<<
>>

1.6. Отступление от классических предпосылок

В этом параграфе рассматриваются следствия и возможные действия при различных вариантах отступлений от классических предпосылок.

Ошибка спецификации: переменные, не включенные в модель

До сих пор мы проводили анализ, предполагая, что исходная модель правильно специфицирована и удовлетворяет классическим допущениям.

Представим себе, однако, что в модели отсутствует некоторое количество важных объясняющих переменных, а на самом деле истинная модель должна иметь вид:

Y = X$ + Zy + u, (1.70)

где Z — (Тх г)-матрица наблюдений; у — r-мерный вектор.

Таким образом, вместо уравнения (1.70) мы имеем дело с ошибочно специфицированной моделью Y = Xp + v, в которой пропущены г объясняющих переменных (omitted variables). Вектор остатков v = Y-Xр этой регрессии может быть записан в виде:

v = MxY,

где Mx=I-X(XXylX'.

Подставляя истинное выражение для Y и пользуясь очевидным равенством МхХ = 0, получим v = Mx(X$ + Zy + u) = MxZy + Mxu и, следовательно,

E(v) = MxZy.

(1.71)

Последнее означает, что вектор остатков v содержит пропущенные переменные Z и имеет математическое ожидание, равное вектору остатков регрессии Zy по X. Это позволяет использовать остатки v при тестировании на ошибки спефикации.

Выясним, являются ли МНК-оценки регрессии Y-Xp + v несмещенными. Подставляя выражение (1.70) в формулу для оценивания р = (ХХ)~] XY = PXY и используя равенство РхX = I, получим

?(p) = p + PrZy*p.

Следовательно, наличие пропущенных переменных приводит, вообще говоря, к смещенным оценкам. Однако, если Хи Z ортогональны, т.е. X'Z = 0, то смещения не будет.

Ковариационная матрица неклассического вида

В параграфе 1.5 перечислялись классические условия, накладываемые на случайные отклонения регрессионной модели — наличие нулевых средних, одинаковых дисперсий и отсутствие коррелиро- ванности между разными случайными отклонениями:

Е(и) = 0, Var(w) = а2/ .

Нарушение предпосылки о нулевых средних не влечет за собой больших проблем: оно легко преодолевается включением в уравнение регрессии свободного члена.

Нарушение свойства гомоскеда- стичности случайных отклонений, т.е. условия диагональности ковариационной матрицы случайных отклонений и совпадения всех диагональных элементов, ведет к значительным последствиям.

Каждый диагональный элемент ковариационной матрицы представляет собой дисперсию очередного выборочного наблюдения. Если эти дисперсии разные, то речь идет о свойстве гетероскеда- стичности случайных отклонений (в противоположность свойству гомоскедастичности, при котором дисперсии одинаковы). Это означает, что компоненты вектора случайных отклонений могут иметь разные распределения.

Каждый недиагональный элемент ковариационной матрицы является ковариацией между двумя регрессионными отклонениями, соответствующими двум разным выборочным наблюдениям. (Например, элемент матрицы, стоящий в третьей строке и втором столбце - это ковариация отклонений, относящихся к третьему и второму наблюдениям.) Если все недиагональные элементы равны нулю, то говорят, что отклонения некоррелированы, в противном случае имеет место сериальная коррелированность регрессионных отклонений.

Если вектор отклонений обладает свойством гетероскедастично- сти и/или сериальной коррелированное™, то ковариационная матрица не будет иметь классического «скалярного» вида:

Е(ии') = П*о21. (1.72)

Так как доказательство несмещенности оценок, полученных обычным МНК, строится только на свойствах моментов первого порядка, то и в этом случае (несмотря на нарушения классических условий) мы также получим несмещенные и состоятельные оценки параметров модели. Однако распределение вектора обычных МНК-оценок будет другим, в частности, ковариационная матрица

оценок Р будет иметь вид:

Var(p) = Е[( р - РХР - Р)'] = Е[{Х'ХУХ Х'ии'Х(ХХу1 ] =

= (XXy1Xf QX(XXy\ (1.73)

т.е. будет отличаться от аналогичной матрицы, полученной ранее в клас-сическом случае, s2(XXyl. Существуют два возможных способа разрешения этой проблемы. Первый способ — преобразовать модель таким образом, чтобы ковариационная матрица остатков стала «скалярной» и затем применять МНК.

Это — так называемый обобщенный МНК (ОМНК). Заметим, что этот метод предполагает знание структуры ковариационной матрицы Q,. Второй способ — оценить Р обычным МНК, так как полученные оценки будут несмещенными и состоятельными, но использовать состоятельную оценку матрицы Q для получения (с помощью формулы (1.73)) состоятельной оценки ковариационной матрицы Var(P) обычных МНК-оценок. Так как информация о структуре Q во втором подходе не используется, то будут получены менее эффективные оценки, чем при первом способе. В то же время второй способ представляется более удобным, поскольку состоятельное оценивание матрицы Q достигается вне зависимости от знания формы гетероскедастичности или сериальной коррелированности.

