<<
>>

ГЛАВА ЗФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА


Если об обстановке опыта можно сделать п исключающих друг друга предположений (гипотез)
#2, нп
и если событие А может появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р (А) = Р(Н1)Р(А\Н1) + Р(Н2)Р(А\Н2)+...+Р(Нп)Р(А\Нп)
или
Р(Л) = ?Р(Я,.)Р(Л|Я,),
і =1
где Р(Я,) — вероятность гипотезы Я-; Р(Л|Яг) — условная вероятность события А при этой гипотезе.
Если до опыта вероятности гипотез были РЩ), Р(Я2), ...,Р(ЯП), а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые», т.е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Бейеса:
Р(Д, И) - >"(-<№> (і = 1,2 „).
і =1
Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта.
Если после опыта, закончившегося появлением события А, производится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться событие В, то вероятность (условная) этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез Р(Яг), а новые Р(Яг-1 А):
Р(В\А) = ?Р(Н,\А)Р(В\Н{А).
і =1
Имеются три одинаковые с виду урны. В первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение. Пусть событие А — появление белого шара. Формулируем гипотезы:
Нх — выбор первой урны;
Н2 — выбор второй урны;
#з — выбор третьей урны.
Р(Я1) = Р(Я2) = Р(Я3) = 1;
p(j4|Н1) = -^-] Р(Л|Я2) = ; Р(Л|Я3) = 1.
а -f b с + а
По формуле полной вероятности
Р(Л) = h h - -1 = if-^ h —+ ll
За + Ь 3 c + d 3 3U + f> c + d
Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80 % всех случаев работы прибора; ненормальный — в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном — 0,7. Найти полную вероятность р выхода прибора из строя за время t
Р е ш е н и е. р = 0,8 • ОД + 0,2 • 0,7 = 0,22.
Группа самолетов в составе: один ведущий и два ведомых, направляется на бомбометание по объекту. Каждый из них несет по одной бомбе. Ведущий самолет имеет прицел, ведомые — не имеют и производят бомбометание по сигналу ведущего. По пути к объекту группа проходит зону противовоздушной обороны, в которой каждый из самолетов, независимо от других, сбивается с вероятностью р. Если к цели подойдет ведущий самолет с обоими ведомыми, они поразят объект с вероятностью Р1 <>. Ведущий самолет, сопровождаемый одним ведомым, поразит объект с вероятно-стью j. Один ведущий самолет, без ведомых, поразит объект с вероятностью Рг 0. Если ведущий самолет сбит, то каждый из ведомых, если он сохранился, выходит к объекту и поражает его с вероятностью Р0 г.
Найти полную вероятность поражения объекта с учетом противодействия.
Решение. Формулируем гипотезы:
Щ—к объекту вышли все три самолета;
Н2 — к объекту вышел ведущий с одним ведомым;
#3 — к объекту вышел один ведущий;
#4 — к объекту вышли два ведомых (без ведущего);
#5 — к объекту вышел один ведомый.
Вероятности этих гипотез: Р(Нг) = (1 - р)3;
Р(Я2) = 2р(1-р)2; Р(Я3) = р2(1 — р)', Р(Н4) = р(1-р)2; Р(Я5) = 2р2(1 — р).
Обозначим А — поражение объекта.
Р(Л|Я1) = Р1і2; Р(Л|Я2) = РМ; Р(Л|Я3) = РМ; Р(Л|Я4) = 1 - (1 - Род )2; Р(Л|Я5) = Р0А.
Р(А) = (1- р)3Р1>2 +2р(1- р)2Р1Д +р\ 1 - р)Р10 + +р( 1 - р)2[1 - (1 - Р0Д)2] + 2Р2(1 - р)Р0Д.
Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может применять или не применять помехи.
Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью р0; если применяет — с вероятностью рх < р0. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна р и не зависит от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за п циклов обзора.
Решение. Полная вероятность обнаружения за один цикл (1 - р)р0 + ррх; вероятность хотя бы одного обнаружения за п циклов равна! — [1 — (1 — р)р0 — ррг]п.
Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе работают три контролера; изделие осматривается только одним контролером, с одинаковой вероятностью первым, вторым или третьим. Вероятность обнаружения дефекта (если он имеется) для г-го контролера равна р - (г = 1, 2, 3). Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадет в ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью pQ.
