = X(t) + iY(t),

г

где X(t), Y(t) — действительные случайные функции.

Математическое ожидание, корреляционная функция и дисперсия комплексной случайной функции определяются следующим образом:

mz(t) = mt{t) + imy (f); Kz(t, t') = M [i(t) X(t% где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина; Dz(t) = Kz(t,t) = M[\X (t)\2}.

При переходе к комплексным случайным величинам и функциям не-обходимо определять дисперсию как математическое ожидание квадрата модуля, а корреляционный момент — как математическое ожидание произведения центрированной одной случайной величины на комплексную сопряженную центрированной другой.

Каноническим разложением случайной функции X(t) называется ее представление в виде

ТП

X(t) = mi(t)+Y:vk4>k(t), (9.0.1)

k=1

где Vk (k = 1,т) — центрированные, некоррелированные случайные величины с дисперсиями Dk (Л: = 1, —, га); 4>k(t) (k = 1,га) — неслучайные функции1^

Случайные величины Vk (к = 1,т) называются коэффициентами, а функции ч>к(?) (к = 1,т) — координатными функциями канонического разложения.

Если случайная функция X{t) допускает каноническое разложение (9.0.1) в действительной форме, то корреляционная функция Kx(t, t') выражается суммой вида

т

Kx(t,t')^J2D^k(t)^k(t'), (9.0.2)

k=\

которая называется каноническим разложением корреляционной функции.

Если случайная функция X{t) допускает каноническое разложение (9.0.1) в комплексной форме, то каноническое разложение корреляционной функции имеет вид

= (9.0.3)

k=1

где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина.

Из возможности канонического разложения вида (9.0.2) или (9.0.3) корреляционной функции вытекает представимость случайной функции X(t) в виде канонического разложения (9.0.1), где случайные величины Vk (к = 1,..., т) имеют дисперсии Dk (к = 1,..., т).

В частности, может быть т = оо.

При линейном преобразовании случайной функции X(t), заданной каноническим разложением (9.0.1), получается случайная функция Y(t) = Ц{Х({}} в виде канонического разложения

тп

где

т.е.

при линейном преобразовании случайной функции, заданной каноническим разложением, ее математическое ожидание подвергается тому же линейному преобразованию, а координатные функции — соответствующему линейному однородному преобразованию.

Стационарной случайной функцией называется случайная функция, математическое ожидание которой постоянно, mx(t) = тх = const, а корреляционная функция зависит только от разности между своими аргументами Kx(t, t') = кх(т), где т = t'-t.

Из симметричности корреляционной функции Kx(t, t') следует, что ^(т) = кх(—т), т.е. корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция аргумента т.

Дисперсия стационарной случайной функции постоянна:

Dx = Kx(t, І) = кх(0) = const.

Корреляционная функция стационарной случайной функции обладает свойством:

\h{t)\Нормированная корреляционная функция рх(т) стационарной случайной функции X(t) равна

р (т) = Mi) = Mi).

Каноническое разложение стационарной случайной функции имеет вид

оо

X(t) = mx+J2(Ukcos ukt + Vk sin иkt), (9.0.4)

*=o

где Uk, Vk (к = 0, 1,...) — центрированные, некоррелированные случайные величины с попарно равными дисперсиями

D[Uk] = D[Vk] = Dk.

Разложение (9.0.4) называется спектральным. Спектральному разло-жению стационарной случайной функции соответствует разложение в ряд ее корреляционной функции

^ Точнее, стационарной в широком смысле.

мт) = s ukt,

k=0

откуда

oo k=0

Спектральное разложение (9.0.4) стационарной случайной функции при ш0 = 0 можно переписать в комплексной форме:

оо к—-оо

где

(k = 1,2,...).

Спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называется предел отношения дисперсии, приходящейся на данный интервал частот, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю. Спектральная плотность Sx(ui) и корреляционная функция кх(т) связаны преобразованиями Фурье. В действительной форме они имеют вид

2 00 00 = ~~ I К(Т) cos urdr, кх(т) = I Sx(w) cos ujrdur,

тт J J

о о

из последнего соотношения вытекает, что

оо

л, = *,(0) = f 5» dux

о

В комплексной форме преобразования Фурье, связывающие спектральную плотность S*x (w) и корреляционную функцию, имеют вид

оо оо

—00 —00

Как 5х(и;), так и — действительные, неотрицательные четные

функции, но Sx(w) рассматривается только в интервале (0, оо).

Нормированной спектральной плотностью sx(и), s*(uj) называется спектральная плотность, деленная на дисперсию случайной функции

X X

Белым шумом называется случайная функция X(t), любые два различные (сколь угодно близкие) сечения которой некоррелированы и корреляционная функция которой пропорциональна дельта-функции:

Kx(t, t') = G(t)b(t-t>).

Величина G(t) называется интенсивностью белого шума.

Стационарным белым шумом называется белый шум с постоянной ин-тенсивностью G(t) = G = const.

Корреляционная функция стационарного белого шума имеет вид

Мт) = С6(т), откуда его спектральная плотность постоянна и равна

*v 21Г

Дисперсия стационарного белого шума равна Dx — G 6(0), т.е.

беско-нечна.

Если на вход стационарной линейной системы L поступает стационарная случайная функция X(t), то спустя некоторое время, достаточное для затухания переходного процесса, случайная функция Y(t) на выходе линейной системы также будет стационарной. Спектральные плотности входного и выходного сигналов связаны соотношением

где Ф (г ы) — амплитудно-частотная характеристика линейной системы.

Говорят, что стационарная функция X(t) обладает эргодическим свойством, если ее характеристики (тх, kx(г)) могут быть определены как соответствующие средние по времени для одной реализации достаточно большой продолжительности. Достаточным условием эргодичности стационарной случайной функции (по математическому ожиданию) является стремление к нулю ее корреляционной функции при т —> оо:

lim кх{т) = 0.

т —+оо

Для того чтобы случайная функция X(t) была эргодична по дисперсии Dx, достаточно, чтобы случайная функция Y(t) = {Х(?)}2 обладала аналогичным свойством, т.е. при т —> оо:

lim ку (т) = 0 1}

^ Для того чтобы случайная функция была эргодична по корреляционной функции, нужно, чтобы аналогичным свойством обладала функция Z (t, г) = X (t) X (t + г).

При решении задач, связанных со случайными функциями, часто бывает удобно выполнять преобразования с помощью различных скачкообразных функций, а также обобщенных функций типа дельта-функции.

Приведем определения и основные свойства таких функций от действительного аргумента т.

1.1 т | — модуль (абсолютная величина):

т при т > О,

I т|= •

[—т при т < 0.

2.1(т) — единичная функция (единичный скачок):

1(т) =

при т > 0,

при т = 0,

при т < 0.

3. sgn т — знак величины т (сигнум): 1 при т >0, sgn т = 0 при т = 0, -1 при т <0.

4.6 (т) — дельта-функция:'

6(T) = -f 1(т).

ат

Дельта-функция — четная функция т. Основные свойства дельта-функции:

а) тб (т) = 0 и вообще ф (т) б (т) = 0, если ф (т) — нечетная функция, непрерывная при т = 0.

0+е

б) J4(T)6(T)dT = a|;(0), если функция я\)(t) непрерывна в точке

О-є

0 0+є

т = 0 (є > 0), J* ty (т) б (т) d т = J* (т) б (т) d т = - ^ (0), если функция

0-е о ^

^ (т) непрерывна в точке т = 0.

Из этих определений вытекают следующие свойства, имеющие место для любых действительных т и нечетной функции ф (t): l.|T|=TSgnr, 2. т =|тI sgn Tf З.ф(т) = ф(|т|) sgn т;

ф (М) = ф(т) sgn т; 5.ф2(|т|) = ф2(т); 6. sgnт = 2-і (т) - 1;

7.1(T)=Sgn (oT)+1; 8.1 т| = т [2 • 1(т) — 1]; Э.^^пт; 2 а т

10. j!lll= dsgn Т = 25(т); d т2 d т

11.1 (т)= j,6(t)dr = i fd(sgnr);

12. Для нечетных положительных fc(sgn r)k = sgn т. Для четных поло-жительных к

1 при т ^ О,

(sgn т)1' =

О при т = 0; d\r\)

d т

із. и IT

Ts Т*

I Т | т"

|т|т*

ts к

k+s

d м

U|t|

14.d т

15V(M)

d т

при s нечетном и к четном, при s нечетном и к нечетном, при s четном и к четном, при s четном и к нечетном; при к нечетном, при к четном; при s нечетном и к четном, при s нечетном и к нечетном, при s четном и к четном,

\k+s

= <р'(т)

|ф'(т)| ф' (т) <Р'(Т)

Ф (| т |) ф5"1 (т) при s четном и к нечетном; 16. ф5(т) Ш) к к dT - <р'(т)

при к четном,

Ф (|т|)фв *(т) при к нечетном. 9.1. Случайная функция X(t) в каждом сечении представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью распределения f(x, t). Написать выражения для математического ожидания mx(t) и дисперсии Dx (t) случайной функции X(t).

Ответ.

оо

тЛ0 = / xf(x,t)dx;

—оо

оо

0.(0= f [x-mx(t)]2f(x,t)dx. 9.2. Случайная функция X(t) представляет собой случайную величину X(t) = V, где V— непрерывная случайная величина с плотностью распределения v(v). а) Написать выражение одномерного закона (плотности) распределения /(х, t) случайной функции X(t). б) Найти математическое ожидание mx(t) и дисперсию Dx(t) случайной функции в) Написать выражение двумерной функции распределения F(xx ,x2,t1,t2) двух сечений X{tx), X(t2) случайной функции Х{?).

