<<
>>

3.1. Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений

Коммерческие отношения в современном бизнесе связаны с принятием финансовых решений, например: при расчетах доходности на рынке ценных бумаг; оценке доходности капиталовложений в реальное производство; в связи с необходимостью учесть экономическую неэквивалентность одинаковых сумм денег в разные календарные сроки, т.е.

временную стоимость денег; при обнаружении влияния инфляции на перечисленные выше процессы.

Аналитик должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.

В данной главе не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.

Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (Г) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (Jo)- В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:

/=5Ь(1+й),

где і — годовая процентная ставка;

t — число периодов начисления процентов.

Исходная сумма может быть рассчитана как

При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм

So Я

Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.

В банк положено 3000 руб.

на срок один год шесть месяцев. Ставка простых процентов равна 20% в год.
Определим наращенную сумму через полтора года.

/= 3000 руб. (1 + 0,2 X 1,5) = 3900 руб.

На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:

rm^VUo^)

3000 1,5

і =

Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее вы-давать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.

Предположим, что ссуда, равная 10 000 руб., выдана сроком на полгода под 20% простых годовых. Простой дисконт также 20%. Тогда наращенная сумма к возврату под простой процент составит

/ = So (1 + it) = 1000 руб. (1 + 0,2 X 0,5) = 11 000 руб.

Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую,, чем в первом случае, сумму: = 11 піруб

/ =

So 10000

1 -it 1-0,2x0,5 Чтобы получить на руки кредит в сумме 10 ООО руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору ббльшую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.

Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:

v=i-dwA

Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дис-конт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.

И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени.

Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:

Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом происходит абстрагирование от рисков финансовых рынков, инфляции, а во внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.

Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.

Пример. В первом контракте сумма обязательства составляет 20 ООО руб. исходя из простых 30% в год с выплатой 12 ООО руб. через два года, остальных 8000 руб. — через пять лет, т.е. по окончании контракта.

Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. преду- смотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.

Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:

1,1_2,2 Sl + S2-Sl+S2'

где s[ + s2 ~ дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;

S^ + S2 ~ Дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.

В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты. Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит:

s\ = 12 ООО руб. : (1 + 0,3 х 2) = 7500 руб.;

52 = 8000 руб. : (1 + 0,3 х 5) = 3200 руб.;

s,2 = 7000 руб. : (1 + 0,3 xl) = 5384,6 руб.:

s\ = Xруб. : (1 + 0,3 X 3) = А'руб. : 1,9.

Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство: 7500 руб.

+ 3200 руб. = 5384,6 руб. + Хруб. : 1,9.

Отсюда Хруб. = (7500 + 3200 - 5384,6) х 1,9 = 10 099,3 руб.

Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте, позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20 000 руб. (12 000 + 8000), а по второму — 17 099,3 руб. (7000 + 10 099,3).

На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.

Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + і)'. Наращенная сумма исчисляется по алгоритму:

St = So (1+0',

где iSb — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); St — будущее значение суммы денег; і — годовая процентная ставка;

t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.

Предположим; что банк ежегодно начисляет сложные проценты (30%) на вклад в сумме 100 ООО руб. Тогда наращенная сумма через два года составит

S, = 100 000 руб. (1 + 0,3)2 = 169 000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100 000 руб. (1 + 0,3)4 = 285 000,6 руб.

Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период года

ставка сложных процентов будет равна — ,

т

где т — число раз начисления процентов в году.

В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:

Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е.

число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит

0,3

,2x4

При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169 000 руб.

При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.

Для определения современного значения долга, если известна его полная сумма через несколько лет и условия начисления сложных процентов, используются алгоритмы дисконтирования, или приведения: s П=(1 + 2/ S,

50 =

(при заданных St и годовой процентной ставке); (при заданных S, и годовой номинальной ставке), 1 + где Sq ~ современная стоимость суммы денег; Sr — будущее значение суммы денег;

t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится; / — годовая процентная ставка;

jm — ГОдОВая номинальная ставка, применяемая т раз в году в конце каждого из т последовательных отрезков времени.

Пример. Рассчитать современное значение долга, если его полная сумма через три года составит 18 млн руб., а проценты начисляются в конце каждого года по ставке = 6,560 млн руб.

S, _ 18 млн руб. _ 18 млн руб.