1.6.3. Обобщенный метод наименьших квадратов

Рассмотрим вариант обобщенной модели линейной регрессии

Y = X$ + u; Е(и) = 0; Е(ии') = а2П, (1.74)

в котором предполагается, что Р и а2 неизвестны, a Q известна. В рамках модели (1.74) ковариационная матрица зависит только от одного неизвестного числового параметра а2, поэтому реализация ОМНК (оценка ковариационной матрицы отклонений) сведется к оцениванию а2.

Пусть Q — положительно определенная матрица, тогда, как известно из курса линейной алгебры, существует невырожденная матрица Р, такая что

PQP' = /,

откуда следует, что

Умножив (1.74) на Р, получим:

PY = PX$ + Pu,

или

Y* = X* p + w*, (1.75)

где J* = PY, = РХ, и* = Ри.

Вычислим коварационную матрицу остатков и заметим, что она имеет классический «скалярный вид»:

38

Е(и * и*') = Е(Рии'Р') = а2РОР' = а2/.

Тогда, в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова, применив к (1.75) обычный МНК, получим наилучшие линейные, несмещенные оценки р: (1.76)

Ромнк = (х *' X *' Y* = (Х'Р'РХУ1 X'P'PY = = (Х' Q-lXylX' Q~lY. Интуитивно понятно, что обобщенный МНК дает более эффективные оценки, чем обычный МНК, потому что он в определенном смысле «взвешивает» данные. Например, в случае гетероскедастичных и сериально некоррелированных регрессионных отклонений, наблюдения, соответствующие большим значениям дисперсии отклонений, будут вносить меньший вклад в формирование оценок (получат меньший вес), чем наблюдения, соответствующие меньшим дисперсиям отклонений.

Заметим, что для реализации ОМНК требуется знание матрицы Q .

Вообще говоря, исследователь должен сначала оценить матрицу Q , а потом использовать эту оценку в дальнейшем анализе, например при вычислении соотношений типа (1.76). Таким образом, мы приходим к практически реализованной или доступной ОМНК-оценке. Способ оценивания матрицы Q будет зависеть от того, предполагает ли исследователь наличие гетероскедастичности, автокоррелированности или их сочетания.

1.6.4. Гетероскедастичность

Рассмотрим снова кейнсианскую функцию потребления, в которой считается, что текущее потребление yt зависит от текущего

дохода xt : (1.77)

yt =Рі+Р2*,+є,. При этом разумно предположить, что дисперсия случайных отклонений растет по мере роста дохода. Действительно, в соответствии с общей теорией потребления, индивидуум, имеющий больший доход, имеет и большие возможности разнообразить свое потребление. Предположим, к примеру, что дисперсия случайного отклонения пропорциональна квадрату дохода: (1.78)

= ст2 = ах2.

Разделим (1.77) на xt :

*

(1.79)

У* =РІ*/+Р2+?І где у* = yjxt ; z* = \/xt ; є* = et/xt . Дисперсия случайного отклонения в новом уравнении будет равна

Z)(s*) = D(et)/x? = ахf /х2 = ос,

т.е. выполняется свойство гомоскедастичности. Тогда мы можем применить МНК к уравнению (1.79) и получить оптимальные оценки. Обобщая все вышесказанное, запишем уравнение в матричном виде: (1.80)

Y* = Jf *{3 + s*;

J_ Q = а

Р =

(1.81) г J

Заметим, что PQP' = aI — «скалярная» матрица, таким образом, ОМНК-оценки (т.е. МНК-оценки, полученные из (1.79)) будут иметь требуемые свойства.

Более общий метод, предложенный Уайтом (1980 г.), дает несмещенную оценку вектора (3, основанную на обычном МНК, и оценку

матрицы Q в виде диагональной матрицы с квадратами регрессионных остатков на диагонали: 0

2? ё22 Q =

(1.81, а) 'ТА

Уайт доказал, что

РШ(Х'ХУ{Х' OX(XX) = (ХХ)~1 X' ОХ(ХХ)Т->0о

значит, формула -і

Var (рмнк) = (ХХУ1X' ОХ(ХХ) может быть использована дая получения состоятельной оценки ковариационной матрйцы МНК-оценок.

В современных пакетах программ, таких как EViews, предусмотрено вычисление состоятельных стандартных ошибок дая МНК-оценок коэффициентов на основе приведенной формулы.

1.6.5. Автокорреляция

Для примера рассмотрим временной ряд с автокорреляцией остатков первого порядка:

yt= $t+p2xt+et;. (1.82)

є, =peM+v,, (1.83)

где vt — «белый шум», причем дая того, чтобы гарантировать стационарность рада отклонений s,, будем считать, что |р| < 1:

E(vr) = 0; (1.84, а)

?(v,2) = av2; (1.84, b)

E(vtvt_j) = 0 для у Ф 0. (1.84, с)

Если записать уравнение (1.82) дая момента времени /— 1, умножить его на р и затем полученное выражение вычесть из уравнения (1.82), то получим

/ =Pl(l-p) + M*+vM

где у* = (у, - рум), X* = (*, - рхм) .

Поскольку vt является белым шумом, применение МНК к преобразованному уравнению даст оптимальные оценки.