оо

Ответ. а)/(х,= tp(x); б)mx(t) = J* хц> (х) dx = т v,

—оо

оо

Цг(0=/ (х - ™ V? (х) fa = D v\ *)F(x1,x2,t1,t2) =

— OO

= P((X(fx) < zx )(X(*2) < xa)) = P((F < *x )(V < x2)).

Если xx < х2,то из V < xx следует F < х2,иР((7<і1 )(Fxj

< xi)= f dx. Следовательно, J ф (x) dx = F(xx) при xx < x2,

F(xx, x2,t11t2) —

-OO x2

J ф (x) dx = F(X2 ) при x2 < xx, X

где F{x) = J у (v)dv — функция распределения величины V.

—оо

9.3. Случайная функция X{t) задана в виде X(t) = Vt + Ь, где F— случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами mvfov,b — неслучайная величина. Найти плотность распределения /(х, t) сечения случайной функции X(t) и ее характеристики mx{t),Dx(t),Kx(t,tf).

Ответ, /(х, t) — нормальный закон с параметрами mvt + b; \t\ov: 2t2o„

/(®,0 = \t\ov^

mx(t) = mvt + bi Dx(t) = t2a2v; Kx(t,t') = o2vtt'. 9.4. Показать, что любая функция двух аргументов вида

Е^ФЛОФДО, (9-4)

где Ц — неотрицательные числа; ф,- (t) — любые действительные функции (г = 1,..., п), обладает всеми свойствами корреляционной функции.

Решение. Достаточно показать, что существует случайная функция X(t), имеющая корреляционную функцию (9.4). Рассмотрим действительную случайную функцию X(t), заданную в виде канонического разложения

X(t) = mx(t) + f2Vi4)i(t),

І=1

где D[K« ] = ?>,.

Корреляционная функции этой случайной функции имеет вид

^(М'^Е^фЛОФЛО,

г —1

что и требовалось доказать.

Случайная функция X(t) имеет характеристики тх (t) = 1 и Kx(t,tf) = К Определить характеристики случайной функции Y(t) _ j. + j Определить, являются ли стационарными

dt

случайные функции X(t) и Y(t).

Решение. В силу линейности преобразования t b 1

dt

my(t) = t±mx(t) + l = l. at

к (t,t') = tt'-^Kx(t,t') = tt'*2e^t+t,K y dtdt'

Ни одна из случайных функций X(t) и Y(t) не является стационарной, так как их корреляционные функции зависят не только от т = t' — t, но от каждого из аргументов t, t'.

Случайная функция X(t) имеет характеристики:

771,(0 = 0, Kx(t,t') = )

і +

Найти характеристики случайной функции

t

Y(t) = f X[t)dt.

о

Определить, стационарны ли случайные функции X(t) и Y(t). Решение. В силу линейности преобразования J X(t)dt

о

t

my(t) = f mx(t)dt = 0, dt =

KyM = fdtfKx(t,t')dt> = f\f-^

0 0 0 0 1 \z t

= J [arctg (t' - t) - arctg(-*)] dt =

о

= t arctg t +1' arctg t' -{t-t') arctg (t - t') - I ln(1 + * + * \

2 1 + (t-t')2

Случайная функция X?t) стационарна [Kx(t,t') = kx(t' - t)]

случайная функция Y(t) = JX(t) dt нестационарна. Действительo

но, дисперсия случайной функции Dy (t) равна

Dy (0 = Ку (t, t) = 2t arctg t - In (1 + t2),

т.е. зависит от t.

Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций X(t) и Y(t) с характеристиками

mx(t) = t; Kx(t,t') = tt';

Ответ. z(t) = *(t) + y(*); = + = * = 0;

Имеется комплексная случайная функция Z(?) = X(t) + + і Y(t),rjxe X(t), Y(t) — некоррелированные случайные функции с характеристиками

m,(t) = t2; Кх(і,ґ) = е-«^

my(t) = 1; tfy(M') = e2^i+i'>.

Найти характеристики случайной функции га2(г),

K,{t,t')*D,(t). 272

Ответ. m,(t)=t2+i; Kz(t, t')=е-а^~г')2 +е2а*іі+ґ) Dx(t)= =Kz(t,t) = 1 + е4а>г.

9.9. Траектория космического летательного аппарата в вертикальной плоскости изображается двумя уравнениями:

X(t) = At2 +Bt + С, Y(t) = Et2 +Ft + H.

Коэффициенты Ay By Су Ey Fy Hявляются случайными, так как определяются из опыта с ошибками; номинальные значения величин Ау By ..., Я равны а, Ь, ..., h соответственно; ошибки АА, АВ,..., АН представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями DAl DBJ ..., DH. Нормированная корреляционная матрица этих ошибок имеет вид 0,4 -0,2 0 0 0 1 0,3 0 0 0 1 0 0 0 1 0,7 1 -0,2 0,5

1

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайных функций V{t) и U(t)y представляющих собой горизонтальную и вертикальную составляющие скорости снаряда.

Решение. Из условий задачи следует, что

V(t) = ^- = 2At + B; U(t) = ^l = 2Et + F. dt dt

Таким образом, случайные функции V(t) и U(t) представлены в виде разложений (не канонических, так как их коэффициенты зависимы). Имеем

mv(t) = 2at + Ь; m„ (*) = 2rf +/;

Kv(t,t') = 4DAtt' + DB+0,4jDADB(2t+2t'y,

Ku(t,t') = 4DEtt' + DF +0,7JD^(2t + 2t')-,

Dv (t) = 4DAt2 + DB + 1,6.jD^t;

Du (t) = 4DEt2 +Df+ 2,8^ЩЇЇ^І.

9.10. Случайная функция X(t) имеет характеристики

mx(t) = t2- 1; Kx(t,t') = 2e~a^\ Определить характеристики случайных функций

Y(t) = tX(t) + t2 + 1; Z(t) = 2t ^l + (l-t)2;

dt

u(t) = -^ +1.

dt'

Решение.

= + -l) + t2 + l = f3 +t2 -t + 1; Ky(t,t') = tt' 2e-a(t'-t)2;

dt

гК ' dtdt' = -a • mt'[(t'-t) 2a (t'-t)-e-a^ ] =

= 16aU'e-a^-t)2[-2a(t'-t)2 +1];

d2K (t t')

При вычислении Kz(t,t') мы уже нашли ' , следоваdt dt

тельно,

К* = e_a(i'"<)2f1 - 2a ' - 0а] = = 8aVa(^)2 [3 + 4a\t'-t)4 - 12a (t' - t)2].

9.11. Случайная функция X(t) задана выражением

= V cos

где V — случайная величина с характеристиками т v = 2; a v =3. Найти характеристики случайной функции X(t): m^f); Kx{t,t')] Dx {t).Определить, является ли случайная функция X{t) стационарной. Найти характеристики случайной функции

274 Y(t) = X(t)+

at

где a — неслучайная величина.

Является ли стационарной случайная функция Y(t)7 Решение.

mx(t) = га v cos lj t = 2coscj ^ 0 — D v cos oo t cos oj t' = 9 cos и; t cos oj t Dx(t) = 9 cos2 uf.

Случайную функцию можно представить в виде

ч т. dVcos bit rr , ч

у (t) = К cos + a = К (cos — a и sin

dt

отсюда

ray (?) = га v (coswt — a oj sin = 2(cosu;? - аш sinu?); Кy (t, t')~ 9(coscjt — a oj sin u;?)(cosu?7 — a qj sincjt Dy(t) = 9(cosoj? — a u; sin (jjt)2.

Случайные функции X(t) и У(?) нестационарны.

Задана случайная функция

где Vi и V2 — некоррелированные случайные величины с характери-стиками т Vi = т v — 0; DVi, Dv . Найти характеристики случай-ной функции

Решение. Случайная функция Х{?) представлена каноническим разложением, следовательно,

mx(t) = 0; Kx(t,t') = Д „е—^ + Dve~^t+t,); Dx{t) = Dve-2^ +Dve-2a*.

Случайная функция X(t) задана своим каноническим раз-ложением

X{t) = YVie-** + а,

І =1

где V) — центрированные случайные величины с дисперсиями Dv (і = 1, 2,..., п);М[У; V.] = Опри і ^ j; а — неслучайная величина.

Найти характеристики случайной функции X(t).

Ответ. mx{t) = a- Кх{і,і') = ^0 ¦

1=1

І=1

Случайная функция X(t) задана каноническим разложением

X(t) = t + У і cos ujt + V2 sin ut,

где Vx и V2 — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с дисперсиями В1 = В2 = 2. Определить, является ли стационарной случайная функция X(t).

Решение. mx(t) = t; Kx(t,t') = 2 (cos ujt cos u> ?7 + + sin u>t sinu>t') = 2 cosu> (t' — t).

Корреляционная функция случайной функции X{t) удовлетворяет условию стационарности, однако математическое ожидание mx(t) зависит от времени. Случайная функция X(t) нестационаро

на, но центрированная случайная функция X(t) стационарна.

Заданы две случайные функции:

X(t) = Vx cos ujxt + V2 sin Y(t) = cos uj2t + U2 sin uj2t.