Определить вероятности следующих событий:
А — изделие будет забраковано;
В — изделие будет забраковано в цехе;
С — изделие будет забраковано в ОТК завода.
Решение. Так как события В и С несовместны и А = В + С, то Р(Л) = Р(?) + Р(С).
Находим Р(В). Для того чтобы изделие было забраковано в цехе, нужно, чтобы оно, во-первых, имело дефект, и, во-вторых, этот дефект был обнаружен. Вероятность обнаружения имеющегося

отсюда Р(В) = р Аналогично
Р(С) = р1Р оPi+ Р2+ Рз 3
3.6. Группа, состоящая из трех самолетов-разведчиков, высылается в район противника с целью уточнить координаты объекта, который предполагается подвергнуть обстрелу ракетами. Для поражения объекта выделено п ракет. При уточненных координатах объекта вероятность его поражения одной ракетой равна pv при неуточненных — р2. Каждый разведчик перед выходом в район объекта может быть сбит противовоздушными средствами противника; вероятность этого р3. Если разведчик не сбит, он сообщает координаты объекта по радио. Радиоаппаратура разведчика имеет надежность р4. Для уточнения координат достаточно приема сообщения от одного разведчика. Найти вероятность пораже-ния объекта с учетом деятельности разведки. Решение. Гипотезы: #t — координаты объекта уточнены; #2 — координаты не уточнены.
Р(Н,) = 1 - [1 - (1 - рз )р4]3; Р(#2) = [1 - (1 - Рз )р4]3; Р(Л|Я1) = 1-(1-р1)п; Р(Л|#2) = 1 - (1 — р2)" .
Полная вероятность события А — поражение объекта:
Р(А) = {1 - [1 - (1 - р3 )р4 f }[1 - (1 - Pl Г } +
+ [1-(1-РЗ)Р4]3[1-(1-Р2Г].
3.7. Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

с
c + d + 1
Решение. Событие А — появление белого шара; гипотезы: #t — переложен белый шар; #2 — переложен черный шар.
Р(Л) = -5 C + 1 + -* ? .
a+fcc+d+1 a+fcc+d+1
3.8. В условиях предыдущей задачи из первой урны во вторую перекладывают не один, а три шара (предполагается, что а > 3; 6 > 3). Найти вероятность того, что из второй урны появится белый шар.
Решение. Можно было бы выдвинуть четыре гипотезы: Н{ — переложены 3 белых шара; #2 — переложены 2 белых шара и 1 черный; #з — переложены 1 белый шар и 2 черных; #4 — переложены 3 черных шара, но проще решить задачу, имея всего две гипотезы:
#! — вынутый из 2-й урны шар принадлежит 1-й урне; #2 — вынутый из 2-й урны шар принадлежит 2-й урне. Так как во второй урне три шара принадлежат первой урне, а с + d — второй, то
Р(Я,) = ; Р(Я2): C + d
c+d+3 c + d + 3
Вероятность появления белого шара из первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первой урны или после перекладывания во вторую:
а + b с + а
откуда
Р {А) = ? ^ + C + d
с+d+3а+b c+d+3c+d
3.9. Имеется п урн, в каждой из которых а белых шаров и Ъ черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар и т.д. Затем из последней урны из-влекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Вероятность события А2 — извлечения белого шара из второй урны после перекладывания — найдем так же, как в задаче3.7 (прис — a,d ~Ь)\
a+ba+b+1 а+Ъа+Ъ+1 а+Ъ
Таким образом, вероятность извлечения белого шара из второй урны после перекладывания будет такой же, как и до переклады- вания. Следовательно, такой же будет и вероятность вынуть белый шар из третьей, четвертой и т.д., п-й урны:
Р Mn)= "
а + Ь
Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3 . Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна pt; второго — р2. Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.
Ответ, р = -рг +-р2.
о о
Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трех частей, площади которых равны Sv S2, S3 (Sx + S2 + Sз = S). Для попавшего в цель снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью pt; во вторую часть — с вероятностью р2\ в третью — р3. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал один снаряд.
S л S 9 So
Ответ. р = — рг Н -Ро + — Ро.
