3.1. Однофакторные и многофакторные производственные функции
Понятие производственной функции (ПФ) является основным в экономической теории. Оно используется для описания принципа «затраты—выпуск» на микро- и макроэкономичеких уровнях. Затрачиваются ресурсы производства — факторы производства (один или несколько) — в определенных количествах, выпускается продукция в определенном объеме.
Формально производственная функция выглядит так:y = f(x,au,..,am) (3.1)
или
у = ДхІ9...9хП9аХ9...9ат)9 (3.2)
где у — объем (количество) выпускаемой продукции; в (3.1) х — количество затрачиваемого (используемого) ресурса (т.е. х>0), в (3.2) хь...,хп — количества затрачиваемых (используемых) ресурсов; вектор (хх,хп) называется конфигурацией ресурсов, хх > О,..., хп > 0; аХ9..., ат — параметры; символ /, называемый характеристикой ПФ, показывает, как количество ресурса формально преобразуется в объем выпускаемой продукции.
Производственная функция (3.1) называется однофакторной (од- норесурсной — редко используемый термин); ПФ используются для решения разнообразных аналитических, плановых и прогнозных задач и в прикладных исследованиях.
Производственная функция может иметь разные области использования.
Микроэкономическая производственная функция (МИПФ) имеет в качестве области использования (содержательной области) отдельную фирму, производственный комплекс, отрасль. Макроэкономическая производственная функция (МАПФ) имеет в качестве области использования национальную экономику, экономику региона. В МАПФ наряду с малыми /, хь...,хП9 у используют большиесимволы F, х{,..., хп, Y: Y - F{xx,..., хп; ах,..., ат).
В МИПФ количества затрачиваемых (используемых) ресурсов и объем выпускаемой продукции часто выражаются в натуральной форме: капитал — в штуках оборудования; труд — в часах затрачиваемого времени (возможно по различным видам трудовой деятельности); энергия — в киловатт-часах; материалы, комплектующие — в соответствующих единицах и т.п.
В ПФ крупных отраслей, регионов и национальной экономики количества затрачиваемых ресурсов и объемы выпускаемой продукции выражаются в стоимостной форме (как правило, в постоянных ценах).
Выбор ресурсов и аналитической формы ПФ у = /(хь..., хп) на-зывается спецификацией ПФ.
Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е.
расчет численных значений параметров аи...,ат ПФ у = /(jq,..., хп, а{,..., ат) на базр статистических данных с помощью регрессионного анализа называется параметризацией ПФПроверка адекватности ПФ описываемой ею реальности называется верификацией ПФ.
Выбор аналитической формы ПФ у = /(xb...,jc„,ab...,aw), (т.е. ее спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или косвенно) учитывать особенности взаимосвязей между объемами конкретных ресурсов и выпускаемой продукции или экономических закономерностей, особенности реальных и экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации. Оценки параметров ПФ обычно проводятся с помощью регрессионного анализа. Отметим, что выбор более продвинутой в аналитическом отношении ПФ обычно предъявляет повышенные требования к ее параметризации, которые могут быть по существу невыполнимыми. Это означает, что продвинутая в аналитическом отношении ПФ, параметры которой сформированы на базе не удовлетворяющих высоким требованиям реальных и экспертных данных, может давать менее точные результаты расчетов, чем более простая в аналитическом отношении ПФ. Таким образом, в случае ПФ (как и вообще в случае прикладных экономико-математических моделей) следует говорить о ее комплексной адекватности, принимая во внимание рациональное сочетание уровня аналитических построений и качества информационного обеспечения.
Производственная функция у = f(xx,х„, ах,ат) называется статической, если ее параметры ах,...,ат и сама ее характеристика /
не зависят от времени, хотя объемы ресурсов и выпуска продукции могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов Л:/(0),Л:/(1),...,Л:/(Г),іУ(0),Я1Х ..»ЖХ / = 1, Здесь / = 0,1,..., Т — номер года; / = 0 — базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,..., Т.
Производственная функция называется динамической, если, во-первых, время / фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного ресурса — фактора производства, влияющего на объем выпускаемой продукции); во-вторых, параметры аи...,ат и и ее характеристика / зависят от времени t.
В статических и динамических ПФ время может быть как дискретным, так и непрерывным.
В прикладных ПФ время, как правило, дискретное, и «атомом» времени (т.е. производственным периодом) является один год (квартал, месяц и т.п.). В этом случае объемы ресурсов xx(t\xn(t) и выпускаемой продукции y(t\ а также параметры ax(t\..., am(t) «привязаны» к периоду времени t. В теоретических ПФ время t может быть как дискретным, так и непрерывным. Производственные функции с дискретным временем более адекватны реальности, однако ПФ с непрерывным временем более удобны для проведения теоретических исследований.Далее в основном будут рассматриваться двухфакторные ПФ у = f(xux2; ах,...,ат). Во-первых, при исследовании двухфакторных ПФ можно использовать наглядные геометрические соображения, ибо пространство ресурсов таких ПФ является двумерным. Во- вторых, основные положения теории двухфакторных ПФ по аналогии переносятся на многофакторные ПФ.