Математические ожидания всех случайных величин Vv V2, U{ и U2 равны нулю, дисперсии равны DVi = Dv = 1; DUi = Du =4; нормированная корреляционная матрица системы (Vv V2, Uv U2) имеет вид

1 0 0,5 0 1 0 -0,5 1 0 1

Определить взаимную корреляционную функцию R^it.t') и найти значение этой функции при t = 0, t' — 1. Определить Ryx (;t, t') и найти значение этой функции при t = 0; t' = 1. Решение.

Rxy(t,t') = M[X(t)Y(t')} = = M[(VX cos {jjxt + V2 sin ujlt)(Ul cos uj2t' + U2 sin uj2t')] = = cos ujJ cos u)2t' M\V1U1] + cos ujxt sin uj2tr М\Уги2] + + sin oj xt cos u> 2t' M[V2U1 ] + sin uj sin uj 2t' M[V2U2 ] = = cos UJxt cos u>21' — sin UJxt sin u>21' = cos (uj xt + u 2t').

#4,(0. l) = cosu;2; Ryx(t,t') = Rv (t',t) = cos (ш/ + u2t); Д„(0,1) = cos ur

Имеются две некоррелированные случайные функции X(t) и Y(t) с характеристиками

mx(t) = t2; Kx(t,t') = ea«+t4;

my(t) = 1; K„(t,t') = e*^)i.

Найти характеристики случайной функции Z(t) = X(t) + t Y(t) + + t2. Решить ту же задачу, если случайные функции X(t), Y(t) коррелированы и их взаимная корреляционная функция равна Rxy(t,t') = ae-a^.

Решение. В случае, еслиR (t,t') = 0,

m2(t) = mx(t) + tmy(t) + t2 = 2t2 +t.

Kz(t,t') = Kx(t,t') + tt'Ky (t,t') = eai(t+t,) + и'еа^'-1)2. В случае, когда R (t,t') = ає~~" г "li,тп г (t) не меняется;

K2(t1tf) = Kx(t1tf) + ttfKy (t,t') + tfRxy(t,tf) + tRxy(t',t) =

= eai(t+<,> +tt'e*^)2 + a(t+t/)e-a|t#-t|.

Случайная функция X(t) имеет характеристики mx (t) = 0; кх(т) = Dxe~a'T'. Найти ее спектральную плотность5* (и).

Решение.

оо

1 1 Г)

a

2 + U)2

Sln=-±- f кя(т)е-іиЧr = ±Re ГDxe-(«T+i^dT=^- 2-к J -к J -к a. где Re — действительная часть.

9.18. Найти спектральную плотность случайной функции X(t), если ее корреляционная функция

kx(T) = Dxe~a |т| cos рт.

Решение.

1 °° „І (Зх , -І (Зт

dT =

s*x(u) = — ГjDxe~a|T| e"iWT

—оо П [м

= ^Re Г e~aT(e Зт + Є-' Зт ) Є"4 ^Т

2тг J

_ Dxot a2 + (32 +uj2

n [a2 + (0 — u)2][a2 + (0 + w)2]'

где Re — действительная часть.

Комплексная случайная функция Z(t) задана в виде

Z{t) = X(t) + iY{t),

где

i=l t=l

Математические ожидания всех случайных величин Vt и Uk (к — 1, 2, 3) равны нулю, а корреляционная матрица системы слу-чайных величин (Vj, V2, V3, Uv U2, U3) имеет вид

10 0 1 0 0

2 0 0 -1 0

3 0 0 3

10 0'

2 0

3

Найти характеристики случайной функции Z(t).

Ответ .mz{t) = Yjake~Clkt + *]?fcte~M;

к—ї к=1

Kz(t,t') = Kx(t,t') + Ky(t,t') + i[Rxy(t',t)-Rxy(t,t%

где

Kx(t,t')^J2ke~ak{t+t,)' Ky(t,t') = j2ke-^t+t'); k=l k=l

Рассматривается случайная функция представляющая собой число заявок, поступивших на телефонную станцию за время t. Одна из реализаций случайной функции X(t) показана на рис. 9.20, а. Поток заявок простейший с плотностью X.

t = t'

Рис. 9.20

Найти закон распределения сечения случайной функции X(t) и ее характеристики тп х (t), Dx (t), Кх (t, t'), rx (t, t').

Решение. Закон распределения сечения X(t) есть закон Пуассона с параметром а == \t, значит, вероятность того, что случайная величина примет значение га, выражается формулой (Х*Г

m!

-х*

Р. =

(га =0,1,2,...). Математическое ожидание и дисперсия случайной функции X(t) будут

mx(t) = \t- Dx(t) = \t.

Найдем корреляционную функцию Kx(t,tf). Пусть tf >t. Рассмотрим интервал времени (0,t') (рис. 9.20, б). Разобьем этот интервал на два участка: от 0 до t и от t до tЧисло вызовов на всем интервале (0, t') равно сумме чисел вызовов на интервалах (0, t) и

MT:

x{t') = x{t) + Y(t' -t),

і)

Возможностью появления вызова в точности в момент t пренебрегаем.

где Y(t1 — t) — число вызовов, пришедших на интервале (?, ?'); вследствие стационарности процесса случайная функция Y{t) имеет то же

распределение, что и X(t); кроме того, согласно свойствам пуассо- новского потока событий, случайные величины X(t) и Y(t' - t) не- коррелированы. Имеем

- M[X(f) (X(t) + Y(t' - О)] = M[(X(f ))2 ] = D, (t) = Xf.

Аналогично при t > t' получаем

Kx(t,t') = \t'.

Таким образом,

Kx (М') = Xmin

где min {t, t'} — минимальная из величин t, t' (при t = t' в качестве минимальной можно взять любую из величин t, t').

Пользуясь символом единичной функции 1(я), можно записать корреляционную функцию в виде

Кх (t, t') = \ti(t' - t) + \t' i(t - t').

На рис. 9.20, в показана поверхность Kx(t,t'). В квадранте

t > 0 и tf > 0 поверхность Kx(t,t') состоит из двух плоскостей,

проходящих соответственно через оси Ot и Ot' и пересекающихся по линии ODx1 аппликаты точек которой равны дисперсии \t.

Нормированная корреляционная функция равна

г, (*,*') = . КЛі'ґ) = Ь (ґ -t)+Mi(t -t').

Поверхность rx(t,t') показана на рис. 9.20, г. 9.21. Случайный процесс X(t) возникает следующим образом. На оси времени 0t имеется стационарный пуассоновский (простейший) поток событий с плотностью X. Случайная функция X(t) попеременно принимает значения +1 и -1; при наступлении каждого события она скачком меняет свое значение с +1 на -1 или наоборот (рис. 9.21, а).

Найти характеристики тх (t), Dx (t) и Kx(t,t') случайной функции X(t).

Решение. Сечение случайной функции X(t) имеет закон распределения, представленный рядом ф) -1 +1 Vi{t) 1 1 2 2

Действительно, так как моменты перемен знака никак не связаны со значением случайной функции, нет никаких основа-ний считать какое-либо из значений +1,-1 вероятнее другого. Отсюда

Чтобы найти корреляционную функцию Kx{t,t'\ рассмотрим какие-то два сечения случайной функции: X(t) и X(t') (t' >t) и найдем математическое ожидание их произведения:

Kx(t,t') = M[X(t) X(t')} = M[X(t) X(t%

Произведение X(t) X(t') равно -1, если между точками t и t' произошло нечетное число событий (перемен знака), и равно +1, если произошло четное число перемен знака (включая нуль).

X(t)

ВДО

¦и—t ш lj 0 т Рис. 9.21

ті і

Вероятность того, что за время т = t' — t произойдет четное число перемен знака, равна

(Хт)2т

„ Хт , Хт Хт -Хт Є + Є

-е — 6 :

Ґо (2т)!

аналогично вероятность того, что за время т произойдет нечетное число перемен знака, будет

Хт -Хт -Хт е - е

Р нем = 6

Отсюда —2Хт

Kx(t,t')=(+l)p4„ + (-І)Рне, =e где т = t' — t.

Аналогично при t' < t найдем

Kx{t,t') = e~^\

где Т — t' — t.

Объединяя эти две формулы, получим

*лм')=Мт)=е-2Х'ті.

График этой функции показан на рис. 9.21, б. Поверхность Kx(t,t') = е~2ХМ> показана на рис. 9.21, в.

Случайная функция X(t) стационарна. Ее спектральная плотность равна X(t)

9.22. Случайный процесс X(t) возникает следующим образом. На оси Ot имеется стационарный пуассоновский поток событий с плотностью X (рис. 9.22). При наступлении каждого события случайная функция X(t) скачком ме- wa няет свое значение, принимая, не

—? зависимо от предыстории процесО

X(t') са, случайное значение V и сохраняя его до момента появления следующего события. Слу- —9— t чайная величина V непрерывна и !—! имеет плотность распределения ip(v). Найти характеристики mx(t), Dx{t) и Ks(t,t') случайной Рис. 9.22 функции X(t).

Решение. Любое сечение случайной функции X(t) распределено по закону ф (ж); отсюда оо оо

т

:(t) = mv= J ху(х) dx; Dx(t) = Dv= f (x - m v)\(x) dx. Корреляционную функцию Kx(t,t') находим с помощью того же приема, что и в задаче 9.21. Рассмотрим два сечения X{t) и X(t') (t' >t), разделенные интервалом т = t' — t.Имеем

Kx(t,t') = M[X(t)X(t')}.

Если между точками t, t7 не появилось ни одного события, то X(t') = X(t) и Kx(t,t') = U[(X(t))2] = Dx(t) = Dv. Если между

точками t, t' появилось хотя бы одно событие, то M[X{t) X{t;)] = 0. Отсюда

Кх (t, f') = e-^D v + [1 - е"Хт ] • 0 = D„е"Хт.

