<<
>>

ИНТУИЦИОНИЗМ


(лат. intuitio — пристальное, внимательное созерца-ние) — направление в философии математики, связывающее проблему достоверности, убедительности и точности познания с интуитивным методом мышления.
Достоверным и убедительным в И. считается лишь непосредственное содержательное постижение объекта. Возникновение И. было подготовлено развитием философии математики в 19 в., начиная с философии математики Канта (см. Кант). Философия математики Канта основополагается на постулате об априорном созерцании субъективных "явлений", в которых выделяются их конкретное содержа-ние и структура (форма). Созерцание содержания "явлений" Кант называет "чувствительностью". Именно на основе "грубого материала чувственных впечатлений" рассудок производит свой первый продукт — опыт. Структура "явлений" целиком должна находиться готовой в нашей душе a priori. Созерцание структуры "явлений" именуется Кантом "чистым созерцанием", "чистой формой чувственного созерцания" и т. п. Исходный пункт "чистой" (рассудочной) математики — созерцание чистых форм чувственности (пространства и времени), на основе которого кон-струируются соответствующие мате-матические объекты. В этом смысле "чистая" математика для Канта имеет конструктивный характер. Математику Кант определяет как науку о чистых формах чувственности — пространстве и времени. Ее понятия и истины априорны (экстрагируются не из опыта, а из внутреннего созерцания), интуитивны, синтетичны, конструктивны (включают конструкции типа синтеза произвольных явлений во времени), необходимы и всеобщи (необходимо выполняются в любом опыте), а также априорно достоверны. Методология Канта, на-ходившаяся в полном соответствии с уже открытыми, экзистенциально очевидными математическими исти-нами, привела лишь к одному ощутимому результату — к отрыву математики от опыта и приданию статуса всеобщей единственности истинам евклидовой геометрии. Но "нельзя порицать Канта за его ошибку, так как неевклидова геометрия в то время не была еще открыта. Он не мог думать иначе" (Карнап). Тем не менее, тезис кантовской философии математики об априорной выполни-мости математических истин, разработанной ко времени Канта евклидо-вой геометрии налагает на всякий опыт явные ограничения. Он делает невозможной неевклидову геометрию в опыте и в априорном созерцании (если бы неевклидова геометрия была возможна в априорном созерцании, то она была бы возможна и в определяемом априорным созерцанием опыте). Развитие неевклидовой геометрии раскрыло ограниченность философии математики Канта. Геометры 19 в. (К. Ф. Гаусс, Н. И. Лоба-чевский, Б. Риман, Ф. Клейн и др.) практически единогласно отвергли тезис о "трансцендентальной идеальности" пространства, т. е. в той или иной степени признавали суще-ствование "физической геометрии" и считали опыт средством ее по-знания. Кантовскому понятию априорного и евклидового пространства Гаусс, например, противопоставил осмысленный эмпирический вопрос "искривлено или не искривлено дей-ствительное пространство?" (1816). Лобачевский логически допустил существование различных альтерна-тивных геометрий, совместимых с основными геометрическими поня-тиями, но не считал возможным решить проблему истинности и достоверности их теорий путем априорного выведения из единственно необходи-мых основных понятий (1826).