Для того чтобы показать эквивалентность данной процедуры оценивания и обсужденной ранее процедуры ОМНК, нам понадобится найти ковариационную матрицу вектора авторегрессионных случайных отклонений.

Мы уже обсуждали свойства AR(1) модели. В частности, уравнение (1.83) может быть переписано в виде:

А 00

Є, = V, + pv,_, + р v,_2 + р v,_3 + р V,_4 + ... = I р\ч. (1.85)

/=0

Подставляя (1.85) в (1.82), мы видим, что yt подвержено влиянию серии остаточных членов с геометрически убывающими весами. Таким образом, процесс генерации рада у — динамический (факт, который не является очевидным в (1.82)).

Из (1.85) мы имеем:

(1.86)

что следует из предположения, что v — процесс белого шума (1.84, а). Таким образом, предположение о том, что случайные отклонения єt имеют нулевую среднюю, оказывается справедливым.

Теперь построим ковариационную матрицу для вектора є = (є1є2...єг)'. Используя (1.84, Ь) вычислим:

?(e2) = ?(v2 + p2v2_1+p4v2_2+p6v2_3+ ... + pv,v,_i+P2v,v,-2 + ...) = = ?(v2) + p2?(vf) + p4?(v2.2) + p6?(v2_3)+ ... = (1.87)

= а2[1 + р2+р4+р6+...] = а2/(1-р2).

Отметим, что смешанные произведения Evt -vt_k в (1.87)

исчезают, поскольку v — некоррелированный процесс (1.84, с).

С помощью аналогичной процедуры, выводим ковариацию между двумя отклонениями, отстоящими на j периодов:

E(vtvt_j) = E(vtvt+j) = р'а2 /(1 -р2).

Таким образом, искомая ковариационная матрица может быть записана в виде: Р Р 1

Р

Р 1

Т-2

Q = ?(єє'):

(1.88)

1-Р2

Т-4

т-1

Т-3

Т-2 Теперь необходимо найти матрицу Р, такую что Р'Р = ?і Можно показать, что эта матрица равна V(i- р2)

о

о о

Р =

(1.89)

О -р

Если (1.82) записать в матричной форме

Y = X р + є

и затем умножить на Р слева, то получим уравнение:

Г* = Х*р + є*,

где

(1.90, а)

у*= Уі~РУ\ Ут-РУт-і л/О-Р2) V(l-P2>i

(1.90, А)

1 - р х2 - pxj 1 - р - Л

-Р2)- 8* =

(1.90, с) Нетрудно показать, что-у/(1-р2) имеет дисперсию с2 и не кор-релирует с V/ ддя t > 2. Так что

?(s*s*') = с2/.

Таким образом, применяя обычный МНК к преобразованным дан-ным, т.е. ОМНК к исходным, мы реализуем оптимальный метод оценивания. Этот метод отличается от интуитивной процедуры корректировки AR( 1)-отклонений только применительно к первому наблюдению.

На практике константа р, как правило, неизвестна. Следовательно неизвестна и матрица Q , поэтому этот параметр должен быть оценен. Существует несколько процедур, позволяющих произвести такое оценивание. Во-первых, это так называемая процедура Хилдре- та—Ли (Hildreth—Liu), в соответствии с которой производится поиск р по достаточно частой сетке значений из отрезка [—1, 1]. Для каждого значения р подсчитывается оценка ОМНК и сумма квадратов отклонений (У* - Х*р)'(^К* — Х*р). Выбирается такое значение р, для которого сумма квадратов отклонений минимальна.

Другой алгоритм предложили Кохрейн и Оркатт (1994 г.).

Итерационная процедура Кохрейна—Оркатта начинается с МНК-оценивания параметров модели (1.82). Полученные несмещенные и состоятельные оценки позволяют получить вектор остатков. Результирующие оценки є могут теперь быть использованы в качестве «наблюдений» в регрессионной модели (1.83) и применение к ней МНК даст оценку для р. Это позволит найти ОМНК- оценки р и затем получить более эффективные оценки для є. Далее МНК применяется к новому набору остатков и находится более эффективная оценка р, которая снова используется для построения ОМНК-оценки, и т.д. Процедура прекращается, когда очередные оценки р оказываются практически неразличимыми.

1.6.6. Стохастические регрессоры

Второе классическое предположение, которое мы указали в параграфе 1.5, предполагало, что регрессоры нестохастичны и потому независимы от ошибок:

Е(Х'и) = 0.

Это предположение было необходимо для получения свойства несмещенности МНК-оценок. Однако предположение о неслучайности (детерминированности) регрессоров, т.е. постоянстве их значений в повторяющихся выборках, может оказаться слишком ограничительным. Например, в правой части модели в качестве регрес- сора может выступать лаговая зависимая переменная, отражая определенную степень инерционности в ее поведении. Вообще говоря, мало убедительны утверждения, что одни экономические пока-затели, такие, как потребление, ведут себя во времени стохастично, тогда как другие, такие, как доход, — нестохастичны. Более того, могут существовать случайные эффекты при измерении регрессоров, или рассматриваемое нами уравнение может как часть входить в какую-то систему одновременных уравнений, что влечет за собой наличие стохастической обратной связи между переменными.