Аналогично npnt; < t Kx(t,t') = Dоткуда корреляци-онная функция стационарного случайного процесса X(t) равна

K,(T) = Dve~W.

Эта корреляционная функция не зависит от вида закона распределения ф(г;), а зависит только от его дисперсии Dv.

9.23. Случайный входной сигнал X{t) преобразуется с помощью реле в случайный выходной сигнал Y(t), связанный с X{t) нелинейной зависимостью Y(t) = sgn X(t), т. е. Входной сигнал представляет собой случайную функцию X(t), рассмотренную в предыдущей задаче 9.22. Найти закон распределения сечения случайной функции Y(t) и ее характеристики

МОРеШеНИе. Случайная функция Y(t) может принимать только два значения: +1 и —1 (значением 0 можно пренебречь, так как P(X(t) = 0) = 0). Вероятность того, что X(t) > 0, равна р =

оо

= J ф (х) dx. Ряд распределения случайной величины Y{t) имеет о

вид

Vi(t) -1 1 pit) 1 -p p

Отсюда ту = 2р - 1; Dy = 1 - (2р - I)2 = Ар (1 - р). Пусть

t' >t nt' — t = т. Если за время т в пуассоновском потоке не поя-вилось ни одного события (а вероятность этого равна е"Хт), то значения случайной функции Y(t) и Y(t') равны друг другу и ус-ловная корреляционная функция Ky(t,t') = Dy(t) = 4р (1 — р). Если же за время т появилось хотя бы одно событие, то и Y(t') между собой не коррелированы и условная корреляционная функция Ку (t,t') равна нулю. Отсюда при t' > t

Ky(t,t') = e~^4p (1-р),

а в общем случае (при любых t, t')

К у (t,t') = ky (т) = е-х"4р(1-р).

9.24. Случайный входной сигнал X(t), рассмотренный в задаче 9.22, преобразуется в случайный выходной сигнал Y(t) с помощью

реле с зоной нечувствительности:

= ПрИ

[О при |Х(0|где є — зона нечувствительности реле.

Требуется найти закон распределения сечения случайной функции Y(t) и ее характеристики: математическое ожидание и корреляционную функцию.

Решение. Случайная величина Y(t) при любом t может принимать одно из трех значений: —1, 0, 1 и имеет ряд распределения Vi(t) -1 0 1 Pit) Pi P2 Pz

где

—є

Pi =P(X(t) < -є) = fy(x)dx;

—оо

с

р2 =Р(-є оо

Рз = Р(X(t) > є) = f ф (х) dx.

Отсюда

т

Dy =Рі + л -(л -Pi)2Рассуждая аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче, определяем корреляционную функцию

ку(т) = е-^[рі+р3-(р3-рі)2}.

9.25. Случайная функция X(t) преобразуется в случайную функцию Y(t) с помощью нелинейного элемента, работа которого описывается формулами Y(t) =

—be при X(t) < —є, bX(t) при \X(t)\ є. График зависимости у(х) показан на рис. 9.25, а. F{y) 1

Р2

7

Pi

-be О

Ьє

б

Рис. 9.25

На вход такого элемента поступает случайная функция X(t), рассмотренная в задаче 9.22. Найти одномерный закон распределения случайной функции Y(t) и ее характеристики: математическое ожидание и корреляционную функцию.

Решение. Случайная величина Y(t) — сечение случайной функции Y(t) — имеет непрерывное распределение в открытом интервале (-be, be) и, кроме того, дискретные возможные значения -be и be с отличной от нуля вероятностью; таким образом, сечение Y(t) представляет собой смешанную случайную величину, функция распределения которой F(y) непрерывна на участке (—be, be), а на концах участка — в точках (-be) и (be) — терпит разрыв. Скачки F(y) в точках разрыва равны

— е

P(Y(t) = -U) = P(X(t)<-e) = f 4>(x)dx = p1,

-OO OO

P(Y(t) = be) = P(X(t)>e) = / 4>(x)dx = p2.

Найдем функцию распределения случайной величины Y(t) в промежутке (-be, be):

У_

F(y) = Р(Y(t) <у) = Р[Х(0 < = J4>(x)dx =

О

= рг + dx (-be < у < be).

График функции распределения F(y) показан на рис. 9.25, б. Плотность распределения смешанной случайной величины Y(t) в интервале (-be, be) равна производной от F(y) на этом интервале:

при-fe < у <Ье.

Характеристики случайной функции Y(t) равны

(0 = ту = -tePi +bep2 +І J yy\^dy =

—be

є

= be (p2 — px) + bj* x ер (x) dx\

—є

Dy(t) = Dy =а2[Г(і)]-[т,(0]2 = my =

= (be)2(p1+p2) + lfy^[l}dy-be m,

= Ь2є2(р1 + p2) + b2 J x2y(x)dx- Аналогично предыдущим задачам находим корреляционную функцию

(т) = ?>уе-х'т|.

9.26*. Рассматривается случайная функция Y(t) = Wcos х х (u; xt — в), где W — центрированная случайная величина с дисперсией Dw, 0 — случайная величина, распределенная с постоянной плотностью в интервале (0,2тт), аш1 - неслучайный параметр (шг >0). Случайные величины W и 0 независимы. Определить характеристики случайной функции математическое ожидание, корреляционную функцию. Определить, является ли случайная функция Y(t) стационарной и эргодической. Если она стацио-нарна, найти ее спектральную плотность Sу (и;).

Решение. Представим случайную функцию Y(t) в виде

Y(t) = H^cos (u;^ — 0) = W cos 0 cos(jj^t + W sin 0 sin

Обозначим

W cos 0 = U, W sin Q = V.

Найдем сначала основные характеристики системы случайных величин U и V:

М[U] = М[W cos 0] = М[W] M[cos 0] = 0; M[V] = М[W sin 0] = М[W] M[sin 0] = 0; ЩЩ = М[(W cos 0)2] = M[W2] M[cos2 0] = DwM[cos2 Є];

D[V] = M[(W sin 0)2] = DwM[sin2 0];

Kuv = M[W cos 0 W sin0] = ? JM[sin0cos 0].

Так как величина 0 распределена равномерно в интервале (0,2тт), то 1

cos2 0 —d6 = 2tt 2

M[sin2 0] = M[cos2 Oj = f

о

Итак, имеем w

uv

M[U] = M[V] = 0, D[U] = D\V} = ^, Kuv=0. Следовательно, выражение

Y(t) = W cos^J — Q) = U cos и;xt + V sin u I

ГЧ 2/ 1 \ / 1 \ / \ / 1 \ / 1 -2-K -ЗтК • /z! 0 4 1

1 /Зтг 2-k wi 2их 2wi Wi -7Г -к Wl Wl Рис. 9.26

представляет собой спектральное разложение стационарной случайной функции, корреляционная функция которой имеет вид

ку (т) = ^^-cos ujjT, а тПу =0.

График этой функции показан на рис. 9.26.

Функция Y(t) эргодичной не является, так как характеристики, найденные по одной реализации, не совпадают с характеристиками, определенными по множеству реализации. Действительно, каждая реализация случайной функции Y(t) есть гармоническое колебание, амплитуда которого представляет собой значение, случайно принятое величиной W. Среднее по времени для каждой такой реализации будет равно нулю и совпадает с математическим ожиданием случайной функции Y(t), но дисперсия и корреляционная функция, найденные как средние по времени для одной реализации, уже не будут совпадать с соответствующими характеристиками случайной функции Y(t). Например,

і т

lim — Г Y2(t) dt = Т—>оо 2Т J

т

= lim — ГW2-[l + cos 2(4,* -Q)]dt = -W2. t^oo2Tj 2 2

-T

Найдем спектральную плотность случайной функции Y(t). Покажем, что она пропорциональна дельта-функции:

Sy(= (ш - cjj) (0< ш < оо).

Действительно, при такой спектральной плотности корреляционная функция будет равна

Г °г D D

Sy (m)cos (JJT duj = І ——8 (и) — LJ 2 ) COSLJT duj = ——COS UJjT,

„ 2 2

о 0

что совпадает с корреляционной функцией для Y(t). А так как прямое и обратное преобразования Фурье определяют спектральную плотность и корреляционную функцию взаимно однозначно, то написанное выше выражение для Sy (ш) дает спектральную плотность случайной функции Y(t).

Если воспользоваться не действительной, а комплексной формой преобразований Фурье, получим спектральную плотность 5* (и) в виде

5* (ш) = ^[8(ш + uJ + 8 (u - uj] (-00 < и < оо).

Заметим, что в аналогичном виде можно было бы записать и

но для положительных и (так как > 0) б (и + и^) = 0.

9.27. Случайная функция X(t) представляет собой случайную величину U: X(t) = U с заданными числовыми характеристиками

ти> Винайти характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию. Определить, является ли случайная функция X(t) а) стационарной, б) эргодичной. Если она стационарна, найти ее спектральную плотность.

Решение.

mx(t) = M[X(t)} = M[U} = mu-,

Kx(t,t') = M[X(t) X(t')) = M[UU] = Du ; Dx(t) = Kx(t,t) = Du.

Так как mx(t) = const и К x (t, t') = const, то случайная функция X(t) стационарна. Так как среднее по времени для каждой реализации равно значению, принятому случайной величиной U в этой реализации, и различно для разных реализаций, то случайная функция X(t) неэргодична.