> Пример 3.1. Производственная функция вида у = а0ха\ является однофакторной. Здесь л: — Объем затрачиваемого (используемого) ресурса; у - f(x) — объем выпускаемой продукции. В качестве ресурса может фигурировать рабочее время, в качестве выпускаемой продукции — партия валенок. Величины а0 и ах — параметры рассматриваемой ПФ. Параметры а0> 1 и ах> 0 и обычно ах < 1. Таким образом, здесь п -1, т = 2.
Объемы х и у, а также параметры а0 и ах «привязаны» к не-которому фиксированному производственному периоду, который может равняться, например, одному году. Если производственный период меняется, то объемы х и у, а также значения параметров а0 и ах могут измениться.
График Г производственной функции y = a0xOi изображен на рис. 3.1. Он показывает, что с ростом объема х затрачиваемого ресурса растет объем у выпускаемой продукции, однако каждая до-полнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции: f(xx +1) - f(xx) < /(JC0 +1) - /(х0), х{ >х0. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом объема ресурса х) отражает важное положение экономической теории, хорошо подтверждаемое практикой, называемое законом убывающей эффективности.
> Пример 3.2. Производственная функция вида у = а0х"] х22 является двухфакторной.
Она называется производственной функций Кобба—Дугласа (ПФКД) по имени двух американских исследователей, которые предложили ее использовать в работе, опубликованной в 1929 г. В приложениях и в теоретических исследованиях: х{ = К — объем используемого основного производственного капитала; х2 = L — затраты труда. Є использованием символов К и L рассматриваемая ПФ перепишется так: у = а0Ка* L°2.Параметры а0,аІ9 а2 — положительные величины; часто ах +а2 Пример 3.3. Линейная производственная функция (ЛПФ) имеет вид у = а0 + ахх\ + а2х2 (двухфакторная) и у = а0+ а{хх +... + апхп
Если а{ + а2 Пример 3.4. Производственная функция затраты—выпуск (ПФЗВ) (производственная функция Леонтьева (ПФЛ)) имеет вид: у = mm
с \ Х\ х2
ах' а2 Пример 3.5. Производственная функция с постоянной эластичностью замены ресурсов (ПФ ПЭЗР) (производственная функция CES, если использовать западную аббревиатуру) имеет вид:
у = а0-(а1хГ+а2х-2аГш.
Линия уровня т /т ={(^i,^2)|T=:/(хі>хг)> х\ >0}производственной функции называется изоквантой, т.е. линией постоянного выпуска т. Уравнение изокванты, содержащей конфигура-цию ресурсов х° =(хі,х% У строится так: сначала определяем объем выпуска т° = /fxi°,x2), а затем выписываем само уравнение изокванты т° = /{хх,х2\
Пример 3.6. Для ПФКД имеем уравнение изокванты:
т0 =а0х?х22
откуда следует равенство:
х2
хщ1щ
графиком которого является гипербола /То с вертикальной асимптотой Х\ = 0 и горизонтальной асимптотой х2 = 0 (рис. 3.4).
/ \1/л2
А — 1 : ->
Рис. 3.4
При Ті < т0 гипербола /Т) расположена «юго-западнее» гиперболы 1Ч, при т2 > т0 гипербола расположены «северо- восточнее» гиперболы /То. Изокванты, соответствующие различным объемам выпусков т{ ф т2 , не касаются друг друга и не пересекаются.
Все сказанное справедливо для изоквант других ПФ, которые отличны от ПФКД у = а0х°1 х2 • Множество всех изоквант называется картой изоквант. На конкретном рисунке можно изобразить лишь фрагмент карты изоквант (на рис.
3.4 он похож на «совокупность кривых макарон»).На изокванте /То (см. рис. 3.4) изображены две конфигурации ресурсов: х = (xi,x2) и х = (хих2), которые отличаются друг от друга, но обеспечивают одинаковый выпуск т0 продукции. Если рассматриваемая ПФ описывает копание ямы, то число т0 равно объему ямы, Х\ - количество капитала, х2 - количество труда. В этом случае конфигурация х = (3сь3с2) ресурсов показывает, что яму объемом т0 можно выкопать, затратив много труда и относительно мало капитала. Содержательно эта ситуация интерпретируется артелью с лопатами (отметим, что лопата — дешевый капитал). Конфи-гурация х = (х{, х2) ресурсов показывает, что яму объемом т0 можно выкопать, затратив много капитала и относительно мало труда. Содержательно эта ситуация интерпретируется экскаватором, на котором работает один экскаваторщик (отметим, что экскаватор — это дорогой капитал).
Движение конфигурации х по изокванте /То неограниченно вправо — содержательно интерпретируется таким образом: объем т0 выпускаемой продукции может обеспечить один капитал фактически без затрат труда, что не вполне адекватно реальности. Аналогично интерпретируется ситуация с движением конфигурации х по изокванте /То неограниченно вверх. Таким образом, ПФКД адекватна реальности в конечной части пространства ресурсов OjCjJC2.
