<<
>>

ПРИЛОЖЕНИЕО ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДВУХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ


------------------------------------------------------------------------------------------------
Автор: доктор технических наук, профессор С.В. ЖАК
(См.: С.В.Жак.
Математические модели менеджмента
и маркетинга. Ростов-Дон, "Лапо", 1997).
Проблема различия между "частным спросом" и "общественной потребностью" в тех или иных товарах относится к числу основных вопросов экономической теории. Важно и то, что из этого различия вытекает необходимость существования, наряду с рынком, и другого сектора экономики, функционирующего по другим законам, стимулируемого другими критериями (отнюдь не максимизацией прибыли). Модель двухсекторного строения смешанной экономики, вырастающей из базовой модели классического рынка, предложенная в данном пособии, характеризует определенную ступень углубления фундаментального экономического знания.
Для получения конкретных выводов и рекомендаций из двухсекторной модели смешанной экономики необходимы хоть какие-то, пусть и очень упрощенные, количественные, математические модели. Основными априорными предпосылками этих моделей являются.
Односекторность модели экономики – вся экономика описывается одной характеристикой, суммар-ными затратами или стоимостью произведенной продукции; считать это моделью отрасли вряд ли возможно, так как потребность в продукции отрасли не является независимой, а зависит от потребности в продукции других отраслей и распределения платежеспособности.
Однопродуктовость модели экономики – предполагается, что производится только один вид продукции; это позволяет отвлечься от важнейшего понятия "технологическое множество" и, как уже упомянуто, характеризовать рассматриваемую систему всего одним параметром.
Линейность рассматриваемых зависимостей (спроса от цены, предложения от цены) или обратных им.
Рассмотрение эластичности спроса и предложения как углового коэффициента линейных зависимостей (в действительности для линейной зависимости в целом коэффициент эластичности не может быть определен, так как он различен для разных точек рассматриваемой прямой).
Если первые два предположения вполне допустимы в связи с упрощенным, агрегированным рассмотрением задачи (в более или менее традиционном для политэкономии стиле), то последние два предположения приводят к принципиальным искажениям результата.
И дело здесь не в том, что вместо линейных треугольников появляются их криволинейные аналоги, и не в том, что при этом равновесная цена (точка пересечения рассматриваемых зависимостей в «паутинной» модели) требует теперь специально организованного итерационного процесса, – эти трудности легко преодолимы и основные концептуальные рассуждения о различном характере поведения в «левой» части диаграммы («рыночной») и в правой ее части («общественном» сек-торе) легко переносятся и на этот, более общий и более адекватный рассматриваемому процессу, случай.
Дело в том, что при линейных зависимостях и изменении их наклона как характеристики эластичности новая зависимость порождает новый уровень максимальной потребности Qv! В действительности этого не должно быть: максимальная потребность является экзогенной величиной для данной модели, определяется (как верно отмечено автором) не ценой и издержками, и даже не уровнем дохода (бюджета населения), а другими социальными факторами.
И уж никак не может зависеть от вида рассматриваемых зависимостей. Анализ степенных зависимостей (с постоянной эластичностью, положительной или отрицательной) для спроса Q = A P - E + Qn и для предложения
S = B P ? + Sn это хорошо иллюстрирует.
В результате, хотя равновесные цены при изменении эластичности спроса по цене и отвечающие им объемы спроса удовлетворяют тем же соотношениям, что отмечены автором (рис.1):
Р1 ? Р0 ? Р2 ; Q1 ? Q0 ? Q2 ,
(индекс 0 отвечает эластичности Е=1, 1 – случаю Е < 1, 2 – случаю E >1),
для введенных автором относительных характеристик

? = Q / Qv , ? = P / Pv , ? = P Q / Pv Qv , Pv = P(Qv )
соотношения также имеют вид:
?1 < ?0 < ?2
и утверждение «…чем более эластична линия спроса, тем менее значима роль рынка в экономике…» – неверно.
Еще более сложно поведение характеристик ? и w: при изменении эластичности функции предложения кривые пересекаются в точке P = Q =1, и поведение этих относительных характеристик существенно зависит от того, Qv > 1 или наоборот ( при этом меняются и значения Pv ) – рис.2.
Другими словами, линейный анализ вносит существенное искажение в модель и необходим более тщательный анализ.