Рассматривая случайную функцию X(t) как частный вид при Wj = 0 случайной функции Y(t) = U cos uxt + V sinu^, приведенной в предыдущей задаче, получим для нее спектральную плотность вида

= Du б (и); S» = 25:(ы) = 2Dub (u).

9.28. Случайная функция X(t) строится следующим образом. В точке t = 0 она случайным образом и с одинаковой вероятностью принимает одно из значений: +1 или -1 и остается постоянной до t= 1. В точке t= 1 она снова, с одинаковой вероятностью 1/2 и независимо от того, какое значение она имела на предыдущем участке, принимает одно из значений +1 или -1 и сохраняет его до следующей целочисленной точки t = 2, и т. д. Вообще функция X(t) постоянна на любом участке от п до п + 1, где п — натуральное число, а на границе каждого нового участка независимо от предыдущих принимает одно из значений +1 или -1с вероятностью 1/2. Одна из возможных реализаций случайной функции

X(t) показана на рис. 9.28, а. Требуется определить характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию. Определить, является ли случайная функция X(t) стационарной.

Решение. Имеем

mx(t) = mx=(-1).1 + 1-1 = 0;

Найдем корреляционную функциюKx(t,t').

Если точки t и t' относятся к одному и тому же интервалу (тг, п + 1), где п — целое, то Kx(t,t') = Dx = 1, в противном случае Kx(t, t') = 0. Этот результат можно записать в более компактной форме, если обозначить через b(t) целую часть числа t (см. рис. 9.28, а). Тогда получаем

^ Jl при |т|<1-Цтіп{М'}),

[0 при |т|>1-Ь(тіп{М;}).

Эта функция зависит не только от т = t' — t, но также и от того, где на оси Ot находится участок (t, t'); следовательно, случайная функция X(t) стационарной не является.

Поверхность Kx(t,t') выглядит как ряд кубов с ребром, равным 1, поставленных на плоскости tOt' вдоль биссектрисы первого координатного угла, на которой t = ?так что диагонали оснований совпадают с биссектрисой (рис. 9.28, б).

9.29. Случайная функция X(t) формируется так же, как и в предыдущей задаче, с той разницей, что точки, в которых происходит «розыгрыш» нового значения случайной функции, не закреплены на оси 0а занимают на ней случайное положение, сохраняя между собой постоянное расстояние, равное единице (рис. 9.29, а). Все положения начала отсчета относительно последовательности моментов «розыгрыша» одинаково вероятны. ; \ -1 0 1 т

Рис. 9.29

Найти характеристики случайной функции X(t) — математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию; определить, является ли случайная функция X(t) стационарной.

Решение. Как и в предыдущем случае,

771 * (О = тх =°; Dx(t) = Dx = і.

Найдем корреляционную функцию. Зафиксируем момент t (рис. 9.29, а). Этот момент случаен относительно точек, в которых случайная функция X(t) принимает новые значения. Обозначим Г промежуток времени, отделяющий точку t от ближайшей точки, в которой будет «разыгрываться» новое значение X(t). Случайная величина Т будет распределена равномерно на участке от 0 до 1. Пусть t' >t\ т = t' - t > 0. Если т < Т, то Kx(t,t') = 1; если т > Г, то Кх (t, t') = 0. Поэтому

кх(г^') = Р(т>т)-1 + Р(т<т).о = — Р(Т > т) = 1 — т при 0 < т < 1.

Аналогично при т < 0 получим

Kx(t,t') = 1 + т при — 1 < т < 0;

отсюда

Kx(t,t') = kx(r) =

1 - I Т I при I Т I < 1

(9.29) 0 при І т I > 1

График этой функции представлен на рис. 9.29, б. Так как Кх (t, t') = kx (т), то случайная функция X(t) стационарна.

Корреляционную функцию (9.29) можно записать в более компактном виде с помощью единичной функции 1(х):

Мт) = (1-М)1(1-М).

9.30. Условия предыдущей задачи изменены в том отношении, что в каждый из случайных моментов t{, разделенных единичными интервалами, случайная функция X(t) принимает (независимо от других) значение Uit являющееся случайной величиной с математическим ожиданием ти и дисX(t) ^ ( Персией Du, и сохраняет его до

• | t следующей точки. Одна из реали| | | ; зации такой случайной функции

^ ? 0 0 J 1 показана на рис. 9.30. Найти ха ' 1 рактеристики этой случайной

функции: математическое ожида- Рис. 9.30 ние^ дИСперсию и корреляцион

ную функцию и определить, является ли случайная функция стационарной, а если стационарна, то какова ее спектральная плотность.

Решение. Рассуждая точно так же, как и в предыдущей задаче, найдем

тх (t) = М[ВД] = т и ; Dx{t) = D[X(i)] = Du ; Du{ 1-|т|) при |т|<1, 0 при |т|>1,

или, в другой записи,

кх(т) = DU (1-|т|)1(1-|т|),

где i(x) — единичная функция.

Случайная функция X(t) стационарна. Ее спектральная плотность

= 1-С08Ы).

TV (jJ

9.31. Случайная функция X(t) представляет собой ступенчатую знакопеременную функцию (рис. 9.31, а)у которая через еди- і JL j 1 j JL j t , , L- r і і і і і і t 0 1 2 3 4 5 6 tt + T

т lГ I I I I

- I I I J I L_

0 -1+

Ш A lJ і /1 \ і / \ 1 / 1 \ 1 -3/-2 \-yo V/ 2 V V V^ в

Рис. 9.31

ничные интервалы принимает попеременно значения: +1 и — 1. Положение ступенчатой функции относительно начала отсчета случайно; случайная величина Т, характеризующая сдвиг первой точки перемены знака относительно начала координат, есть случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 1).

Найти характеристики случайной функции X: математическое ожидание тх, дисперсию Dx и корреляционную функцию.

Решение. Рассмотрим сечение случайной функции X(t); оно с равной вероятностью может попасть как на участок, где случайная функция равна единице, так и на участок, где она равна минус единице.

Следовательно, ряд распределения любого сечения имеет вид Xi -1 1 1 1 Pi 2 2

откуда 77V

-1.1 + 1.1 = 0, Ря=(-1)2.і + 12.і = 1. 2 2 Л

2 2

Найдем корреляционную функцию

Kx(t, t + т) = M[X(t) X(t + т)] = M[X(0 X(t + т)].

Так как произведение может принимать только два значения + 1 или —1, то

М[Х(*) X(t + т)] = 1. Pl + (-1) • (1 - Pl) = 2Pl - 1,

где pt — вероятность того, что точки t и t + т попадут на участки, в которых X(t) и X(t + т) имеют один и тот же знак. В силу равномерности распределения сдвига Тна рис. 9.31, а можно перенести начало отсчета в левый конец того участка, на котором находится точка t, и считать, что точка t равномерно распределена в интервале (0, 1) (рис. 9.31, б). При таком толковании рх есть вероятность того, что точка (t + т) попадает в какой-либо из интервалов вида(2п, 2n + 1),

п = 0, ± 1, ± 2,... (эти интервалы отмечены жирными линиями на рис. 9.31, б). Подсчитаем эту вероятность для разных значений т. При 0 < т < 1 точка (t + т) может попасть либо в интервал (0, 1), либо в интервал (1,2), поэтому

рх = Р (t + т < 1) = Р (t < 1 - т) = 1 - т.

При 1 < т < 2 точкам + т может попасть либо в интервал (1,2), либо в интервал (2, 3), поэтому

Pl = Р (t + т > 2) = Р (t > 2 - т) = 1 - (2 - т) = т - 1.

Продолжая эти рассуждения, получим

[1-(т-2 п) при 2п<т<2п + 1, Pl {(т - 2п) - 1 при 2n + 1 < т < 2п + 2.

Отсюда видно, что pv а значит и Кх (?, t + т) = 2рх — 1, зависит только от т и является четной функцией т. Следовательно, Kx(t,t + T) = kx(r) =

4n + 1 - 2т при 2п < т < 2n + 1, 2т - (4п + 3) при 2n + 1 < т < 2п + 2. График корреляционной функции представлен на рис. 9.31, в. 9.32. Случайная функция X(t) представляет собой последова-тельность равноотстоящих положительных импульсов, имеющих

одинаковую ширину ^ < -. Начало каждого импульса отделено от

начала каждого следующего единичным интервалом (рис. 9.32, а). Последовательность импульсов занимает относительно оси Ы случайное положение (см. условия предыдущей задачи). Величина г-го импульса С/- случайна, распределена по одному и тому же закону с математическим ожиданием ти и дисперсией Du и не зависит от величин остальных импульсов. Найти характеристики случайной функции X(t)\ математическое ожидание mx(t), дис-персию Dx (t) и корреляционную функцию.

Решение. Математическое ожидание случайной функции X(t) по формуле полного математического ожидания равно

771 х = ти1 + 0 • {I ~ l) = irnи •

Дисперсию найдем через второй начальный момент:

а2[Х(*)] = а2[С/Ь + 0-(1-Т) = чфц +

откуда

Dx = *2[X(t)}-m2x=1(Du + 4 (1 - т2и .

В данном случае случайная функция X(t) нецентрирована. Ее корреляционную функцию будем искать через второй смешанный начальный момент:

Kx(t,t + T) = M[X(t) X(t + Т)} - ml

Найдем M[X(?) X(t + т)] по формуле полного математического ожидания. Как и в предыдущей задаче, представим ось О1 покрытой перемежающимися участками: зачерненные соответствуют импульсам, а светлые — промежуткам между ними. Обозначим Т — случайное значение левой границы участка (Г, Г + т). Возможны три гипотезы:

Нх — обе точки Т и Т + т попали на участок одного и того же импульса;

#2 — одна из точек Г, Г + т попала на участок одного из импульсов, а другая — другого;

#з — хотя бы одна из точек Т, Т + т попала вне участков каких-либо импульсов.