Если регрессоры являются случайными (недетерминированными), но выполняется предположение об их независимости со случайными ошибками, то можно показать, что большинство привычных свойств для МНК-оценок сохраняется. Свойства МНК-оценок регрессоров, построенных по малым выборкам, в предположении стохасгичности регрессоров не могут быть прежними, хотя в значительной мере остаются таковыми, если имеет место одномоментная некоррелированность ( 00

где is — невырожденная матрица, то МНК-оценка будет состоятельной: р lim (3 = р \im(X* Х)~х X%Y = р \im(XXyx Х\Х$ + м) =

Г~>оо Г-> 00 Г->оо

=р+ю=р.

Предположения (1.92) заменяют второе классическое условие. Предположение (1.92, а) будет выполняться, если матрица X состоит из реализаций стационарного многомерного стахастического процесса с невырожденной одномоментной ковариационной матрицей. Можно также показать, что стандартные формулы для оценки дисперсии регрессионных отклонений и ковариационной матрицы векторной МНК-оценки р также будут состоятельны.

1.6.7. Ошибки измерения переменных

Причиной стохастичности регрессоров могут оказаться ошибки в измерениях переменных. Однако в этом случае МНК-оценки оказываются несостоятельными.

Пусть, например, известно, что Y и X связаны точной линейной связью:

Y = X р, (1.93)/>но вместо непосредственного наблюдения X и Y мы наблюдаем переменные X и У, которые могут быть «загрязнены» случайными ошибками измерения

Х = Х + $; (1.94, а)

Т = 7 + ц. (1.94, Ъ)

Предположение об отсутствии автокорреляции в ошибках измерения не всегда разумно. Например, если X — предложение денег, то имеет смысл предположить, что ошибки измерения подчиняются модели скользящей средней первого порядка:

Cr=v,+evf4, (1.95)

где V, — белый шум.

Такая модель описывает механизм формирования ошибок измерения, в котором ошибка такущего периода имеет тенденцию ком-пенсироваться на долю 0 в следующем периоде. Подставляя (1.93) в (1.94), имеем:

Y = X(З + со, (1.96, а)

где

co = jn-(3C. (1.96, b)

Если допустить, что ошибки измерения некоррелированны, то ковариационная матрица для со будет иметь вид:

Дсосо') = а2/ + р2а^/ = ст2/, (1.97)

где ст2 и а^ — дисперсии jn соответственно.

Из (1.97) ясно, что со имеет классическую («скалярную») ковариационную матрицу.

Из уравнений (1.96, а) и (1.96, Ь) ясно, что остатки со в (1.96, а) коррелированны с регрессорами X, что нарушает одно из классических предположений, обсужденных нами в разделе 1.5 и необхо-димых для получения свойства несмещенности МНК-оценок. Более того, МНК-оценки не являются более состоятельными (хотя условие (1.92, а) может выполняться, но условие (1.92, Ь) будет нарушено):

рПтТ~1ХХ = 1;

Г—>оо

р lim T~la = p lim Т~х (X + Q '(ц - pQ = Рст^/ Ф 0.

Г->эо Г->оо

Таким образом,

/?limP = p\im(XX')-{ X'Y = р\\т(ХХ)~х Х\Х$ + &) =

Г—>оо Г—>оо Т->сс

= $ + p\imT(XXyx p\imT(XX)~x рПтТ^Х'а = -pa^S"1 Ф p.

Г—>oo Г—>oo 7—>оо

1.6.8. Одновременные уравнения

и инструментальные переменные

Корреляция между объясняющими переменными и регрессионными отклонениями может возникать при наличии системы одновременных уравнений. В системе таких уравнений существует одномоментная обратная связь между эндогенными переменными системы. МНК по каждому отдельному уравнению, таким образом, дает смещенные и несостоятельные оценки параметров.

Можно реализовать одновременное оценивание всех уравнений модели, однако часто на практике нужно оценить лишь отдельное структурное уравнение. Тем не менее следует понимать, что рассматриваемое уравнение может являться частью более широкой одновременной системы и тогда МНК неприменим. Состоятельные оценки могут быть получены методом инструментальных переменных (ИП) по отдельным уравнениям, хотя не всегда ясно, как выбрать определенный набор инструментальных переменных и будут ли они независимы от остатков. Метод инструментальных переменных — это процедура оценки отдельного уравнения, которая не анализирует информацию, содержащуюся в остальных уравнениях системы.

Метод инструментальных переменных (ИП) основан на следующем подходе: выбирается набор переменных (инструментов), которые удовлетворяют классическим предпосылкам, и эти переменные используются для построения «заменителей» для эндогенной переменной.

ИП-оценивание проводится следующим образом. Пусть имеется линейная регрессионная модель, в которой набор регрессоров состоит из двух частей: первая (Х\) состоит из к\ переменных, асимптотически некоррелированных с ошибками и; вторая (А^) состоит из к2 переменных, коррелированных с ошибками и. Таким образом,

Y = XP + U = (X19X2)P + U, (1.98)

где

p\imT~l (Ххи) = 0; (1.99, а)

Г->

рШТ"1(Хщ2и)Ф0. (1.99, Ь)

Т->

Предположим, что существует набор W\ из к2 переменных, называемых инструментальными, которые обладают следующими свойствами:

pKmT\wlu) = Q\ (1.100)

Г->

р lim Т~{ (ЩХ2 )ф0.