S 1 S 2 S
Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из TV изделий, среди которых п дефектных; вторая партия состоит из М изделий, среди которых т дефектных. Из первой партии берется случайным образом К изделий, а из второй L изделий (К < N; L < М); эти К + L изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.
Решение. Событие А — изделие будет дефектным. Гипотезы:
Ht — изделие принадлежит первой партии;
#2 — изделие принадлежит второй партии.
V 1У K + L V 2У K + L V У K + LN K + LM
В условиях предыдущей задачи из новой, смешанной, партии берется не одно изделие, а три. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие из трех окажется дефектным.
Решение. Гипотезы:
Н0 — все три изделия принадлежат первой партии;
— два изделия принадлежат первой партии, а одно — второй;
#2 — одно изделие принадлежит первой партии, а два — второй;
#з — все три изделия принадлежат второй партии. Р(Я„)= КІК-Ш-2) Р(#і) = р (Я2) =
Р(Я3) =
3JFT(Jfr - 1 )L {К + L){K + L -1){K + L - 2)'
3KL(L - 1) {К + L){K + L -1){K + L - 2)'
L{L-1){L- 2) + + L-i)(tf+ L-2)'
(N — n)(N — n — 1)(N — n —2)
Р(Л|Я0) = 1N(N — 1){N — 2)
(N — n)(N — n — 1)(M — m) N{N - 1 )M : Р(Л|Я2) = 1 - (N-n)(M-m)(M-m- 1) v 1 NM(M-l)
P(A\H ) = 1- (м-т)(м-т-У(м~т-2).
K 1 3' M(M — 1)(M — 2)
Р(Л) = Р(Я0 )Р(Л|Я0) + Р(Я, )Р(Л|Яг) + + Р(Я2)Р(Л|Я2) + Р(Я3)Р(у1|Я3).
3.14. Имеются две урны: в первой а белых шаров и Ъ черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются и затем из второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.
Решение. Гипотезы:
Н{ — состав шаров в первой урне не изменился;
Я2 — в первой урне один черный шар заменен белым;
#з — в первой урне один белый шар заменен черным.
Р(Яі)-^—i±i_+ b d+1
a+bc+d+l a + bc + d + l'
b
a + bc + d + l' a + bc + d+ l'
P(H2)= \ , , ; Р(Я3) =
Р(А):
с + 1 [ Ь d+1 ) а
[a + bc + d + 1 a + bc + d + l)a + b
b с а + 1 a d a — 1_
a+bc+d+la+b a+bc+d+la+b a (a + b)(c + d + 1) + be — ad _ a be — ad
(a + b)2 (c + d + 1) a + b (a + b)2 (c + d + 1)
Полученное решение показывает, что вероятность вынуть белый шар не изменится, если доли белых и черных шаров в обеих с d
урнах одинаковы: — = — (be — ad = 0). а Ъ
3.15. Из чисел 1, 2, ... , п одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше т (т > 0).
Решение. Событие А состоит в том, что разность между первым выбранным числом к и вторым выбранным числом I будет не меньше т (т.е. к — I > га).
Гипотезы Нк — первым вынуто число i(i; = m + l,...,n);
Р(Я,) = 1; Р(А\Нк) —
п п — 1
п h — т 1 п
р(А)= у * т = і у (к~т) =
к = ггҐ+1 П(П-1) П(П~ 1)
1 г-1 / м (n—m)(n — m+ 1)
- .[1 + 2 +...+ (п - тп)] = > м У
п(п — 1) 2п (п — 1)
3.16*. Из TV стрелков можно выделить четыре группы: а1 отличных стрелков, 02 хороших, Оз посредственных и а4 плохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка г-й группы равна р{ (і = 1, 2, 3, 4). Вызываются наугад два стрелка и стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.
Решение. Событие А — хотя бы одно попадание в мишень. Гипотезы Н{ — первым вызван стрелок г-й группы (г = 1, 2, 3, 4).
где Р (А\ Яі ) снова находим по формуле полной вероятности при четырех гипотезах о том, какой стрелок был вызван вторым:
Р(Л|Я,) = - (1 - р. )2] + Ет^-11 - (1 - Р, )(1 - Pi)].