X(t) F і k F і 2 1 1 і

Рис. 9.32

При первой гипотезе величины Х( Т) и Х(Т + т) совпадают и M[X(T)X(T+r)) = M[U2) = Du + тп2и.

При второй гипотезе величины Х(Т) и Х(Т + т) представляют собой независимые случайные величины с одинаковыми матема-тическими ожиданиями гаи; по теореме умножения математиче-ских ожиданий М[Х(Т) Х(Т + т)] = тп 2 .

При третьей гипотезе

М[Х(Т)Х(Т+т)] = 0. Полное математическое ожидание будет

M[*(i) X(t + т)] - Р (Ях)(Du + m I) + Р (Я2) m2.

Вероятности P(#j) и Р(Я2), а значит, и корреляционная функция зависят только от т.

при 0 < т < ч

Р(Я1) = Т-т, Р(#2) = 0; М[*(ОХ(« + т)] = (ч-т)(Д, + m2). Корреляционная функция на этом интервале

K(T) = b-r)(Du +т2)-ч2т2;

при ч < т < 1 — ^

Р(Я1) = 0; Р(Я2) = 0; М[ВД + т)] = 0;

К(т) = °- i2ml =-i2™>l',

при 1 - ч < т < 1

P(^) = 0; Р (Я2) = ч-(1-т); M[X(t)X(t + T)] = [1-(l-T)]ml.

К(т) = Ь - 1 + T)ml -12™<1 =(ш-1 + т -12)т2.

Дальнейшие интервалы значений т исследуются аналогичным образом.

График функции кх(т) представлен на рис. 9.32, б. При |т|> кривая кх(т) периодически повторяется, достигая в целых точках местных максимумов, равных ^ (1 — 2 .

9.33*. Рассматривается стационарная случайная функция X(t), представляющая собой пилообразное напряжение (рис. 9.33, а). Начало отсчета занимает по отношению к зубцам случайное положение, как в задаче 9.31. Найти математическое ожидание гпх, дисперсию Dx и корреляционную функцию.

Решение. Математическое ожидание тх легко найти, если учесть, что распределение X(t) при любом t — равномерное на интервале (0, 1). Отсюда тх =

Для отыскания корреляционной функции поступим следующим образом: свяжем последовательность зубцов жестко с осью Оно зато будем случайным образом бросать на эту ось начало t отрезка (t, t + т) (рис. 9.33, б). Так как зубцы периодичны, доста-точно случайным образом бросить точку t на первый интервал (О, 1), распределяя ее с постоянной плотностью.

О t 1 t + т2

Рис. 9.33

При этом, как видно из рис. 9.33, б, значение X(t) = t, а значение X(t + т) равно дробной части числа ? + т, т.е.

X(t + т) = * + T-E(t + т),

где E(t + т) — целая часть числа (t + т). Если целая часть числа т равна n, п < т < п + 1, то

E(t + т) =

n при t + т < п + 1, п + 1 при t + т > п + 1, и, значит,

X(t + т):

t + т - п при t <п + 1 - т,

? + Т — (n + 1) При ? > 71 + 1 — Т. По формуле для математического ожидания функции от случайной величины t имеем при п < т < п + 1:

і

M[X{t) X(t + т)] = f X{t) X{t + T)-l-dt =

о

n +1-т 1

= J t(t + T-n)dt+ J t (t + t - n - l)dt =

О n +1-T

\ 2

Отсюда следует, что корреляционная функция зависит только от т и при п < т < n Н- 1 (тг = 0, ± 1, ± 2, ...) имеет вид

Кх (t, t + r) = kx (т) = M[X(i) X(t + т)] - т2х =

\ 2

_5_ 12'

(п + 1 - ту [ т — ті

Это периодическая функция с периодом 1, график которой состоит из периодически повторяющихся отрезков парабол, обращенных выпуклостью вниз.

В интервале 0 < т < 1 это парабола

мт)=<ы>1 + 1-а

2 2 12 I -JL

12' 24,

. Полагая т = 0, получим Dx = kx (0) =

с вершинои в точке ~~ 12'

9.34. Рассматриваются две некоррелированные центрированные случайные функции X(t), Y(t) и их произведение Z(t) = X(t) Y(t). Доказать, что корреляционная функция произведения равна произведению корреляционных функций сомножителей:

Kz(t,t') = Kx(t,t')Kv(t,t').

Решение. Kz(t,t') = M[Z(t) Z(t')}; Z{t) = Z (t) - mz(t). Так

как случайные функции X(t) и Y(t) некоррелированны и центрировании, то

mz{t) = mx(t)my{t) = 0-,

отсюда

Z(t) = X(t)Y(t) = X(t)Y(t)

и

Kz(t,t') = M[X(t)Y(t)X(t')Y(t')} = = М[І(0 X(t')] М[7(0 Y(t ')] = Kx(t,t')Ky(t,t').

Отсюда, в частности, при t — t'

Dz(t) = Dx(t)Dy(t).

9.35. Доказать, что корреляционная функция произведения п независимых центрированных случайных функций

п

i= і

равна произведению корреляционных функций сомножителей

п

Kz(t,t') = Y[KXi(t,t').

і =1

Решение. Доказательство аналогично предыдущему, с той разницей, что для применения теоремы умножения математических ожиданий в этом случае недостаточно некоррелированности сомножителей, а независимости — достаточно.

9.36. Рассматривается произведение двух некоррелированных случайных функций

Z(t) = X(t)Y(t),

причем случайная функция X(t) такая, как в задаче 9.21 (случайное чередование значений +1 и -1 с простейшим потоком перемен знаков), а случайная функция Y(t) — такая, как в задаче 9.26. Найти характеристики случайной функции Z(t).

X(t)

1

t

Y(t) |-1

t

Z(t)=X(t)Y(t])

Рис. 9.36

Решение. Имеем:

m,(t) = my(t) = 0; mz(t) = 0; = e-2X'T'; Ky(t,t') = ^cosier (r = t'-t).

z

На основании задачи 9.34 имеем

Kz(t,t') = Kx(t,t') Ку (*,*') = ^-е-2Х|т| cos Шіт.

На рис. 9.36 показана одна из возможных реализаций случайной функции Z(t), полученная перемножением соответствующих ординат реализации случайных функций X(t) и Y(t).

9.37. На телефонную станцию поступает простейший поток заявок с плотностью X. Случайная функция X{t) — число заявок, поступившее за время t (см. задачу 9.20). Найти характеристики ее dX(t)

производной Y(t) = —.

dt

Решение. В обычном смысле разрывная случайная функция X(t) недифференцируема, однако, пользуясь обобщенной дельта-функцией, можно записать характеристики производной. Преобразование Y(t) = \ связывающее случайную функцию Y(t) dt

с X(t), является линейным однородным. Поэтому на основе задачи 9.20

к(t,t/) = -^кx(t,t/) =—{^\\t^(t,-t) + \t,^(t-t,)] уК ' dtdt' к ' dt J

[at'

но (t - t')b (t - t;) = 0, откуда

Ky (t, t')~ i(t —tfy) = \b (t —t') = \b (t).

Таким образом, корреляционная функция случайной функции Y(t) пропорциональна дельта-функции, т.е. функция Y(t) представляет собой стационарный белый шум с интенсивностью G = X и средним уровнем т = X. Спектральная плотность такого белого шума будет

і 00 \ S*(u) = -L Г X б (т) e~l WTd т = —.

2-rcJ 2 -к

—оо

9.38*. Имеется функция кх (т), обладающая следующими свой-ствами:

М-т) = Мт);

К (0) > 0;

|*Лт)|<*,(0).

Требуется выяснить, может ли функция кх(т) быть корреляционной функцией стационарной случайной функции, т.е. обладает ли она свойством положительной определенности. Показать, что достаточным условием положительной определенности является условие, чтобы функция

2 °г

Sx(u) = - кх (т) cos u;t (h (9.38а)

тг J

о

была неотрицательна при любом значении и;:

Sx( и)>0, (9.386)

т.е. чтобы, вычисляя спектральную плотность по формуле 9.38а, мы ни при каких и; не получали отрицательных значений этой плотности.

Решение. Предположим, что Sx (u;) > 0, и докажем, что при этом функция kx(T) — kx(t' — t) будет положительно определенной. Имеем

00

кх(т) = JSx(UJ)Cos ит (ко =

о

00 00 = JSx(bj) cos bit cos uot' (ко + J* Sx(u) sinut sin ut'do. (9.38b)

о 0

Положительная определенность функции kx(t' — t) состоит в том, что для любой функции y(t) и любой области интегрирования В должно выполняться условие

J Jkx(t' -t)4>(t)ip(t')dt dt'> 0.

(В)(В)

Проверим это неравенство по отношению к функции (9.38в):

00

J J ¦ J Sx((B)(B) 0 oo

dt dt' =

+J Sx(bj) sin bit sin bjt'ip (t) LP (t')dbJ оо

JSx(u} J cos ut ф (t) dt J cos и t' у (t')dt' +

0 [(b) (?)

+ J* sin ujt у (t) dt J sin utf у (t') dt'

сім.

(В) (В)

Обозначая

У cos ф (?) dt = uj), sin ф (?) dt = u), (5)

(B) имеем / kx(t — t') у (t) у (tf) dt dtf =

(B)(B)

oo

/5S(U>) {[-Фг(5, ш)]2 + oj)]2} 0,

так как по условию (и) > 0.