Г->оо

Отсюда W\ некоррелированно в пределе с ошибками и и существует ненулевая корреляция между W\ и Xi (с матрицей асимптотически постоянных моментов W\Xj).

Полная матрица инструментальных переменных состоит из двух подматриц

W = (WuXx\ (1.101)

где Х\ — собственные инструментальные переменные; W\ замещают Х2

Умножим (1.98) на W* и возьмем предел по вероятности:

p\\mT~\W'Y) = p\\mT~\W' Х)$ + p\\mT~x(W:u). (1.102)

Г->оо Г—>оо Г->оо

Рассмотрим выборочные моменты в качестве оценок соответствующих теоретических величин (существование которых мы здесь предполагаем); используя уравнения (1.100), легко убедиться, что

Рип ~~~ оценка инструментальных переменных имеет вид

Рип =(W'X)~l(W'Y). (1.103)

Отметим, что, если все переменные X удовлетворяют классическим предпосылкам, тогда Wсовпадает с ій это уже обычная МНК-оценка. Асимптотическая ковариационная матрица ИП-оценки

(которую мы обозначим Уаг(рип)) может быть представлена в следующем виде. Подставляя (1.98) в (1.104), получим

= (1.104)

Имеем: х

Уаг(рип) = p\\mT(WXy p\\mT~l(W'uu'W)

(1.105)

Т-+оо Т-+оо

X Р lim Т (X' wyx = а2 (wxy{ (W' W)(X W)'1. Г—>со

Оценка рип — состоятельна (см. (1.105)), используя (1.99), (1.100) и (1.101), остатки

иип=У-Х рип (1.106)

могут быть использованы для получения состоятельной оценки а2:

4п=(йип"ип)/^. (1.107)

Отметим, что X, а не W используется в (1.106), и что (1.105) превратится в формулу для МНК, когда Хи W совпадают.

Теперь в иллюстративных целях обратимся к простейшей системе одновременных уравнений с двумя уравнениями:

У\ = аУ2 + Рхі + єі 9 (1.108, а)

У г =УУ\ + 6*2 + є2> (1.108, b)

где

р\im(x}sj)/T = 0 (ij = 1, 2);

Г-» 00

E(eus2t) = E(z[ts2t_j) = 0.

Чтобы избежать проблем, возникающих в связи с одновременностью эндогенных переменных у\ь y2t, мы предполагаем, что случайные отклонения в обоих уравнениях являются процессами белого шума и что между отклонениями разных уравнений нет одномоментной связи. Приведенная форма уравнений системы имеет вид:

Ум = хип 11 +x2tn\2 +V1>; (1.109, а)

y2t=X\tK2\ +X2tK22+V2t> (1.109, Ь)

где

Щ\ =(1-ау)",р; я12 = (1 - ау)"1 а0; я21 = (1 - ау)"1 ур; л22 = (1 - ау)-10;

vu = (1 - ау)_1(єі/ + ає2/); v2/ = (1 - ау)_1(є2/ + уєи).

Важно заметать, что в (1.109, а) и (1.109, b) переменные уи, y2t зависят от линейной комбинации структурных отклонений є//(/= 1, 2). Это происходит благодаря одновременности системы и, таким образом, классические предпосылки из параграфа 1.5 не выполняются, так же как и условия (1.92, А), откуда следует, что МНК- оценки будут смещенными и несостоятельными. Для построения состоятельных оценок коэффициентов системы одновременных уравнений используется метод инструментальных переменных.

В данной главе мы рассмотрели стандартные эконометрические результаты МН К-оценивания отдельного уравнения, показали, что при определенном наборе предпосылок МНК позволяет получить оптимальные оценки, а также, что использование данной техники в случае нарушения выдвинутых предпосылок не дает оптимальных результатов.

Вопросы и задания

1. У вас есть случайная выборка {х19у^"=1 реализаций двух случайных

величин — х и у. Каким образом вы можете рассчитать теоретический коэффициент корреляции между случайными величинами х и у?

А) a. IZ^-t)2. ЧХ^УІ-У)2'

Л

ху-ху

Xі- х2)-{у2-у2)

— 1 " 2 — 1 ? где X =-2>,-, ху = -хіУі' И ;=| И ,=i

Q Ufa! ХіУі

І иіч-ПУі-ї) . Vl ?=>(*.¦ -xf-XUyi-y)2'

нет правильного ответа.

Зависимость между случайными величинами х и у описывается следующим образом: х = Ь-у у, где 5 и у — положительные константы. Тогда выборочный коэффициент корреляции между хиу равен:

8;

у;

Q ±у в зависимости от знака х ; D) —1;

В парной регрессии /-статистика для коэффициента р равна 2,4.

Также известно, что критические значения соответствующего /-распределения равны 2,23 и 3,17 для 5-процентного и 1-про-центного уровней значимости соответственно. Тогда гипотеза о равенстве р нулю:

принимается на 5-процентном, но отвергается на 1-процентном уровне значимости;

отвергается и на 5-процентном, и на 1-процентном уровнях значимости;

Q отвергается на 5-процентном, но принимается на 1-процентном уровне значимости;

принимается и на 5-процентном, и на 1-процентном уровнях значимости;

вероятно, в расчеты вкралась ошибка.

Выберите правильное утверждение для парной регрессии:

R2 - г2^ , где г — выборочный коэффициент корреляции между у и у ; =& + pjcf. (/ = 1,...,«)-регрессионные значения у;

R2 = 0 тогда и только тогда, когда (3 = 0;

Q R2 = 0 тогда и только тогда, когда =0, где ei =yi -yi

(і = l,...,w) — регрессионные остатки;

R = гух\

R = t, где t — значение /-статистики для параметра р .

Выборочная дисперсия a2 =-"S?=i(JC/ ~*)2 является смещенной

п

оценкой теоретической дисперсии а2 = Е(х - Ех)2 , потому что: А) в выборке значений по определению меньше, чем в генеральной совокупности;

х автоматически находится в центре выборки, поэтому отклонения от него меньше, чем от Ех\

она в п раз меньше, поскольку содержит множитель 1 /л;

с ростом п выборочная дисперсия убывает, а теоретическая дисперсия остается постоянной;

все вышесказанное верно;

Какую гипотезу проверяет тест структурных сдвигов (тест Чоу)?

Н0: а2 = const для всех /;

#0: р; = р" для всех і и а' = а";

#0: pj = р" для всех /;

#0: р7 = 0 для всех /; ?) #0: Л2 =0.

Была оценена следующая регрессия ( в экономике труда она называется уравнением Минцера). yt = а + р^+5^+є/, где у — логарифм

дохода; х — уровень образования; d — фиктивная переменная, равная 1 для мужчин и 0 для женщин. Как с помощью этой модели проверить гипотезу о наличии половой дискриминации по зарплате:

если оценка р незначима, то дискриминации нет;

значимо отличная от нуля оценка 8 говорит о наличии дискриминации;

значимо отличная от нуля оценка 8 говорит об отсутствии дискриминации;

если R2 большой, то модель верна, а значит, дискриминация есть;

данная гипотеза в рамках нашей модели не формализуется.

Пусть у — потребление жевательной резинки (кг/год на одного человека); х — возраст человека (число полных лет); d — фиктивная переменная, равная 1, если человек курит, и 0 — в противном случае. По 250 наблюдениям, взятым из возрастного диапазона от 15 до 30 лет, была построена следующая регрессия:

у і = 2,175 + (-0,066 + 0,012 dt) xt + et,

причем все оценки оказались значимыми и регрессия в целом тоже значимой. Тогда можно утверждать, что:

в среднем с каждым годом человек потребляет на 0,054 кг жевательной резинки меньше;

курильщики потребляют в среднем меньше жевательной ре-зинки, чем некурящие;

в среднем с каждым годом люди потребляют на 0,066 кг жевательной резинки меньше;

с каждым годом курильщики потребляют в среднем на 0,012 кг жевательной резинки больше;

с каждым годом курильщики потребляют в среднем на 0,054 кг жевательной резинки меньше.

В общем случае НЕЛЬЗЯ утверждать, что коэффициенты регрессии, при прочих равных условиях, являются тем более точными, чем:

меньше теоретическая дисперсия ошибки;

меньше связаны между собой объясняющие переменные;

больше число наблюдений в выборке;

больше выборочный разброс регрессоров;

больше переменных включено в модель.

Случайные величины х и у подчиняются следующей регрессионной зависимости: у = $х + е, Ег = 0, Dz-1. У вас есть случайная выборка из двух наблюдений ух = 2, у2 =1, хх = 3, х2 =4. Чему равна МНК-оценка параметра р ?

А) -1; В) —0,4; С) 0; D) 0,4; Е) 1.

Вы оценили модель множественной регрессии и получили следующие результаты (в скобках даны стандартные ошибки):

yi = 3,43 + 2,10х2/ + 5,21х3/ R2 =0,57; п = 35. Вам надо про(2,41) (0,97) (1,14)

верить гипотезу #0 : Рз = 3. Допустим, вы выбираете 5-процентный уровень значимости (соответствующее критическое значение равно 2,04). Сколько степеней свободы (v) имеет ґ-статистика, каково ее значение (t), и принимаете ли вы гипотезу?

v = 32, t = 1,94, гипотеза принимается;

v = 33,/ = 1,94, гипотеза принимается;

v = 33, / = 4,57, гипотеза отвергается;

v = 35,/ = 4,57, гипотеза принимается;

v = 32, / = 0,97, гипотеза отвергается.

Признаком точной мультиколлинеарности является:

#0: р. > 0 для всех j отвергается;

/- статистики незначимы, a F- статистика значима;

незначимость уравнения регрессии;

Я0: R2 = 0 не отвергается;

компьютер отказывается считать МНК-оценки коэффициентов регрессии.

Переменные х и у связаны следующей зависимостью:

f3 + 2*/f / = 1, ...,10; Уі \7, / = 11, ...,20.

Какую модель должен построить исследователь, чтобы по выборке {х/, у i j^j оценить модель, используя фиктивную переменную dh равную 1 при і = 1, ...ДО, и равную 0 иначе?

=а + Рх.+8чем С. В противном случае выбор был бы непосильной задачей для потребителя.

И наконец, предположение 3 соответствует интуитивному представлению о том, что потребитель всегда предпочитает большее количество товара меньшему.

Мы не будем останавливаться на описании возможных видов предпочтений и соответствующих им видах кривых безразличия. Эти вопросы достаточно детально отражены как в отечественной, так и в зарубежной литературе по микроэкономике (см., например, Вэриан Х.В. [1], глава 5).

Проведем анализ поведения потребителя, приняв предположе-ние о том, что потребитель — это homo oeconomicus , ранжирующий

потребительские наборы по определенному, именно ему присущему, правилу. Для описания этого правила введем понятие порядковой функции полезности.

Обозначим набор товаров (потребительский набор) через X, где X — «-мерный вектор, каждая компонента щ которого обозна-чает количество /-го товара в наборе, т.е. X = (,х\, х2, хІ9 ..., Множество всевозможных неотрицательных векторов X образует «-мерное пространство товаров. Для упрощения и наглядности изложения модели потребительского выбора ограничимся случаем двух товаров, т.е. Х= (jq, х2). При этом отметим, что все полученные выводы имеют место для случая любого конечного числа товаров.

Функцией полезности U (х\9 х2) назовем правило, которое каждому набору товаров X = (х\9 х2) ставит в соответствие число U9 которое представляет собой оценку полезности этого набора потребителем.

Если на пространстве товаров задана функция полезности потребителя U = U (х\, х2), то потребитель всегда может сказать, какие из рассматриваемых наббров предпочтительнее, а какие из них эк-вивалентны.

Допустим, имеются три набора: А = (Хха9ХВ = (Xf9Х%) и С = (Xf ,Xf). Если U (А) > U (В), то набор А предпочтительнее набора Д т.е. А у В . Если U (А) = U (В), то наборы А и В эквивалентны для потребителя с точки зрения доставляемой потребителю полезности, т.е. А - В.

Более того, если U(А) > U(В), a U(В) > U(С), то U(А) > U(Q, т.е. из того, что А У В, и В У С следует, что А У С, т.е. выполняется свойство транзитивности для отношения предпочтения между наборами товаров.

Функция полезности должна удовлетворять следующим свойствам:

1) = = „;>х{9 то U(xf9x2) > U(x\9x2)-9 если х\ >х\9 то U(xX9xl) >U(xX9x{2).

d2U/dx2 = и[ < 0, d2U/дх\ = щ < 0;

д>Щх1,х2)= =дЮ(хХ9х2)= ^ > Q

дххдх2 дх2дхх

Первое свойство говорит о том, что рост объема потребления одного из товаров при неизменном объеме потребления другого увеличивает потребительскую оценку набора товаров.

В соответствии со вторым свойством предельная полезность любого из товаров уменьшается, если объем его потребления растет (закон убывающей предельной полезности).

И наконец, третье свойство утверждает, что предельная полезность каждого из товаров увеличивается при возрастании количества другого товара. В этом случае товар, количество которого не меняется, становится относительно дефицитным и, следовательно, дополнительная единица этого товара имеет большую ценность, чем предыдущая.

Задавшись некоторым значением полезности U*9 можно, используя функцию полезности, найти множество всех наборов, полезность которых равняется U*. Они лежат на линии уровня функции полезности, соответствующей значению U* и удовлетворяющей следующему уравнению:

U(x ь*2)= U*. (2.1)

Линии уровня функции полезности называются кривыми безразличия.

Кривая безразличия представляет собой совокупность потребительских наборов, обеспечивающих одинаковый уровень удовлетворения потребностей потребителя (в частности, U= U*).

Отметим, что уравнение (2.1) задает неявную функцию х2 — h(x\)9 которая существует при предположениях 1—3 относительно функции полезности.

Типичная кривая безразличия (U(xu х2) = U*) в пространстве товаров представлена на рис. 2.1.

Заметим, что через любую точку(xf,*®) пространства товаров

проходит некоторая кривая безразличия, для которой U = С/(х1°,х^).

При перемещении по кривой безразличия, например, из точки А в точку В9 происходит замещение товара 2 товаром 19 так как количество товара 1 в наборе В больше, чем в наборе А. Для оценки скорости замещения товара 2 товаром 1 вводится понятие нормы замещения — RS12 (Rate Substitution).

По определению, RS12 = — Ax2/Axi, (2.2)

где Ax, = Xf -Xа < 0; Ax2 = X*-Xа > 0.

Если приращение Ax\ очень незначительно (Ах{ -» 0), то оценкой скорости замещения одного товара другим становится предельная норма замещения MRS12 (Marginal Rate Substitution).