Производится п независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью р{; если два снаряда — с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при п вы-стрелах горючее воспламенится.
Решение. Гипотезы:
Я І — в резервуар попал один снаряд;
Н2 — в резервуар попало два или более снарядов.
Р(Я1) = пр(1-р)-1; Р(Я2) — 1 - (1 — р)п -np(l-p)"-1.
Искомая вероятность равна
Р(А) = Р(Н1)Р1+Р(Н2)1 = = пр( 1 - р)"-1?! + 1 - (1 - р)п - пр( 1 - р)п~1 =
= 1-(1-р)" -np{l-py-l{l-pi).
Группа студентов состоит из а отличников, Ь хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успе-вающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
Решение. Гипотезы:
Н{ — вызван отличный студент;
Н2 — вызван хороший студент;
#з — вызван слабый студент.
Р(Н1)= ° ; Р(Я2)= * ; Р(Я3) =
а+Ь+с a+b+с а+Ь+с
Искомая вероятность равна
о
7 С
I и 1 а + ь+с _ з
а+Ь+с 3a+b+с а+Ь+с
3.19. В условиях предыдущей задачи вызываются наугад три студента. Найти вероятность того, что они получат отметки: отлично, хорошо и удовлетворительно (в любом порядке).
Решение. Событие А — получение отличной, хорошей и удовлетворительной отметок — возможно только при одной из следующих гипотез:
вызваны один слабый студент, один хороший и один отличник;
#2 — вызваны один слабый студент и два хороших;
#з — вызваны два слабых студента и один хороший;
#4 — вызваны два слабых студента и один отличник.
Р(Я1) = в±-* с—, Р(Я2) = з1-Ы-^;
v NN-1N-2 2 NN-1N-2
p(ff \ — з ^ c c ~ 1 . ptjj \ — з a c с -1
3 NN-1N-2' NN-1N-2
(N = a + b + c).
P(A) = Р(ЯХ )1 • I • I + Р(Я2I + Р(Я3)I+ Р(Я4)1 Л
3.20. В автобусе едут п пассажиров. На очередной остановке каждый из них выходит с вероятностью р; кроме того, в автобус с вероятностью р0 не входит ни один новый пассажир; с вероятностью 1 - р0 — один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после очередной остановки, в нем будет по-прежнему п пассажиров.
Решение. Событие А — после остановки снова п пассажиров. Гипотезы:
#0 — не вошел никто;
вошел один пассажир.
Р(Я0) = р0;Р(Я1) = 1-р0; Р(А\Н0) = (1 - р)п ; Р{А\Н,) = пр(1 - ру-1;
Р(Л)-р0(1-р)п +{1-Ро)пр{1-р)п'\
3.21*. Условия предыдущей задачи сохраняются, но надо найти вероятность того, что после двух остановок в автобусе будет по-прежнему п пассажиров (при расчете учесть, что новый пассажир также выходит с вероятностью р на последующей остановке).
Решение. Гипотезы:
#0 о — за две остановки не вошел никто;
#10 — на первой остановке вошел один пассажир, а на второй — ни одного;
Н0 j — на первой остановке не вошел ни один пассажир, а на второй — один;
Н1 х — на каждой остановке вошло по пассажиру.
Р(#о,о) = Ро; Р(я1і0) = (і-р0)р0;
Р(Я0і1) = р0(1-р0); Р(Я1і1) = (1-р0)2.
Чтобы при гипотезе #0 о число пассажиров осталось п, нужно, чтобы ни один из п пассажиров не вышел ни на первой, ни на второй остановках:
Р(Л|Я0і0) = [(1-р)"]2=(1-р)2".
Чтобы при гипотезе Нг 0 число пассажиров осталось прежним, нужно, чтобы или на первой остановке вышел один пассажир, а на второй — никто, или на первой остановке не вышел никто, а на второй — один пассажир:
Р(А\Н10) = пр(1-р)п-1(1-р)п +(1-р)п(п + 1)р(1-р)п = = р(1-р)2я-1[п + (п + 1)(1-р)].
Аналогично, но учитывая, что вошедший на второй остановке пассажир не выходит:
РС^І-^о, і )=пр(1— p)n_1 (1— р)" + (1— р)"пр (1 — р)п~1=2пр (1—p)2n_1.