Можно доказать, что условие (9.386) является не только доста-точным, но и необходимым для того, чтобы корреляционная функция была положительно определенной.

9.39. Имеется стационарная случайная функция с характери-стиками

mx(t) = mx] Kx(t,t') = kx(T), где т =*'-*.

Найти характеристики ее производной Y(t) = — X(t) и покаdt

зать, что она также стационарна.

Решение. Так как Y(t) связана с X(t) линейным однородным преобразованием, то

d

my(t) = —тх (t) = 0 = const; dt

K(t,t')^-^—Kx(t,t') = -^~kx( т) = — y dtdt' dt dt' xK dt

dt' d_ dt

JtK{T)If Но —- — їй — = —1, поэтому dt dt -Г кЛг)

a t

K,(t,t') =

drrz dt

dt Так как правая часть равенства зависит только от т, то

Ky(t,t') = ky(r) = -^kx(r), dr

и случайная функция Y(t) стационарна.

9.40. Стационарная случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию кх (т). Случайная функция Y(t) получается из нее

дифференцированием: Y(t) = —^. Найти корреляционную

dt

функцию ку (т), если:

а)кх(т) = е-^; б) кх(г) = е_а'т'(1 + а |т|); в) К (т) = е~а'т'

(а >0).

а

cos (Зт Ч- — sin (3 | т I Решение. При решении задачи будем применять аппарат обобщенных функций, правила пользования которым приведены в начале данной главы.

а) к (т) = -—е-*1т1 dlTl

уК dr2

dr

d2 It

-а e

dr

-а|т|

+ ¦

d\Tj2

а

-а е

dr

rfrs

= ае~а'т' [26 (т) — a (sgnr)2] Наличие слагаемого 26 (т) показывает, что в составе случайной функции Y(t) есть белый шум.

-а|т|

б)

d2

К (т) = (1 + а|т|)] = А.

dr

dr

-ае-|Т|1М(1 + а|т|) + а^Ме-«!Т|

dr dr

е ' — а е 1 'т

= A[e-alTlSgnT-|T|] = a2— [е"а|т|т]: ' dr

„ 2-а І -г І (-І

— а е 1 1 'і —

= а

(1 — а |т |).

dr і ті

В)

Оі

і,

cos 8 т H sin 81 т І

(З d_ ' dr

¦ |т|

a

+

—а є

cos (3 T 4 sin (З І т

dT

(3 -a|T|

,d\r\)

+e

— (3 sin (3 т + a cos (31 т

dr „ 2 . o2

-o|T| a + [3

A.

dT

— sin (3 T e

a2+(32

Э

d It

-a |т I

^t

(3 cos (Зт e a 'T' — a sin (3 T e 2ч -а|т|

= (a2+p2)e

cos (Зт — — sin (З І т (3 9.41. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции с корреляционной функцией:

ку (т) = ae-a'T' [2 8 (т) — a (sgnT)2].

Решение.

- оо оо

S*y(u) = — f ку(т)е~іизт d\r\ = — J a е"а>т| 28(т) шт d т 1 00

__L Г а2 (sgn т)2 е~а'т'е_і шт d т.

Так как и подынтегральная функция второго интеграла в точке т = 0 не имеет особенностей, во втором интеграле можно пренебречь точкой т = 0. Получим 2а

а о; -к а2 Н- а;2 а2 + а;2

График спектральной плотности представлен на рис. 9.41. Спектральную плотность S* (и) можно было получить проще следующими рассуждениями. Представим случайную функцию Y(t) как производную случайной функции X(t) из задачи 9.40 (пункт а). Имеем kx( T) = e

ч 1 a

w

і і3 'к a + иг

амплитудно-частотная характеристика оператора дифференцирования равна Ф (г и) = = г и, следовательно, S>) a -к 0 Рис. 9.41

1 a

-к a2 + w2

, . |2 a ш'

U w = —

тт a2 + UJ2 9.42. Спектральная плотность стационарной случайной функ-ции X(t) на участке от —оох до +оо1 постоянна, а вне его равна нулю, т.е. имеет вид, показанный на рис. 9.42 а: 2a siniOiT

-00

Ш! Рис. 9.42

а при | uj |< cjJ1 , 0 при |оо|>оо1

или, в другой записи, 00

s;(u) = a-l оо

і у Найти корреляционную функцию кх(т) случайной функции

т.

2a sin (jOjT

ОО

J* S*(u) ег ШТсіо =2а J cos оот сіо =

Dx=kx(0) = 2au1. График корреляционной функции показан на рис. 9.42, б.

Решение.

Показать, что не существует никакой стационарной случайной функции X(t)y корреляционная функция которой кх (т) по-стоянна в каком-то интервале (—тг, тг) и равна нулю вне его.

Решение. Предположим противное, т. е. что существует случайная функция X(t), для которой корреляционная функция рав- наб ^ Опри |т |< тг и равна 0 при |т |> тг.

Попробуем найти спектральную плотность случайной функции X(t):

(u) = ~ f К (т) cos шт dr =— tb cos ит dr = — UTi ^

tv ^ tv ** tv (jj

о 0

Из этого выражения видно, что функция Sx (и) для некоторых значений и отрицательна, что противоречит свойствам спектральной плотности, и следовательно, корреляционной функции указанного выше вида существовать не может.

Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, у которой корреляционная функция задана выражением

kx(r) = Dxe-^\

Решение. Имеем

оо Л 00

5*(u) = -L ГDx е~1 штйт = — Г

2tv j 2TV J

—oo —oo

Пользуясь известной формулой

oo і— AC-В2

Je-A*>±2B*-Cdx = Ы e—r~ (A > 0)

—OO

и имея в виду, что г2 = — 1, получим

2 2

2tv vx2 2Х vtv

График этой функции подобен кривой нормального закона.

Показать, что взаимная корреляционная функция Rху (t, t2 стационарной случайной функции X(t) и ее производной

Y(t) = —X(t)удовлетворяет условию dt

Rv(t,t') = -Rv{t',t), т. е. при перемене местами аргументов меняет знак. 306

Решение. ПустьKx(t, t') = А;гг(т),гдет = tf — t.

X(t)X(t')

dt'

Я_(М') = М

dt' dt'

Ho T = t' — t, следовательно,

С другой стороны,

Rxy(t',t) = ^-Kx(t,t') = ±kx( т)|1 = at drr at

= -^kx(r) = -Rxy(t,t'),

что и требовалось доказать.

9.46*. Определить, обладает ли функция -а|т|

кх( т) = е

(а > 0, (3 > 0)

ch (Зт + ^ sh (31 т | свойствами корреляционной функции.

Решение. Нужно проверить выполнение следующих свойств:

1)М0) >0; 2) кх(—т) — кх(т); 3) |А,(т)|< кх(0); 4) S» =

1

= У *х(т)в"итс*г>0при любом (Jj.

2тг

-оо

Свойства 1) и 2) очевидны. Проверим остальные. 3) Так как функция кх(т) четная, достаточно исследовать ее при т > 0: 1е-(о-3)т fc+l] _ lg-(a+0)T а 2 2 J і

Так как кх (0) = 1, нужно, чтобы это выражение по модулю не превосходило единицы. Можно доказать, что при а < (3 это условие не выполняется, так как при т —> оо выражение будет неограниченно возрастать. В случае а = (3 кх(т) = 1; при а > (3 кх(т)<1. Таким образом, свойство 3) выполняется только при а > (3. 00 1 Г і00

2тт J 2тт { |3 )<і Ioo

-Re

+

(3+a _ + _ (3 —a

2-k(3

л 2 о 2

a — p 2tt(3

л 2 o2

a — p

a — (З+ги a + (3+zu; 1

1

(a_P)2+u2 (a + p)2+u2

2a

>0

* [(a — (3)2 + u>2][(a + (3)2 + a;2]

при a > (3 (Re — действительная часть). При a = (3 имеем ?* (и) = 6 (и). при

Таким образом, функция кх(т) = е a|T' ch (Зт + ^ sh (3|т a > (3 обладает всеми свойствами корреляционной функции. Графики кх (т) и S * (и) при a > (3 показаны на рис. 9.46, а и б. 2a ії(а-P2)/ 0 • 0J

Рис. 9.46

9.47. Случайная функция X(t) имеет корреляционную функцию ch (Зт + ^-sh (3 | т |

-а|т|

кх( т) = е

(а > (3 > 0). Случайная функция Y(t) = —X(t). Найти ее корреляционную функцию ку (т) и спек- dt

тральную плотность S * (и).

Решение. При нахождении ку (т) применяем свойства 3, 4 и 9 обобщенных функций (см. с. 270):

_е-«ма?ІІІх

dr d |t П

Ik

-а |т|

ch (Зт + — sh (З І т

+ e

(3 sh [Зт + a ch (3 |т л 2 о 2

a — p

«2 ~ 2

P "a e~a|T| sh Pt

(3

d_ dv

-ae"a'T' sh(3T^ + dr +pe~a|T|ch Pt

= (a2 -p2)e"Q|T|

ch Рт — — sh PІ т p 1 „ 2 o2

a — p

2 2аш2 TV [(a-p)2+u;2][(a + (3)2+u;2]

Так как предел limkv (т) существует (он равен к (0) = a2 — (З2),

т—>0 у у

то случайная функция X(t) дифференцируема.