С целью такого анализа ниже строится последовательность математических моделей, позволяющих оценивать количественные характеристики смешанной экономики, состоящей из рыночного и нерыночного секторов, и влияние на эти характеристики различных факторов (параметров принятых упрощенных зависимостей).
Расчет равновесной цены и отвечающей ей спроса (рыночного) при описанных выше степенных зависимостях сводится к решению уравнения
Q(P) = S(P).
При равенстве между собой нижних границ спроса и предложения (в частности, когда эти нижние границы равны нулю) это уравнение легко решить аналитически:
A P –E = B P? , P* = (A/B)1/ (E+ ?) .
При переходе к индексам относительно начальных, эталонных значений спроса, предложения и цены Q0 , S0 и P0 (y = Q/Q0 , z = S/ S0 , x= P/P0 )
y = x – E , z = x? , Q0 x -E = S0 x? , x= (Q0 / S0 )1/ (E+?),
( A = Q0 P0 –E , B = S0 P0 ? ).
При экзогенном задании потребности (неплатежеспособного спроса) Qв соответствующая ему цена Pв определяется уравнением S = B P? = Qв , Pв = (Qв / B)1/? = P0 (Qв / S0)1/? .
Если нижние границы спроса и предложения не равны между собой, то уравнение для равновесной цены имеет вид:
A P –E + Qn = B P? + Sn , (1)
и аналитически не решается, но легко построить итерационный процесс последовательных приближений и рассчитать равновесную цену с заданной степенью точности.
Если ввести масштаб М, Р = М х ,то для безразмерного переменного х уравнение примет вид
х –Е = х? - ?, (1?)
М = (А/ В)1/(Е+?) , ? = (Qn – Sn )/ B M1/? .
Процесс последовательных приближений показан на рис.3 и различен в зависимости от знака ?. Но во всех случаях эта равновесная цена существует и единственна, что также следует из рис.3. Нижняя граница цены Pn находится из уравнения
Q(P) = Qв (2)
и, в отличие от линейного случая зависимости спроса от цены, не равна нулю (хотя является очень малой).
Верхняя граница цены находится из уравнения
S(P) = B P? + S = Qв (3)
и не зависит от изменения эластичности спроса по цене.
По рассчитанной равновесной цене P* можно подсчитать и характеристики ?, ?, ? , введенные выше (последняя при нелинейных зависимостях считается несколько иначе – вычислением соответствующих площадей путем интегрирования).
Рис. 3.