Вторжение опыта и логики в геометрию привело к тому, что в математике наметилась тенденция к ее арифме- тизации. Возник метод моделей для сведения непротиворечивости одной математической теории к непроти-воречивости другой: неевклидовой геометрии — к евклидовой, евкли-довой геометрии — к арифметике ве-щественных чисел, арифметики ве-щественных чисел — к арифметике натуральных чисел, арифметики на-туральных чисел — к теории множеств. Во второй половине 19 в. сформировались две философские концепции оснований математики, названные именами наиболее после-довательных их сторонников: кроне- керовской (ранний И.) и канторов- ской. Представители первой концепции (Л. Кронекер и др.) считали, что целые числа и действия над ними можно обосновать интуитивно, вне всякой связи с опытом. Интуитивность, внеопытность провозглашались отличительными особенностями любого математического познания. При этом не для всех разделов тради-ционной математики считалось возможным интуитивное обоснование. Оно признавалось только за понятием натурального числа без его даль-нейших модификаций (иррациональные, комплексные и др. числа). Представители второй — канторов- ской — концепции философского обоснования математики отстаивали тезис о последующих расширениях понятия натурального числа (Р. Де- декинд, Д. Пеано и др.), не считая его исходным фундаментальным по-нятием "чистой" математики. Они выдвинули постулат о "выводимости" понятия натурального числа из более общего понятия множества, а арифметических истин — из истин общей теории множеств. Теоретико- множественные тенденции,стихийно сформировавшиеся в математике и классической логике объемов понятий, были синтезированы в общей теории множеств Г. Кантора (1845— 1918). Он признавал некоторые преимущества кронекеровской ин-терпретации арифметизированной "чистой" математики: точность и более полную строгость доказатель-ства, свободу от спекулятивных интенций, спасение от бездны "трансцендентного", в котором "все возможно" и пр. Но, не считая концепцию Кронекера плодотворной, Кантор противопоставил ей общую теорию множеств как фундамент чистой математики. В конце 19 в. идея Кантора, Дедекинда и Пеано о "выведении" арифметических и геометрических понятий и истин из понятий и истин общей теории множеств была трансформирована логицистами (Л. Кутюра, Рассел) в концепцию "выведения" математических понятий и истин из "чистой" логики. Философское обоснование математики логицистами противоположно кан-товской философии математики, поскольку математические понятия трактуются в логицизме не созерцательно, интуитивно, а дискурсивно, как выводимые из понятий логики. Опыту и интуиции отводится лишь эвристическая роль. Первое выступ-ление И. по проблемам философского обоснования математики происходило в условиях четко обозначившихся трудностей теоретико-множественного и логистского обоснования математики. Теоретико-множественная и логистская концепции обоснования математики подорвали свой ав-торитет выявленными парадоксами общей теории множеств (см. Парадокс) и неэффективностью многих ее методов. К началу 20 в. кантовская философия геометрии с ее идеей ин- туитивно-созерцательного постижения пространства была окончательно отвергнута. Следовало не только отказаться от прежнего образа ма-тематического мышления, но и создать новый. "Нужно перестроить все здание математики, а не латать трещины!" — заявили сторонники нового — интуиционистского направления в философии математики. Основоположником И. является голландский математик Л. Я. Э. Брауэр (1881 —1966), получивший известность своими исследованиями в области топологии (греч. topos — место) — раздела математики, изу-чающего наиболее общие свойства геометрических фигур, не изменяющихся при любых непрерывных их преобразованиях. Учение И. следует рассматривать в нескольких аспектах. Прежде всего, И. содержит в себе общие мировоззренческие и ме-тодологические принципы: тезис о ненаучном характере признания объективной реальности; исключение из науки принципа отражения дей-ствительности в понятиях,теориях и т. п.; признание интуиции как субъективной интроспекции в качестве единственной достоверной формы познания; доктрину об априорном характере математических объектов и их познания; постулат о внеязыко- вом характере содержательного ма-тематического познания и т. д. И. включает в себя элементы конструк-тивной методологии: отказ от платоновской онтологии математических объектов и экспликацию существо-вания математических объектов через осуществимость некоторой умственной конструкции; отрицание общезначимости логического закона исключенного третьего и косвенного доказательства; отклонение абстракции актуальной, завершенной бесконечности