MRS12 = lim 4xl 0(-Ax2/Ax1) = ~(dx2/dx\). (2.3)

Рис 2.1

Норма замещения RS12 оценивает среднюю скорость замещения товара 2 товаром 1 в наборе А (см. рис. 2.1) и изображается графически как tg(P). Предельная норма замещения MRS!2 оценивает

скорость замещения в точке А, равняется «минус» производной х2 (х2 = h (хі)) по х\ и изображается графически как tg(a) = -tg(i).

Легко показать, что предельная норма замещения в любой точке кривой безразличия может быть выражена через предельные полезности товаров. Действительно, для всех наборов товаров, принадлежащих некоторой кривой безразличия, изменение полезности при приращении одного либо другого товара в наборе тождественно равно нулю (по определению кривой безразличия). Это можно записать математически как равенство нулю полного дифференциала функции полезности при некотором значении U, а именно:

dU — dxr(dU/dxi) + dx2'(dU/dx2) = 0. (2.4)

Из (2.4) следует, что ~dx2/dxx = Щ/Щ, (2.5)

т.е.

MRS 12= U[I.U'2. (2.6)

Мы показали, что с помощью функции полезности можно описать предпочтения потребителя. Но этого недостаточно для математической формулировки задачи потребительского выбора. Требуется формализовать условия, ограничивающие выбор потребителя. Таковыми являются прежде всего доход (бюджет) потребителя и цены товаров. Если цену первого товара обозначить р\, цену второго — р2, а доход — М, то множество наборов, которые являются доступными для потребителя, удовлетворяет следующему неравенству:

Р\Х\ + Р2Х2 ^ М, (2.7)

где р\Х\ — расход на х\ единиц товара 7; р2х2 — расход на х2 единицы товара 2.

Среди множества доступных наборов особое место принадлежит тем из них, которые стоят ровно М ден.ед. Для таких наборов (2.7) выполняется как строгое равенство, т.е.

Р\Х\ + р2х2 = М. (2.8)

Они образуют бюджетное ограничение.

Бюджетное ограничение представляет собой отрезок прямой в пространстве товаров. В этом легко убедиться, переписав (2.8) следующим образом:

Х2 = (~Р\Х\)/р2 + М/р2. (2.9)

Наклон прямой, задаваемой уравнением (2.9), определяется отношением цен, а сдвиг ее относительно оси Х2 — величиной М/р2. Изобразим бюджетное ограничение (бюджетную линию) в пространстве товаров (рис. 2.2).

Если потребитель не приобретает ни одной единицы товара 7, то очевидно, что весь свой доход он тратит на товар 2, приобретая его в максимально возможном объеме, равном М/р2 (рис. 2.2). В случае отказа от товара 2 потребитель может приобрести М/р\ единиц товара 7. Таким образом, точки (0; М/р2) и (М/рі\0) являются границами бюджетной линии.

При изменении цен, например цены товара 7, линия бюджетного ограничения сдвигается либо ближе к началу координат (при повышении цены товара 7 до />ц), либо отодвигается от начала координат (при понижении цены товара 7 до р\2) (рис. 2.3).

Когда меняется доход потребителя, бюджетная линия либо опускается вниз (если М уменьшается до М\), либо смещается вверх (если М возрастает до М2) параллельно исходной бюджетной линии (рис. 2.4).

<< | >>
Источник: М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. Моделирование экономических процессов. 2005

Еще по теме 1.6. Отступление от классических предпосылок:

  1. Краткое нелирическое отступление(экскурс по ошибкам человечества
  2. § 2. "Классическая школа"
  3. Немецкая классическая философия
  4. НЕМЕЦКАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ
  5. Классические стили мужской красоты
  6. 3-3. Классический подход к совокупному предложению
  7. Классические стили женской красоты
  8. Глава VII. НЕМЕЦКАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ, ЕЕ ПАНРАЦИОНАЛИЗМ
  9. НЕМЕЦКАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ
  10. Глава IX. Классическая немецкая философия
  11. 2. Классический период античной философии
  12. ВОЗНИКНОВЕНИЕ АНГЛИЙСКОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ БУРЖУАЗНОЙ ПОЛИТЭКОНОМИИ
  13. СТРУКТУРА КЛАССИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЦИОННОГО УПРАЖНЕНИЯ
  14. 1.2. Классическая теория о государственном регулировании экономики
  15. ОСОБЕННОСТИ МАРЖИНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ПО СРАВНЕНИЮ С КЛАССИЧЕСКИМ
  16. 4 . Кризис классического либерализма и новые модели солидарности
  17. § 3. Развитие идей "классической" и иных школ в российской дореволюционной науке
  18. КАНТ Иммануил (1724—1804) — основоположник немецкой классической философии
  19. 5.1. РАВНОВЕСИЕ СОВОКУПНОГО СПРОСА И СОВОКУПНОГО ПРЕДЛОЖЕНИЯ НА РЫНКЕ БЛАГ. ПОЗИЦИИ КЛАССИЧЕСКОЙ И КЕЙНСИАНСКОЙ ТЕОРИЙ
  20. 8. Немецкая классическая философия и ее главные проблемы.Философия Канта: понятие «вещи в себе» и трансцендентального знания. Антиномии чистого разума.