Представляется интересным построить эконометрическую зависимость спроса от цены, автоматически дающую свои предельные значения Qn и Qв . Для этого вместо дифференциального уравнения, отвечающего простейшей степенной зависимости (то есть постоянному коэффициенту эластичности Е)
dQ/ dP = - E Q/P
необходимо рассматривать уравнение
dQ/ dP = - E (Q – Qn ) ( Qв – Q) / Q0 P .
Его решение имеет вид:
Q = ( Qn x? + Qв C )/ (x? + C ), x= P/P0 (4)
(C= (E - ?1 ) / (?2 - E ), ?1 = E Qn / Q0 , ?2 = E Qв / Q0 , ? = ?2 - ?1 )
и действительно обладает требуемыми свойствами : при стремлении Р ( а значит и х ) к нулю оно стремится к Qв , при неограниченном росте Р оно стремится к Qn .
Если перейти к безразмерным переменным не только для цены (Р=Р0 х), но и для спроса ( Q = Q0 v / E ), то для v получим зависимость
v = (?1 x? + ?2 C) / (x?+ C). (4?)
Следует отметить, что при стремлении верхней границы спроса (потребности) к бесконечности это решение не переходит в степенную зависимость, рассмотренную в предыдущем разделе, так как существенно изменилось определяющее его уравнение. Однако при одновременном росте Qв и Q0 такой предельный переход имеет место.
Расчет основных характеристик смешанной экономики для такой модифицированной функции спроса не слишком су-щественно отличается от рассмотренного в предыдущем разделе случая. Паутинная модель при этом имеет вид,
Рис. 4.
изображенный на рис.4, а вместо уравнения (1) необходимо решать уравнение
( Qn x? + Qв C )/ (x? + C ) = B P0 ? x? + Sn , (5)
которое при ином выборе масштаба (х = М1 х1 ) приводится к виду
f1 = a / (x1? + b) = x1 ? - b = f2 (5? )
( a, b – постоянные, вычисляемые по значениям входных параметров модели), графический анализ этого уравнения приведен на рис.5 и позволяет опять сделать вывод о существовании и единственности равновесной цены. Практическое вычисление этой цены или корня уравнения (5) также легко реализуется итерационными процедурами последовательных приближений. Так же проводится и расчет диапазона цен (по уравнениям, (2) с измененной зави-симостью
Рис. 5.
спроса от цены) и (3), и остальных характеристик смешанной экономики. В этой модели нижняя цена, как и при линейной зависимости, равна нулю.
Двухкритериальная двухсекторная модель.
Само использование паутинной модели является крайне грубым упрощением задачи: если еще зависимость спроса от цены можно пытаться найти методами эконометрии (хотя получение данных для такой идентификации крайне затруднительно, и чаще всего приходится опираться на значения коэффициентов эластичности, найденное западными статистиками для аналогичных товаров), то зависимость предложения от цены, насколько нам известно, никто практически не получал, эта зависимость используется лишь в абстрактных теоретических рассуждениях. Поэтому далее рассматриваются модели, не использующие эту зависимость.
Рассмотрим модель двух секторов экономики (рыночного и нерыночного). Каждый сектор характеризуется количеством производимой продукции ( Q1 и Q2 ), постоянными затратами ( Z01 , Z02), удельными затратами на единицу продукции ( z1 , z2 ).
Продукция продается по одной и той же цене Р и объем производства равен объему потребления. Зависимость затрат (издержек) от объема производства в данной модели игнорируется.
Прибыль каждого из секторов (хотя для нерыночного сектора говорить о прибыли можно лишь с большой натяжкой) равна:
П10 = P Q1 – Z01 – z1 Q1 , П20 = P Q2 – Z02 – z2 Q2 .
Если в нерыночном секторе P < z2 П20 < 0 , этот сектор необходимо дотировать величиной ?W1 – долей налога на прибыль W1 , изымаемой из первого сектора (W = q0 П10 , q0 – ставка налога на прибыль). Тогда «чистая прибыль» в секторах будет равна
П1 = (1 – q0 ) П10 , П2 = П20 + ?W1 = П20 + ? q0 П10 ? 0.
Выясним условия максимизации прибыли и в первом, и во втором секторе.
Суммарный объем производства и по-требления определяется бюджетным ограничением:
P (Q1 + Q2 ) = P Q ? B
(эта величина B никак не связана с обозначениями в предыдущих разделах).
Возможные альтернативы распределения объемов производства и потребления в секторах образуют треугольник ОА1 А3 в плоскости (Q1 , Q2 ) – рис.6.

Рис. 6.
Поскольку зависимости максимизируемых критериев П1 и П2 от альтернатив (Q1 , Q2 ) – линейны, отображение множества альтернатив в плоскость критериев (П1 , П2 ) также образует треугольник С0 С1 С2 с координатами:
C0 = ( - (1 – q0 )Z01 , - Z02 - ? q0 Z01),
C1 = (- (1 – q0 ) Z01 , (P – z2 )B /P - Z02 ),
C2 = ((1- q0 )((P – z1 )B /P - Z01 ), - Z02 + ? q0 (P – z1 )B /P - Z01 ).
Положительными являются только координаты последней точки, то есть отображение множества альтернатив в плоскость критериев (П1 , П2 ) имеет вид, изображенный на рис.7.

Рис. 7.
Это означает, что множество Парето состоит из одной точки А3 – вся потребность должна обеспечиваться первым, рыночным сектором. Очевидна неприемлемость, неприменимость результатов этой модели.
Если и в нерыночном секторе удельные издержки меньше цены (Р > z2 ), то картина меняется (рис.8).

Рис. 8.
Естественное требование неотрицательности прибыли в каждом секторе ( П1 , П2 ? 0) сокращает множество эффективных (недоминируемых) точек в плоскости (П1 , П2 ) до отрезка (С3 , С2 ) и множество точек Парето образует отрезок (А2 , А3 ). Выбор точки на этом множестве, как обычно в многокритериальных задачах, требует дополнительных оснований. В частности, можно использовать результаты расчетов по моделям разделов 1. или 2. , а также анализ эконометрической модели (фирмы, отрасли, экономики в целом),
разработанной в [ ММММ ].
Обобщение эконометрической модели.
Как отмечалось выше, наибольшим упрощением является использование функции предложения, зависимости объема производства от цены, тем более, что эта зависимость определяется не столько ценой продажи продукции, сколько издержками производства. В данном разделе рассматривается обобщение эконометрической модели фирмы, более или менее корректно переносимой на отрасль, с большим упрощением -– на экономику в целом.
В этой модели основой является использование эконометриче-ских зависимостей спроса от цены и издержек производства от его объема, тиража. Однако вместо степенной зависимости спроса от тиража здесь используется обобщенная зависимость, предложенная в разделе 2.
Если не фиксировать вид этой зависимости (функции спроса) Q(P1), P1 = P(1 + q1 ), q1 – ставка налога на добавленную стоимость, но сохранить эконометрическую зависимость издержек от тиража:
Z = Z 0 + R ( a + b R- g1 ), 0 < g1 < 1,
то уравнение для оптимальной равновесной цены («цены рынка»), дающей максимум прибыли, имеет вид:
P1 – [ a + b (1- g1 ) Q – g1 ] (1+q1 ) = - Q / Q? .
При использовании обобщенной зависимости спроса от цены, введенной выше, в разделе 2, это приводит для введенных там же безразмерных (масштабированных) переменных x и v ( P1 = P10 x, Q = Q0 v /E ) к системе уравнений:
x – a1 – b1 v –g 1 = x v /(v - ?1 )(?2 - v ) ,
v = (?1 x? + ? C)/ (x? + C).
Фигурирующие в этих уравнениях константы также определены в разделе 2. Разрешая каждое из этих уравнений относительно х, приходим к одному уравнению относительно v:
x = f1 (v) = (a1 + b1 v –g 1 )/ ? ( v ),
x = f2 (v) = [ C ( ?2 - v) / (v - ?1)]1/? ,
? ( v ) = 1 – v / ( ?2 - v) (v - ?1), ? = ?2 - ?1 ,
f1 (v) = f2 (v).
Неотрицательность х требует не только выполнения условий
?1 < v < ?2 ,
но и более жестких условий:
?1 < v1 < v < v2 < ?2 ,
где v1 , v2 - корни уравнения ?(v) = 0 или v = ( ?2 - v) (v - ?1).
Легко проверить, что эти корни - вещественные и действительно лежат в требуемом интервале, если
?22 - 2?2 (1 + ?1 ) + (1 - 2?1 ) ? 0 ,
то есть ?2 ? 1 + ?1 - ? D1 , D1 = ?1 (?1 + 4)
или ?2 ? 1 + ?1 + ? D1 .
Первое условие, как правило, не выполняется (оно отвечает очень малому увеличению максимальной потребности по сравнению с минимальной), а второе обычно выполняется. В частности, оно заведомо выполняется, если ?2 ? 2 + ?5 (так как ?1? 1).
При невыполнении этого условия рассматриваемое уравнение для v решений не имеет, прибыль убывает с ростом объема произ-водства, и ее максимум отвечает минимальному объему производства и спроса.
Графики функций f1 (v) и f2 (v) при достаточно большом значении ?2 приведены на рис.9. Первая точка пересечения этих графиков отвечает максимуму прибыли и может быть рассчитана методом последовательных приближений.