и принятие абстракции потенциальной, становящейся бесконечности; конструктивное ис-толкование дизъюнктивных и экзи-стенциальных утверждений и др. Сторонники И. (Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг и др.) считают невозмож-ным применение в математике и логике понятия актуальной бесконечности, т. е. актуально существующего множества, например, имеющего актуальный характер множества дей-ствительных чисел, ограниченного на числовой оси 0 и 1. Такого рода множество бесконечно, хотя имеет начало и конец. Оно бесконечно, поскольку невозможно сосчитать все его элементы, но актуально, поскольку числа, составляющие его, мыслятся данными одновременно. Интуиционисты принимают понятие потенциальной, т. е. возможной, бесконечности, когда допускается неограниченный, незавершаемый процесс построения математических объектов. Признание принципа потенциальной бесконечности означает абстрагирование от реальных пределов конструктивных возможностей сознания, связанных с ограниченностью жизни человека в пространстве и времени. И. выступает против крайнего финитизма, обеспечиваю-щего комплекс мер против опасности непонимания. Для интуиционистских утверждений о бесконечном не лишен смысла, например, любой символ для обозначения величины, стремящейся к бесконечности, тогда как в рамках финитной программы — это просто материализованная на бумаге фигура, которую преобразуют по известным правилам. Интуиционисты рассматривают теоремы логики как математические теоремы наивысшей общности. Поэтому логика является частью математики и не может служить ее обоснованием. Например, если любое произвольное математическое построение Р показывает, что А-»В, а построение Q показывает, что В-»С, то суперпозиция Р и Q показывает, что А—>С. Процедура доказательства как приведения цепи аргументов заменяется в И. процессом конструирования. В качестве обоснования данного процесса интуиционисты указывают на полисемичность слов и знаков. Конструирование с помощью интуиции, по их мнению, позволяет избегать языковых аргументаций, так как процесс построения контролируется на уровне интуитивной очевидности. Интуиция как чистое мышление не зависит от языка. Языковые средства нужны только для сообщения результатов интуитивной мыс-лительной деятельности, при этом язык может обеспечить только несо-вершенное воспроизведение чистой мысли. Отсюда вытекает тезис И. о том, что истинность есть харак-теристика не языка, а мысли. Интуицию нельзя адекватно описать никакими предварительно состав-ленными правилами. Она имеет априорный, объективный характер и одинакова у всех мыслящих субъектов. Интуиция не рассматривается интуиционистами как абсолютно оп-ределенный и точный метод, но считается в достаточной степени уместной для исследования умственных математических проекций. Интуиция интерпретируется как интроспективное, т. е. обращенное в себя, к собственному опыту, познание, "самонаблюдение", но не за материальными процессами и состояниями человеческого организма через механизм интерорецепторов, а за субъективным содержанием образов. Только интуиция как интроспекция позволяет исследовать логически и математически возможные формы и отношения. И. различает степени проявления интуиции. Максимально интуитивная очевидность проявляется при операциях над малыми числами, например, 2+3=5. Операции над большими числами, доказываемые на основе общих положений вида (п+2)+3=п+5, имеют меньшую очевидность, так как связаны с кон-струкцией вида "если построено п, то можно осуществить конструкцию (п+2)+3=п+5". Еще меньшей степенью очевидности обладают конст- рукции, дающие основания отрица-тельным математическим высказываниям. Затем следуют кванторные выражения в логических формулах, в бесконечно продолжающейся по-следовательности. И. следует отличать от интуитивизма. Признавая рациональную интуицию в качестве базиса математического мышления, И. не противопоставляет интуицию логике. Он только утверждает, что математика не может основываться на логике, и развивает свое понима-ние логики, как части математики, рассматривая логические теоремы как предельно обобщенные матема-тические теоремы.
С. В. Воробьёва
<< | >>
Источник: А. А. Грицанов. Всемирная энциклопедия: Философия. 2001

Еще по теме ИНТУИЦИОНИЗМ:

  1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
  2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ
  3. УНИВЕРСАЛИИ (лат. universalis - общий
  4. УНИВЕРСАЛИИ
  5. ЛОГИКА
  6. Авторы статей
  7. БЫТИЕ
  8. § 3. Субъекты финансового права
  9. § 4. Защита прав субъектов финансового права
  10. § 5. Гарантии защиты и восстановления нарушенных прав субъектов финансового права
  11. § 5. Финансовое право и финансовая политика государства