9.48. Случайная функция X(t) с характеристиками mx(t) = = t2 + ZuKx(t,t') = btt' подвергается линейному преобразованию вида

t

Y(t) = J тХ(т) dr + . о

Определить характеристики случайной функции Y(t): my(t) и Ky(t,t>).

1 14 о

Решение, гау (г) = JT(T2+3)DT + t3=- + -t2+t3.

о 4 2

Однородная часть рассматриваемого линейного преобразова-ния будет {X(t)} = J* тХ(т) dr. Следовательно, 9

t t' t f t' Ky (t,t') = JdT JTT; KX(T,T/)DT/=5FTT JT'T^T' 0 0 о 0

9.49. Случайная функция X(t) с характеристиками mx(t) = 0; Kx(t,t') подвергается линейному неоднородному преобразованию:

у(0 = і№(0} + ф(0,

гдеф (t) — неслучайная функция. Найти взаимную корреляционную функцию (М')- Решение. Имеем

X = X(ty, Y(t) = L[V{X(t)},

так как при центрировании случайной функции Y(t) неслучайное слагаемое cp (t) уничтожается.

Отсюда

R:„ (t,t>) = M[X(t) Y{t')] = M[X(t) L {X'(t')}] = = L[VM[X(t)X(t')} = L^Kx(t,t').

9.50. Случайная функция X(t), имеющая характеристики mx (t) = 0 и Kx (t, t7) = 3e~(t+t \ подвергается линейному преобразованию вида

Y(t) = -t + Г ті(т) dr + sin ui. df J

Найти корреляционный момент случайных величин Х(0) и У(1) (т.е. двух сечений случайных функций: X(t) при t — 0 и ') при ?7 = 1).

Решение. На основании решения предыдущей задачи Rxy(t,t') = L^{Kx(t,t')},

где — однородная часть линейного преобразования, примененная по аргументу ?В нашем случае

R (М'Н- +зГ т'е^+Л*^

^ at7 J

о

= /e"(t+t,) + Зе~* [е"*'(-4' - 1) + 1] = Зе~* (1 - е-4'). Полагая t = 0; ?7 = 1, получаем Г(1) — Rxy 1

^ко), г(п = к (°> і)=3 а -)« w

9.51. В различных технических задачах, относящихся к стационарным случайным процессам, часто пользуются в виде характеристики так называемым «временем корреляции»

оо

Тк =/ |р(т)Мт> 0

где р(т) — нормированная корреляционная функция случайного процесса.

На рис. 9.51, а время корреляции геометрически интерпретируется заштрихованной площадью.

Найти время корреляции тк для стационарного случайного процесса с нормированной корреляционной функцией вида 1 — а |т|

, 1 1

при при т &

т?| ;р(т) =

а а

1. Г

а ' а, где а > 0.

Решение. Изобразим на рис. 9.51, б график зависимости р (т).

Величина тк численно равна заштрихованной на рис. 9.51, б пло1 1 1 щади: тк = -.- = _.

2 а 2а

Рис. 9.51

9.52. Найти время корреляции тк для стационарной случайной функции X(t), нормированная корреляционная функция которой имеет вид

р(т) = е-а|т| (а >0). Как будет вести себя время корреляции при а —> 0 и а —> оо? ~aTdr = -. а

Решение. тк= Jе При а —> 0 случайная функция вырождается в случайную ве-личину и ее время корреляции тк —> оо. При а —> оо случайная функция превращается в стационарный белый шум, а тк —> 0.

9.53. Найти время корреляции для стационарной случайной функции X(t) с нормированной корреляционной функцией вида

р(т) = е"(ат)2.

л/тт

Ответ. Tv =¦

9.54. В радиотехнике в качестве характеристики случайного процесса иногда пользуются величиной А/э — «энергетической шириной спектра» стационарной случайной функции: Dr

1

і 00 ^max^'o

5max271 5max где Smax — максимальное значение спектральной плотности, достигаемое в точке ы max: S тах = S (ы тах); smax = Найти энергетиX

ческую ширину спектра стационарной случайной функции, нормированная корреляционная функция которой имеет вид J_J_

а ' а а ' а

1 — а |т| О

при т Є при т g

Р,(т) =

где а > 0.

Решение. Нормированная спектральная плотность случайной функции X(t) имеет вид 0:

Эта функция достигает своего максимума при w = u; г

Sz(um) + S max =—.

тга

Имеем а

, 2тг

Д/э=- 9.55. Показать, что для стационарной случайной функции с нормированной корреляционной функцией -а|т|

Р(Т): независимо от значения а, произведение ткД/э |)авно 1/4.

Решение. Из задачи 9.52 имеем тк=—. Нормированная

а

спектральная плотность равна 312

( \ 2а

tv (а 4- оо2) 2

—,откуда Tva

д . 1 Tva 1

ткДД = =

к э a 2 • 2tv 4

9.56 . Показать, что для любой стационарной случайной функции X(t), корреляционная функция которой неотрицательна (К(т) ^ 0)» произведение времени корреляции тк на энергетическую ширину спектра Д/э равно 1/4.

Решение. В данном случае Рд.(т) > 0,поэтому

тк =/ |р Лт)Ит = / рЛтНт.

Нормированная спектральная плотность выражается через р^т) интегралом

2 °°

««(") = - Г рлт)с°8штсгт.

тг

Полагая в этой формуле и = 0, имеем

2 °г , ч , 2

«,(0) = - f Рх(т)^т = -тк- тс ^ тс

о

Покажем, что если ра:(т) > 0, то максимум спектральной плотности достигается в точке cj = 0:

Это непосредственно вытекает из оценки интеграла:

2 г 2 г

= - / Px(T)cos urdT<- px(r)'ldr = sx(0).

тс ^ tv ^

о о

Таким образом, при р^. (т) > 0

2 11 5шах =5Л°) = -Тк; Д/э=* 5шах -2* 4ТН

откуда

ткД/э=±. 4

9.57. На вход колебательного звена системы автоматического регулирования, передаточная функция которой имеет вид

к

Ф (р) =

(t>0),

Тр2 +Ір + к подается белый шум, спектральная плотность которого равна Sl(u) = N. Определить дисперсию выходного сигнала^. Решение.

5;и = 5;иіфмі2 = . nk

откуда

\T{juf + U" + k\2 Nk (Li -nkN

оо

".-ІT(ju>)2 + tju + k І2 І

Заметим, что дисперсия выходного сигнала не зависит от постоянной времени колебательного звена Т, а зависит лишь от коэффициента усиления к, коэффициента демпфирования ? и мощности сигнала N.

9.58. Передаточная функция системы, на которую подается сигнал X(t), имеет вид

1 + Тгр

Ф (р) = .

?УУ + Р + к' где к = 25

; Тг =0,05 [с]. Спектральная плотность входного сигнала

* 2ТЬ„

1 + oj2T2 град'

где Т= 1 [с], бд. = 4 Требуется найти дисперсию выходного сигнала. Решение. = 26.

-Т2 (ju)2 +1

| ТТг О'и)3 + {Т+Тг) O'u)2 + (1 + кТ) jb) + к\2 D =Ts*ndu = ±°r ЬоУчУ+ЬУчГ+Ь =

Л h Л.Л h aOaib2

-a2b0 + а0ог

= fl3 .

2a0(a0a3 - axa2)

в нашем случае Ь0 =0, bl = — Т2, b2 = 1, a0 = TTX, ax = T + Тг, a2 = 1 + А;Т, a3 = к. К

а1Ь2 Dy = 4тсТ8 — 3 « 0,0428 [град2 ].

2 (a0a3 - a^)

9.59. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание mx (t) = 5 и спектральную плотность

8

тс(1 + и;2)

Найти корреляционную функцию случайной функции X(t). Решение. В задаче 9.17 было показано, что для корреляционной функции вида Кх(т) = ДЕе~а|т| спектральная плотность

имеет вид

Д. a

-к (а2 + и;2)

Следовательно, в нашем случае a = 1; Dx =8] kx (т) = 8е 'т'.

9.60. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание rnx (t) = 8 и спектральную плотность

0*, v 20 5 + и2

ъ 25 + би;2 + и;4

Найти корреляционную функцию случайной функции X(t). Решение. В задаче 9.18 было показано, что для корреляционной функции вида

kx(T) = Dxe~спектральная плотность имеет вид

S* = a2 + f32 +u2 =

* [a2+(|3-u)2][a2+(|3+u))2]

_DX a a2 +f32 +u2

тг (a2 + f32)2+2(a2 — (32)u;2+u;4'

Следовательно, a2 + (32 =5, a2 - (32 =3, откуда a2 2 = V4 = ±2. Нас удовлетворяет только положительное значение корня: a = 2; тогда (3 = ±1 (оба корня отвечают условиям задачи), а Dx = — = 10.

a

Таким образом, кх (т) = 10е~2|т| cos т.

<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА 9 случайные функции:

  1. ГЛАВА 7ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  2. ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  3. ГЛАВА 6СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ
  4. ГЛАВА 10потоки событий. марковские случайные процессы
  5. ГЛАВА 5СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
  6. НЕОБХОДИМОСТЬ И СЛУЧАЙНОСТЬ
  7. СЛУЧАЙНОСТЬ
  8. СЛУЧАЙНОСТЬ
  9. Глава 8. Функции таможенных органов
  10. НЕОБХОДИМОСТЬ И СЛУЧАЙНОСТЬ
  11. * § 5. Необходимость и случайность
  12. Глава 4. Элементы, функции и классификация налогов
  13. Глава 3. ФУНКЦИИ, ПРИНЦИПЫ И РОЛЬ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА