<<
>>

4.5. Комбинация ресурсов (факторов производства), минимизирующая издержки при фиксированном (общем) объеме выпуска

Для случая долговременного промежутка (/г) рассмотрим задачу глобальной минимизации издержек при фиксированном объеме у выпускаемой продукции:

Р\Х\ + Р2х2 = С (х\9 х2)-^ min (4.22)

при условии, что

У=/(х ьх2) (4.23)

(х\ > 0, х2 > 0).

Геометрически решение задачи (4.22), (4.23) (рис.

4,9) аналогично решению задачи (4.7), (4.10). В случае задачи (4.22), (4.23) следует перемещаться по изокостам на «юго-запад» (ибо имеем задачу , минимизации) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки с изокван- той, соответствующей фиксированному объему ^. Ясно, что решением задачи минимизации издержек будет общая точка (хх(у\х2(у)) изокосты и фиксированной изокванты 1у. Эта точка касания зависит от объема у (поэтому и написано: (хх(у), х2(у)). Если объем у изменится, то изменится и точка (xj (JO, х2(у)). Множество точек (хх(у), х2(у)), соответствующих различным объемам у выпускаемой продукции, образуют линию L (см. рис. 4.9), которая, очевидно, совпадает с линией L (см.
рис. 4.6).

Решим задачу (4.22), (4.23) формально с помощью функции Лагранжа: L(xu х2, X) = pixi + р2х2 + \х{у -/(хь х2)). Для функции Лагранжа выписываем условия первого порядка:

ЭЦлсрХрЦ) dL(xx,x2,\\) дЬ(хх,х2,\\) дхх дх2 д\х

или в развернутом виде

df($x,x2) df{xx>x2) л ^ .. . л ?А

P\=V J 2,p2 = \iJ\l 2 = 0, y-f(Xl,x2) = 0. (4.24)

дхх дх2

Критическая точка (xx(y),x2(y),]i(y)) функции Лагранжа — это точка, удовлетворяющая системе (4.24). Если у = f(xx,x2) производственная функция, удовлетворяющая условиям гладкости и выпуклости, то критическая точка (хх(у), х2(у), взятая без последней координа

ты ДОО , те- точка(хх(j)), х2(у)), и есть решение задачи (4.22), (4.23) глобальной минимизации издержек при данном фиксированном объеме выпуска у.

Подставив координаты точки (х,(у), х2(у), Д(>0) в первые два уравнения системы (4.24), получим два тождества: (4.25)

_^Э/(х1,х2) _ґд/(х{9х2)

Р\ -Ц 1 > Pi -и—; >

дхх дх2 которые в компактной векторной форме можно переписать так:

(/71,/?2) = pgrad/(x1,x2). (4.26)

Равенство (4.26) означает, что в точке (х15х2) градиент grad /(xj, х2) и вектор p = (px,p2) цен рх и р2 на ресурсы коллине- арны, откуда следует, что в точке (xj, х2) изокванта 1у и изокоста С = рххх + р2х2 (С = рххх + р2х2) касаются (рис. 4.10).

(РиРі)

х2 (У)

0 хх(у)

Рис. 4.10

Координаты хх(у)9х2(у)9 атакже Д(;/) и С = Р\Хх(у)-\-р2х2(у)) яв-ляются функциями всех параметров рх,р2,у задачи (4.22), (4.23), т.е.

хх =Vi(p{,p2,y), х2 =1|f2(px,p2,y\ Ц = Щ(Р\9Р29УХ с = g(P\>Р2*У) - P\X\ + Р2*2 = /Wi(Р\,р2>у) + р2Ч>2(Р\>Рі>у)Функции х, = v|/,(/?,,/?2,j>), х2 =у2(р]9р29у) называются функциями условного спроса (по Хиксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функции условного спроса (по Хиксу) называют также функциями компенсированного спроса со стороны фирмы на ресурсы. Функция С = g(pl9pl9y) называется условными издержками фирмы. Выражение С = g(p]9p2,y) является значением задачи (4.22), (4.23). Множитель Лагранжа Д = уз(р],р2,у) является скорее относительно большой величиной («слоном») в связи с тем, что длина градиента grad /(х1?х2) скорее много меньше длины вектора цен Р = (Р\9 р2 ).

Функции хх-\цх(рх,р2,у\х2=\ц2(рх,р2,у) условного спроса (по Хиксу) однородны нулевой степени по переменным рх и р2, а функция с = g(P\,P2,y) условных издержек однородна первой степени по переменным рх и р2.

Действительно, задача глобальной минимизации (4.22), (4.23) имеет решение у\(рх,р2,у) и х2 = у2(РиР2,у\ задача глобальной минимизации урххх +ур2х2 = yC(min) при наличии ограничения (4.23) имеет решение \\fj(урх,ур29у) и у2(урх,ур2,у). Однако эти две задачи глобальной минимизации эквивалентны, ибо вторая получается из первой умножением целевой функции рххх + р2х2 =С на число у > 0.

Поэтому Vi(ypi9yp2,y) = V\(P\,P2>y) И У2(УРі>УР2>У) = У2(Рі>Р2>У)- Однородность первой степени функции С = g(px,p2,y) условных издержек очевидна:

g(yp\, УР2>у) = УР\ Vi (УР\ > УР2 > У) + УА> Ч>2 (уР\ > УР2>у) = = у( Р\4>і (УА > УР2 >У) + Р2У2 (УА>УР2>у)) = У8(Р\ > Р2>50Если положить р0 = Д, то для задачи глобальной максимизации прибыли

Pof(x\ > ) - (Р\х\ + А>*2) = PR max, условия первого порядка (4.1) приобретают вид:

„ df(xx,x2) _ _ _ df(xx,x2) _

Ро I -А» Ро I — Р2' дхх дх2

откуда, принимая во внимание равенства р0 = Д, эти условия первого порядка следует переписать так:

rtdf(xx,x2) _ rtdf(xx,x2) _

Р I -А'И I - Р2дхх дх2

Этой системе уравнений удовлетворяют хх = хх и х2 =х2 (см. равенства (4.25)).

Следовательно, решение хх =хх°, х2 =х2 представляет собой локальное рыночное равновесие фирмы при р0 = Д, т.е. решение (хх,х2) задачи (4.22), (4.23) условной глобальной минимизации совпадает с решением (хх, х2) задачи глобальной максимизации прибыли, если цена р0 выпускаемой фирмой продукции равна р0 = Д.

Таким образом, предложена естественная экономическая интерпретация множителя Лагранжа Д = Д(рх,р2,у).

В параграфе 4.2 в точке локального рыночного равновесия (xf,^) был определен объем выпуска у0 = f(xx,x2). Если в ограничении (4.23) положить у = Уо, то несложно показать, что х1(>;0) = х1, х2О>0) = х2, а также Д0>о) = А)> те- множитель Лагранжа ДО>0) равен рыночной цене PQ единицы выпускаемой продукции.

Имея выражение С = С(у), выпишем в явном виде представление прибыли PR(j^) в случае долговременного промежутка как функции объемов у выпускаемой продукции:

Р *(У) = Р0У-С(У), Выражение PR( >>) = pQy - С(у) играет важную роль в микроэкономике. Полезно сравнить это выражение с выражением для прибыли фирмы в терминах объемов хх и х2 затрачиваемых (используемых) ресурсов в случае долговременного промежутка (см. параграф 4.1).

ПустьХ| = \|/j(рх,Р2,у% х2=\|f2(pX9p29y)9 C = g(px9p2,y) — решение и значение задачи глобальной минимизации (4.22), (4.23).

Положим в задаче глобальной максимизации (4.7), (4.11) С = С ^тогда, очевидно, хх=Р2>У) = Х2 и У = КР\>P2>C) = f(xl9x2) = f(xl9x2) = y (рис. 4.11).

Рис. 4.11 Рис. 4.12

Пусть хх=ц>х(рх,р29С)9 х2=Р2>С) = *2 и С = рххх + р2х2 = рххх + р2х2 = С (рис. 4.12).

Таким образом, наблюдается взаимозависимость задач (4.7), (4.11) и (4.22), (4.23).

Задача глобальной минимизации издержек производства при фиксированном объеме у выпускаемой продукции для случая краткосрочного промежутка, когда фиксирован объем xj первого ресурса,

имеет вид (у играет роль параметра):

Р\Х\ + р2х2 = С*(х], х2) (min) (4.27)

при условии, что

y = f(xi,x2) (4.28) (*i>0).

Ограничимся наглядным геометрическим решением задачи (4.27), (4.28) (рис.

4.13). А Н _ _ , _ 1 — h \ \ >

Рис. 4.13

Имеет место важный результат теории фирмы: при одном и том же объеме у выпускаемой продукции издержки производства Q для случая долговременного промежутка меньше (точнее, не больше) издержек производства С для случая краткосрочного промежутка. Эти издержки производства равны друг другу, если объем у

производства будет таким, что xf^y) = xj.

Для долговременного промежутка кратко рассмотрим общий случай п> 2.

Задача (4.22), (4.23) глобальной минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме ее выпуска в общем случае имеет вид:

/?,*!+... + рпхп = C(min) (4.29) при наличии ограничения

У = /(х \,-,х„)

(хх > > 0). (4.30)

Для функции Лагранжа

L(xX9...9xn9\i) = рххх+... + pnxn+\i(y-f(xX9...9xn)) (4.31)

задачи (4.29), (4.30) на условный (локальный) экстремум условия первого порядка имеют вид:

дхх дхп

или в развернутом виде

у-/(х) = 0 (х = (х„...,хи)). (4.32)

дхх дхп

Для производственной функции у- f (х), удовлетворяющей условиям гладкости и выпуклости, критическая точка Д) функции Лагранжа, взятая без последней координаты, т.е. точка (хх,...,хп\ есть точка глобального условного минимума функций (4.29) при наличии ограничения (4.30).

Критическая точка (хх,..., хп9 Д) функции Лагранжа является ре-шением системы уравнений (4.32), поэтому при подстановке ее в эти уравнения она обращает их в тождества:

„ .-, д/(х) df(x) ( v

дхх дхп

которые в компактной векторной форме имеют вид: р = \х grad f(x) (p = (pX9...9pnj)9

откуда следует, что в точке х = (хх, изокванта выпуска у и

изокоста ((п -1) -мерная плоскость условных минимальных издержек) касаются.

Функции хх =\цх{рх9...9рп9у\...9хп являются функ

циями условного спроса (по Хиксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функция C = g(pX9...9pn9y) = рххх +... + рпхп = рх\ух(рх9...9рп9у) + ... + +pn\\j„(pl,...,p„,y) представляет собой минимальные условные издержки фирмы.

Как и в случае п = 2, все функции хх = У\(рХ9 у\ = = v|*п(р\9...9рп9у) являются однородными нулевой степени по всем переменным /?!,...,рп9 а минимальные условные издержки фирмы с = g(/?ls ...9рп9у) являются однородной функцией первой степени по переменным /?!,...,/?„.

Как и в случае п = 2, множитель Лагранжа Д = i|/3(рХ9 ...9рп9у) является скорее относительно большой величиной («слоном»).

<< | >>
Источник: М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. Моделирование экономических процессов. 2005

Еще по теме 4.5. Комбинация ресурсов (факторов производства), минимизирующая издержки при фиксированном (общем) объеме выпуска:

  1. План производства. Расчет объема выпуска продукции
  2. 10.3. Теория оптимального объема выпуска продукции. Определение предельных издержек производства
  3. Факторы издержек, зависящие и не зависящие от объема производства
  4. Глава 27. ОБРАЗОВАНИЕ ЦЕН НА ФАКТОРЫ ПРОИЗВОДСТВА. ЗЕМЕЛЬНАЯ РЕНТА И РЕНТА НА ДРУГИЕ РЕСУРСЫ
  5. Объем производства превышает объем реализации
  6. 13-4. Определение объема выпуска и уровня цен
  7. 2. ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННАЯ КОРРЕКТИРОВКА ПРИ ФИКСИРОВАННОМ ВАЛЮТНОМ КУРС
  8. 10-4. Денежная политика при фиксированном и плавающем обменном курсе
  9. 18. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРАВООТНОШЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ПРОИЗВОДСТВЕ, ПЕРЕДАЧЕ И РАСПРОСТРАНЕНИИ ИНФОРМАЦИИ, ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ, ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОДУКТОВ, ИНФОРМАЦИОННЫХУСЛУГ
  10. Глава 7. ИЗДЕРЖКИ ПРОИЗВОДСТВА
  11. 27. Издержки производства
  12. Диапазон объемов производства
  13. 8.4. Выбор объема производства в краткосрочном периоде
  14. 5.1. Издержки производства в краткосрочном периоде
  15. 6.4. Модель учета процесса производства и выпуска продукции
  16. Глава 11. Издержки производства.