Рис. 9.
Объединенная мо-дель смешанной экономики.
Наконец, можно наметить модель, опи-сывающую одновременно и рыночный, и нерыночный секторы экономики, более корректную, чем в разделе 3.
Пусть объемы производства ( и спроса) в секторах равны Q1 (P) и Q2 (P) = Qв – Q1 (P), а фискальный сбор государства в первом секторе равен W(P) и часть его ?W(P) передается в нерыночный сектор. Зависимость Q1 (P) может использоваться степенная, или обобщенная («квазилогистическая»), а при малых изменениях цены – даже линейная (как линеаризация нелинейной). Издержки производства по секторам равны
Zi = Z0i + ai Qi + bi Qi g , i=1,2.
Система ограничений по потребности, бюджету и условиям безубыточности имеет вид:
Q1 (P) ? Q , P Q1 (P) ? B,
F1 (P) = ?1 (Q1 (P) ,P) = P Q1 (P) – Z1 (Q1 (P) ) - W ? 0,
F2 (P) = ?2 (Q2 (P) ,P) = P Q2 (P) – Z2 (Q2 (P) ) + ?W? 0.
В соответствии с этой системой ограничений требуется выбрать цену Р (и по ней – объемы производства по секторам), максимизирующую F1 (P) и удовлетворяющую некоторым дополнительным условиям, например, необходимый минимальный уровень рентабельности нерыночного сектора (с учетом дотаций или компенсаций издержек):
?2 = F2 (P) / Z2 (P) ? ?min ,
F1 (P) – max.
Построенная система моделей является упрощенной, сугубо предварительной, допускающей (и требующей) уточнения, дополнения и модификации, но она позволяет перейти от общих слов и рассуждений (крайне важных и опреде-ляющих общую концепцию, общий подход к анализу экономики) к некоторым количественным оценкам и вычислительным экспериментам. Разумеется, результаты таких оценок существенно зависят от входных параметров, но программы, реализующие эти модели, дают возможность их варьирования, анализа влияния отдельных параметров и оценки рассматриваемых стратегий развития экономики в целом или отдельных ее отраслей.
<< | >>
Источник: Октай МАМЕДОВ. С МЕШАННАЯ ЭКОНОМИКА двухсекторная модель. 2001

Еще по теме ПРИЛОЖЕНИЕО ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДВУХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ:

  1. ЭВРИСТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ДВУХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  2. ДВУХСЕКТОРНАЯ МОДЕЛЬ СМЕШАННОЙ ЭКОНО-МИКИ
  3. Октай МАМЕДОВ. С МЕШАННАЯ ЭКОНОМИКА двухсекторная модель, 2001
  4. ГРАФИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  5. «КЕЙНСИАНСКИЙ КРЕСТ»В СВЕТЕ МОДЕЛИ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  6. Глава 3Экономические системы. Смешанная экономика. Национальная экономика
  7. СМЕШАННАЯ ЭКОНОМИКА
  8. ПОСЕКТОРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  9. ЛЕКЦИЯ ВТОРАЯ МОНЕТАРНЫЙ МЕХАНИЗМ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  10. ЛЕКЦИЯ ТРЕТЬЯ ФИСКАЛЬНЫЙ МЕХАНИЗМ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  11. P. S.Через четыре года все опять повторится сначала, поэтому сохраните это пособие. Математическая модель предвыборной кампании для оценки ее эффективности
  12. КОНКУРЕНЦИЯ В ГОСУДАРСТВЕННОМ СЕКТОРЕ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  13. Глава 1. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СЕКТОР В СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКЕ
  14. АДМИНИСТРАТИВНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  15. Глава 5. СМЕШАННАЯ ЭКОНОМИКА; ЧАСТНЫЙ И ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СЕКТОРЫ
  16. Глава 4. ЭВОЛЮЦИЯ ОТНОШЕНИЙ СОБСТВЕННОСТИ (СТАНОВЛЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ
  17. Глава 39. ПОЛНАЯ ЗАНЯТОСТЬ И ЦЕНА СТАБИЛЬНОСТИ В ОБЩЕСТВЕ СО СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКОЙ
  18. Вопрос 36. Макроэкономика и ее проблемы. Модель экономического оборота на уровне национальной экономики Вопрос 37. Общая характеристика макроэкономических показателей Вопрос 38. Валовой национальный продукт и методы его исчисления Вопрос 39. Национальное счетоводство: балансовый метод, метод системы национальных счетов