Чтобы при двух вошедших пассажирах число их после двух остановок оставалось неизменным, нужно или чтобы на первой остановке вышли два пассажира, а на второй — никто; или на первой — никто, а на второй — два; или чтобы вышло по пассажиру на каждой остановке:
Р(Л|Я1і1) = С2р2(1-р)-2(1-р)-1 +
+ (1 - ру с2п+У( 1 - ру-1 + СІРІЇ - р)"-1 СІРІЇ - ру-1 = =p2il-p)2"-3
+ n2(l - р)+ v ' 'il-p)
п(п — 1) 2/1 \ п{п + 1) РІА) = Р(Я0 о) РІА|Я0, о) + Р(Я,, 0) Р(А\Ни 0) + + Р(Я0 ,) Р(Л|Я0,х) + Р(ЯХ j) Р^ІЯ^,).
3.22. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью р. Найти вероятность того, что из трех целей две будут поражены, а третья нет.
Решение. Гипотезы:
Нх — обстреляны все три цели;
#2 — все орудия стреляют по одной цели; #3 ~ Две цели из трех обстреляны, а третья нет.
2 1 2 1 3 3 9 111 2 12 2 3 3 9 3 9 9 3
Р(Л|Я1) = Зр2(1-р);Р(Л|Я2) = 0;
Р(Л|Я3) = [1-(1-р)2]р = р2(2-р); Р(Л) = 2р2 Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов I и II (рис. 3.23) и может случайным образом работать в одном из

Рис. 3.23
двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме надежность каждого из узлов равна ри в неблагоприятном р2. Вероятность того, что прибор будет работать в благоприятном режиме, равна Рр в неблагоприятном 1 — Рх. Найти полную (среднюю) надежность прибора р. Ответ, р = Рг[1 — (1 — рг)2] + (1 — Рг)[1 — (1 — р2 )2].
На телефонную станцию поступает случайный поток вызовов; вероятность приема к вызовов за время t равнаpk(t) (к = 0,1, 2, ...). Число вызовов, принятых за промежуток времени t, не зависит от того, сколько вызовов поступило до или после этого промежутка. Найти вероятность того, что за промежуток времени 21 будет 5 вызовов.
Решение. Разделим промежуток 2t на две части: первую и вторую, каждая длительности t. Гипотезы Нк — на первый участок попало А;вызовов (к — 0, 1, ..., s).
P(Hk) = pk(t)(k = 0,1 ,...,*).
Для того чтобы при гипотезе Нк на промежуток 21 попало s вызовов, нужно, чтобы на второй участок поступило s — к вызовов. Условная вероятность этого равна ps_k (t). Полная вероятность события А — за время 21 поступит 5 вызовов — равна
к=О
к=о
3.25. В ящике находится а новых теннисных мячей и Ъ игранных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из
Р(А) = ?Р(Нк) Р(А\Нк ) = J2Pk (Оящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (а > 2; Ь > 2). Решение. Гипотезы:
#t — оба вынутых первый раз мяча были новыми; #2 — оба вынутых первый раз мяча были игранными; #з — один из мячей был новым, а другой — игранным.
Р(Яі) = ^^ ; Р(Я2)= •
Р(Я3)
п (п — -]\(п Р (А)
(а + Ъ)(а + Ъ- 1)' 2У (а + Ъ)(а + Ъ- 1)' 2 аЬ
(а + Ъ)(а + Ъ- 1)'
а (а - 1)(а - 2)(а - 3) + b(b - 1)а (а - 1) + 2аЪ(а - 1 )(а - 2) (а + Ь)2(а + Ь-1)2 '
3.26. Имеется п экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2 п вопросов, а только на к < 2п. Определить вероятность р того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.
Решение. Гипотезы:
#t — экзаменующийся знает оба вопроса своего билета;
#2 — экзаменующийся из двух вопросов своего билета знает один.
к(к- 1) 1 2к(2п — к) к- 1 р = — -1 +
2п (2п - 1) 2п (2п - 1) 2п - 2
3.27*. Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью pt находится в пункте I, а с вероятностью р2 = 1 — в пункте II > і |
В нашем распоряжении имеется п снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт I или в пункт II. Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью р. Какое число снарядов п1 следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?
Решение. Событие А — поражение цели при направлении щ снарядов в пункт I. Гипотезы:
Ht — цель в пункте I;
#2 — Цель в пункте II.
Р(Н,) = Р,- Р(Н2) = 1 — pj;
Р(А) = Pl [і - (і - „)»• ] + (і _ Pl )[i - (1 - „)-». ].
Рассматривая Р(Л) как функцию непрерывного аргумента nv находим
dp{a) = [-PI (1 - Р)"1 + (1 - pl )(1 - рГ "1 ]1п(1 - Р),
dnl dzP(A)
dn1
= ~[Pl (1 - p)n 1 + (1 - Pl )(1 - p)n-n 1 ]ln2(l - p) < 0, откуда видно, что эта функция имеет единственный максимум в точке
ю-1 П л Рг dP(A) _ пл = —| , где — = 0.
1 2 21n(l — р) dnl
Заметим, что пг > ~ при р1 > і.
Если полученное число пх целое и < п, то это и есть искомое число; если оно не целое (но < п), то нужно вычислить Р(Л) для двух ближайших целых значений и выбрать то из них, для которого Р (А) больше; если полученное число окажется больше п, то следует направить все п снарядов в пункт I (это случится при
1 — V 1
In L < п 1п(1 - р), т.е. при рг > —).
Pl 1 + (1 -р)
3.28. Рассматривается посадка самолета на ВПП аэродрома. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за со-стоянием ВПП визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна pv Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов во втором случае Р. Если приборы «слепой» посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью pv что и при «визуальной» посадке. Если же приборы «слепой» посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет только с очень малой вероятностью р[.
Найти полную вероятность благополучной посадки самолета, если известно, что в к % всех случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью.
Решение. Гипотезы:
Нх — низкой облачности нет;
Р(Л|Я2) находим снова по формуле полной вероятности:
р(а\Н2)^РРі + (І-Р)р;-,

#2 — низкая облачность есть.
Л
100
1 100 100 1 1
3.29. Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух раз-личных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую. Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность попадания в первую часть равна pv во вторую р2 = 1 - рг. По цели производится три выстрела; вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Найти вероятность того, что данными тремя выстрелами цель будет поражена. Решение. Гипотезы: Н{ — в цель попал один снаряд; Н2 — в цель попало два снаряда; #з — в цель попало три снаряда.
Р(Н1) = Зр(1-р)2; Р(Н2) = Зр2(1 — р); Р(Щ) = р\ Р(А\Нг) = Рг; Р(А\Н2) = 1 - (1 - Рг )2 + р\; Р(А\Н,) = 1; Р(А) = Зр(1 - р)2рг + Зр2(1 -р)[ 1 - (1 - рх )2 + р22] + р3 • 1.
3.30. Группа из трех самолетов совершает налет на объект. Объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждая батарея простреливает угловой сектор размерами 60°, так что из полного угла 360° вокруг объекта оказываются защищенными 240°. Если самолет пролетает через защищенный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет, прошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположены батареи. Найти вероятность поражения объекта для двух способов организации налета:
все три самолета летят по одному и тому же направлению, выбираемому случайно;
каждый из самолетов выбирает себе направление случайно независимо от других.
Решение. 1) Гипотезы:
Нх — самолеты выбрали незащищенное направление;
#2 — самолеты выбрали защищенное направление. Р(Я1) = і; Р(Яа) = |;
Р(Л|ЯХ) = 1 - (1 - Pf; Р(А\Н2) = 1 - [1 - (1 - р)Р)3;
Р(А) = |[1-(1-Р)3] + |{1-[1-(1- p)Pf}.
2) Находим для каждого самолета полную вероятность рх поразить объект: р1 = -Р + -(1 — р)Р> 3 3 1 2 13 3 3V
Для трех самолетов вероятность поражения объекта будет P(4) = l-(1-Pl)3=l- Можно показать, что полученная вероятность больше, чем для способа 1).
3.31. Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и Ь черных; во второй с белых шаров и d черных; в третьей — к белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из первой, второй или третьей урны.
Решение. Решаем задачу по формуле Бейеса.
Гипотезы:
Н{ — выбор первой урны;
#2 — выбор второй урны;
#з — выбор третьей урны.
Априори (до опыта) все гипотезы равновероятны:
Р(Я1) = Р(Я2) = Р(Я3) = і.
Наблюдалось событие А — появление белого шара. Находим условные вероятности:
Р(^4|Я2) = ~~~7> Р(Л|Я3) = 1.
а + b с Л- а
По формуле Бейеса вероятность того, что шар был вынут из первой урны:
ірия,)
Р(Я1|Л)= 3 - а + ь
Аналогично
Р(Я |Л) = __1+А ; Р(Я3|Л) = .
¦ + : + 1 + + 1
а + Ъ c+d а+Ъ c+d
3.32. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) первого узла равна pv второго р2. Прибор испытывал ся в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.
Р е ш е н и е. До опыта возможны четыре гипотезы:
Я0 — оба узла исправны;
Н{ — первый узел отказал, а второй исправен;
Я2 — первый узел исправен, а второй отказал;
Я3 — оба узла отказали.
Вероятности гипотез:
Р(Я0) = Лр2; Р(Н1) = (1-р1)р2] Р(Я2) = Л(1-р2); Р(Я3) = (1-Л)(1-р2).
Наблюдалось событие А — прибор отказал.
Р(А\Н0) = 0; Р(А\Нг) = Р(А\Н2) = Р(А\Н3) = 1.
По формуле Бейеса
(1 - Pl )р2 С1 - Pl )Р2
?(Нг\А) =
(1 - рг)р2 + рг( 1 - р2) + (1 - рг)(1 -р2) 1 - рхр2 3.33. В условиях задачи 3.28 известно, что самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами «слепой» посадки.
Решение. Если летчик пользовался приборами «слепой» посадки, то, значит, облачность была (гипотеза Я2). По данным задачи 3.28 находим
Л-[РРі + (і - Р)Р;}
Р (Н2\А)= 100
і--* 100J
Рі + ±[рРі + (і - рул
3.34. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью. Если он заки- дывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью р{; на втором — с вероятностью р2; на третьем — с вероятностью р3. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
Ответ. Р(Н1\А) = .
3.35. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью pv второй — с вероятностью р2. Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает на ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано: 1) первым контролером; 2) вторым контролером; 3) ОТК завода.
Решение. Априори возможны четыре гипотезы:
#о — изделие не забраковано;
Н{ — изделие забраковано 1-м контролером;
#2 — изделие забраковано 2-м контролером;
#з — изделие забраковано ОТК завода.
Событие А — изделие забраковано. Гипотеза Н0 нам не нужна, так как Р(Л|#0) = 0; ! Pi + Р2
Р ОР(Нг) = ^ P(ff2) = ?Ei; Р(Н3) = р Вероятности гипотез после опыта: 1)Р(Я1|Л)- Р(Я1} - *
Р(ЯХ )+Р(Я2) + Р(Я,) 2р0 + (рх + р2) (1 - Ро)'
2) Р(Я2|Л) = Ь ;
2р0 +(Pi +р2)(1 - Ро)
Pi
+ (Pi +Р2К1-; Ро$ ~ (Pi + Р2)}
3)Р(Я3И) =
2р0 + {Pi +Р2)(1- Ро) 3.36. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных
вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
Решение. Гипотезы:
#! — студент подготовлен отлично;
#2 — студент подготовлен хорошо;
#3 — студент подготовлен посредственно;
#4 — студент подготовлен плохо.
До опыта:
Р(Я1) = 0,3; Р(Я2) — 0,4; Р(Я3) = 0,2; Р(Я4) = 0,1;
Р{А\НХ) = 1; Р(Л|Я2) = ^ • Н . Н „ 0,491;
Р(А\Н.) = — • — • — и 0,105; Р(Л|Я4) = — • — • — » 0,009.
3 20 19 18 20 19 18
После опыта
а) Р(Я, |.4) = ~ 0,58;
0,3 • 1 + 0,4 • 0,491 + 0,2 • 0,105 + 0,1 • 0,009
б)Р(Я^Л)^°'1-°'009 ^0,002.
U,51o
3.37. На вход радиолокационного устройства с вероятностью р поступает полезный сигнал с помехой, а с вероятностью (1 — р) — только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью рх\ если только помеха — с вероятностью р2. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти
вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.
^ ррл
Ответ.- 1
PPi + (1 ~ Р)Р2
3.38. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно pv р2, р3. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равны: для первой кассы Pv для второй Р2у для третьей Р3. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.
Решение. Р(Я1) = р1;Р(Я2) = р2;Р(Яз) = р3.
P(A\Hl) = l-Pl] Р(Л|#2) = 1-Р2; Р(А\Н3) = 1 — Р3.
Рі(І-Л)
Р(Н1\А) =
М1 - Л ) + Ь (! - р2) + Рз (! - Рз)
3.39. Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две цели: I и II (рис. 3.39). Вероятность попадания в цель I равна pv в цель II — р2. После выстрела получено известие, что попадания в цель I не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель II?
Решение. Гипотезы:
Нх — попадание в цель I;
#2 — попадание в цель II; #з — непопадание ни в одну из целей. Событие А — непопадание в цель I.
Р(Н1) = р1; Р(Я2 ) = р2; Р(Я3) = 1 - (Pl + р2). Р(А\Н1) = 0-Р(А\Н2) = 1;Р(А\Н3) = 1.
Рис. 3.39 Р(Н2\А) =
Р2 _ Р2
Р2 + 1 - (Pl + Р2 ) 1~Pl Эту задачу можно решить и без формулы Бейеса:
Р(Я2Л)_Р(Я2)_ р2
Р (Н2\А) = .
Р(А) Р(А) 1 - Рг
3.40. Имеются две урны: в первой а белых шаров и Ь черных, во второй — с белых и d черных. Выбирается наугад одна из урн и из нее вынимается один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что следующий шар, который вынут из той же урны, будет тоже белым.
Решение. Я! — выбрана первая урна;
Я2 — выбрана вторая урна.
А — появление белого шара при первом вынимании. а + Ь
Р(Ях) = Р(Я2) = і; Р(ЯХ|Л) = - + ¦
а+Ь c+d с + d
р(я2и) = . a+b c+d В — появление второго белого шара.
Р (В\А) = Р (Ях |Л) Р {В\НХА) + Р (Я2\А) Р (В\Н2А). Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна и из нее вынут белый шар:
а - 1
а + Ъ- l'
Р (В\НгА) =
аналогично Р(В\Н2А): С 1
р(ад = .
с + d - 1 а (а — 1) с (с — 1)
+
(а + Ь){а + 6-1) (с + d)(c + d - 1)
а + Ь с + d 3.41. Имеется группа в составе N стрелков. При одном выстреле в мишень г-й стрелок попадает в нее с вероятностью р{ (i = 1, 2, ..., N). Вызывается наугад один из стрелков. Произведя один выстрел по мишени, он попал в нее. Найти вероятность того, что при следующих двух выстрелах того же самого стрелка будет одно попадание и один промах.
Решение. А — попадание при первом выстреле;
В — одно попадание и один промах при двух последующих выстрелах.
Гипотезы Н{ — вызван г-й стрелок (г = 1, 2, ..., N).
Р(Я4И) = ?->Гдер = ?><;
р и
Р (В\Н{А) = 2р{(1-р{);
Р(В\А) = ?р(Я, \А) Р(В\Ні А) = -ІГрП 1 - Рі).
t =1 Р i=l
<< | >>
Источник: Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 2003

Еще по теме ГЛАВА ЗФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА:

  1. ГЛАВА 2ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  2. ГЛАВА 1ОСНОВНЫЕ понятия. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  3. ГЛАВА 2. ТРИ ПРОВЕРЕННЫЕ ФОРМУЛЫ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ДЛЯ СОЗДАНИЯ РЕКЛАМЫ В ЛЮБОМ БИЗНЕСЕ
  4. ГЛАВА 8ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  5. 2.1. Особенности работы с формулами
  6. 4.6. Подход к рациональному построению полной порядковой классификации альтернатив
  7. ВЕРОЯТНОСТЬ
  8. Как начать жить более полной жизнью
  9. §1. Способы, не в полной мере обеспечивающие интересы кредитора
  10. Эффективная формула обучения сотрудников: 10% строгости, 90% — мягкости.