> Пример 3.7. Для ЛПФ имеем уравнение изокванты /То:
То +а2х2.
Следовательно, изокванта /Х) есть прямая (нисходящая, если ах> О и а2 > 0), точнее отрезок этой прямой, расположенный в пространстве ресурсов, которое представляет собой неотрицательный ортант плоскости 0х,х2. На рис. 3.5 показан фрагмент карты изоквант ЛПФ (ОТМеТИМ, ЧТО < т0 < т2).
*2
т 0-а0 xi 0
Рис. 3.5
/
/ х2 = —
'к 'к
~к ->
Рис. 3.6
Аналогичную карту изоквант имеет ПФ с линейными изокван- тами (ПФЛИ), которая имеет вид:
где показатель степени h > 0.
> Пример 3.8. Для ПФЗВ (ПФЛ) имеем уравнение изокванты /х : с \
т0 = min
Х| х2
а\ ' а2 Следовательно, сама изокванта /То есть две стороны прямого уг-ла, на рис.
3.6 показан фрагмент карты изоквант ПФЗВ (отметим,ЧТО Тх 0 и h > О изокванта 1Ч представлена на рис. 3.7. Непосредственно проверяется, что асимптотами изокванты /То являются прямые JCi = хх(т0) и х2 — х2(Tq),
где 1
/
1 г ао
\аоу
(*) = < Если конфигурация ресурсов х перемещается по изокванте 1Ч
неограниченно вверх (см. рис. 3.7), то содержательно это означает, что для выпуска продукции в объеме т0 при любом объеме х2 второго ресурса необходим первый ресурс в объеме не меньшем, че>1 ^(то) > 0. Аналогично интерпретируется ситуация, когда конфигурация х ресурсов перемещается по изокванте /То неограниченно вправо.
Из сказанного вытекает, что ПФ ПЭЗР более адекватна реальности по сравнению с ПФКД, ибо для обеспечения выпуска в объеме т0 всегда необходимы оба ресурса (капитал и труд), даже если потребности в одном из них возрастают многократно.
При а = -1 изокванта /То есть прямая (точнее отрезок прямой в
неотрицательном ортанте плоскости 0ххх2. Эта прямая /Т( имеет уравнение:
т0 = а0(аххх +а2х2)
/
to
¦ аххх +а2х2.
т.е.
Фрагмент карты изоквант представлен на рис. 3.8.
х2а , , , X2i
0*I(t,)JC,(t0) *,(т2)
Рис. 3.7 Рис. 3.8
При -1 < а < 0 уравнение изокванты /То имеет вид:
т0=а0(а^+а2х^ (р = -а). Следовательно, сама изокванта /То есть линия, представленная на рис. 3.9, на котором также изображены изокванты /Tj и 1Ь (т\ < т0 < т2). При а < -1 уравнение изокванты /То имеет вид:
.T0=a0(aljcf+a2xf)A/p. (Р = -а). Следовательно, сама изокванта /То есть линия, представленная на рис. 3.10, на кагором также изображены изокванты !Хх и 1Хг (т, < т0 < т2).
Х2А
W/p
Рис. 3.9
(я,)1713 Рис. 3.10
Непосредственно проверяется, что
N-А/а
Ґ \~а а{ +а2
lim а0 а +а2х2а) h/a = а0 lim х\
а-»0 а->0 а0хх
ч/г/а
/ л *2.
lim
а->0
lirri
а-»0
+#2
(Л)
а \ А/а Л lim- (ZQXx , ч а а2 to-Э- (
нескольких видов продукции
Gx(yx, ...9уг;хх, ...9хп;ах, ...9ат) = 0,.;., Gr(yx, ...,уг;хх, ...,х„;ах, ...9ат) = 0.
Неявная форма представления объема выпуска (объемов выпуска) используется лишь в теоретических исследованиях.
Еще по теме 3.1. Однофакторные и многофакторные производственные функции:
- 5.1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
- 4.4. Экономико-математическоемоделирование многофакторной производительности
- ТЕМА 4. ИНФЛЯЦИЯ КАК МНОГОФАКТОРНОЕ ЯВЛЕНИЕ. АНТИИНФЛЯЦИОННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ
- 7.3. Условия трудаУсловиями труда называются характеристики производственного процесса и производственной среды, воздействующие на сотрудника предприятия
- 45. Разработка производственной / программы предприятия. Этапы разработки производственной программы
- Вопрос 51. Денежная масса и ее измерение: общее и различия в монетаристском и кейнсианском подходах Вопрос 52. Кредит: сущность, функции и формы Вопрос 53. Кредитно-банковская система, ее структура и функции Вопрос 54. Ценные бумаги: сущность, виды, цикл жизни. Рынок ценных бумаг
- 21. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ КООПЕРАТИВЫ
- 6.1. Производственная технология
- 6.1. Производственная технология
- ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ
- 5.8. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ КООПЕРАТИВЫ
- ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ КООПЕРАТИВЫ