(l + ij (і + ОД)3 2,744 Требуется определить современное значение долга, дисконтированную его сумму, если полная сумма долга через два года составит 28 млн руб., а проценты начисляются в конце каждого квартала исходя из годовой номинальной ставки 28 млн руб.

50=\тГ

= 9,153 млн руб.

0,6

1+1+ В финансовых расчетах с использованием сложных процен-тов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возмож-ность получить тот же результат, как и при начислении процен-тов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспе-чивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.

Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это. видно из соответствующих алгоритмов, где /Эф — эффективная ставка.

Множители наращения должны быть равны

\mt

(і + Ьф)' =

Отсюда эффективная ставка составит

1+\mt

1+¦1.

гэф :

Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб. 0,2 Ї

= 1 +

гэф :

-1 = 0,2155 = 21,55%. Наращенная сумма при этом составит

S, = 5Ь (1 + 'эф)' = 300 тыс- РУб- О + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.

При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:

\tm 0,2

St -S0

1+ — т

1 +

= 300 тыс. руб.

= 300(1,05)4 = 364,65 тыс. руб. В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм

V

1 + - МУ

5инф - So где ^инф — наращенная сумма с учетом инфляции;

Sq — базовая сумма;

im — годовая номинальная банковская ставка, применяемая т раз в году;

h — ожидаемый месячный темп инфляции;

t — число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 800 тыс. руб. (5о)- Номинальная годовая банковская ставка (Р") равна 48%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (/я). Ожидаемый месячный темп инфляции {К) равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через четыре месяца, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит (5инф — SQ):

0,48 У

12

5инф = 800 тыс. руб.-^— = 639,2 тыс. руб.

Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. — 800 тыс. руб. =

= -160,8 шс. руб.

Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.

В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по нара-щенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели. При необходимости аналитики могут воспользоваться профессиональной литературой в области финансовой математики.

<< | >>
Источник: JI.T. Гиляровской. Экономический анализ. 2006

Еще по теме 3.1. Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений:

  1. 13.2. Понятие, значение и способы определения таможенной стоимости товаров
  2. Глава 17. ПРИНЦИП ВЛОЖЕНИЯ ДЕНЕГ
  3. Вложение капитала, когда у Вас слишком много денег
  4. 11.6. Метод определения таможенной стоимости товарана основе вычитания стоимости
  5. 11.7. Метод определения таможенной стоимости товарана основе сложения стоимости
  6. Глава 11. ТАМОЖЕННАЯ СТОИМОСТЬ ТОВАРОВ ИМЕТОДЫ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 11.1. Брюссельская конвенция оценки стоимости товара и Кодекс таможенной стоимости
  7. Определение дисконтирования и дисконтированной стоимости
  8. 7.3. Порядок определения норм вложения некондиционных мясных продуктов, картофеля и овощей
  9. ПЕРЕЧЕНЬ ДОРОГОСТОЯЩИХ ВИДОВ ЛЕЧЕНИЯ В МЕДИЦИНСКИХ УЧРЕЖДЕНИЯХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ, РАЗМЕРЫ ФАКТИЧЕСКИ ПРОИЗВЕДЕННЫХ НАЛОГОПЛАТЕЛЬЩИКОМ РАСХОДОВ ПО КОТОРЫМ УЧИТЫВАЮТСЯ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ СУММЫ СОЦИАЛЬНОГО НАЛОГОВОГО ВЫЧЕТ
  10. Определение стоимости отпускаемых материалов
  11. ГЛАВА 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ И СТРУКТУРЫ КАПИТАЛА
  12. 11.9. Проблемы при определении таможенной стоимости
  13. 3.5. Определение сметной стоимости проектных работ
  14. 7.4 Анализ инвестиционных решений в процессах наращения и дисконтирования
  15. Глава 43. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТАМОЖЕННОЙ СТОИМОСТИ ТОВАРОВ
  16. Все о деньгах(ДЕНЕГ НУЛЛИФИКАЦИЯ - см. НУЛЛИФИКАЦИЯ ДЕНЕГ.ДЕНЕГ ОБЕСПЕЧЕНИЕ - см. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЕНЕГ.)
  17. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТАМОЖЕННОЙ СТОИМОСТИ ПО ЦЕНЕ СДЕЛКИ С ВВОЗИМЫМИ ТОВАРАМИ
  18. Дисконтирование и наращение