<<
>>

МЕТАТЕОРИЯ


— теория, анализи-рующая различные свойства, структуру и закономерности другой теории, называемой в таком контексте предметной. Применяется М. глав-ным образом в исследовании логиче-ских теорий (металогика) и основа-ний математики (метаматематика).
Понятие М. впервые ввел Д. Гильберт в связи с программой обоснова-ния математики. Метаматематика была им представлена как теория, которая содержит все утверждения о том, что то или иное математическое выражение доказуемо. С именем Геделя связывается новая программа обоснования математического зна-ния — метод так называемой ариф- метизации метаматематики. В узком смысле М. — это теория, изучающая синтаксические, семантические и ло-гические (специальные правила вывода) свойства систем с формализованным языком методами аксиоматизации, ал-горитмизации, конструктивизации и т. д. Например, в аспекте аксио-матического метода проблемами М. выступают проблемы непротиворечивости, независимости и полноты системы логических и нелогических аксиом предметной теории, а также проблема определения того, является ли список аксиом конечным или бесконечным. В аспекте алгоритми-зации решается, в частности, проблема разрешимости объектной теории. Положительное решение этой проблемы для А означает, что можно или найти разрешающий метод для
А в Е, или доказать, что такого метода не существует. Разрешающий же метод для А в Е — это метод, с помощью которого для каждого данного элемента а из Е можно рекурсивно установить, принадлежит или нет элемент а множеству А. Так, предметная теория считается разреши-мой только в том случае, если мно-жество номеров теорем этой теории является рекурсивным. Методы ак-сиоматизации и алгоритмизации пред-полагают друг друга. Например, доказано, что если теория Т — рекурсивно аксиоматизированная и обладает свойством полноты, то Т разрешима. В аспекте конструктивизации для предметной теории выстраивается модель. Метод конструктивизации, в свою очередь, также неотделим от методов аксиоматизации и алгорит-мизации. Теорема полноты формали-зованной теории, к примеру, может иметь следующую формулировку: теория Т непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет модель. Противоречивое множество К вовсе не может иметь модели. Пусть Z, обозначающее "Y и не-Y", — элемент К. Если К истинно в некоторой модели М, то Z в ней также истинно. Следовательно, Y одновременно истинно и ложно в М, что по определению модели невозможно. Отсюда очевидно важное свойство моделей — принцип локализации, согласно которому множество высказываний К обладает моделью, если обладает моделью каждое его конечное подмножество. Синтаксис анализируемой теории описывается на так называемом син-таксическом языке, а семантика — на семантическом. Дедуктивные средства предметной теории формулируются в виде метааксиом и метатеорем, к которым следует относить не только исходные и производные правила вывода, но также синтаксические и семантические теоремы. Синтакси-ческий и семантический языки вместе с метааксиомами и метатеорема- ми составляют метаязык. В метаязыке формулируются специальные аксиомы и теоремы, касающиеся синтак-сических, семантических и дедук-тивных свойств формализма. Как правило, метаязык включает в себя определенный фрагмент естествен-ного языка, например русского, если все пояснения, относящиеся к фор-мальной теории, ведутся на этом языке.
Собственной частью синтак-сического языка могут быть названы, например, переменные по пропози-циональным функциям. Собствен-ной частью семантического языка являются переменные по выражени-ям различных синтаксических кате-горий. Зачастую семантический язык включает в себя язык синтаксический, как в семантике Карнапа, хотя они, по замечанию А. Черча, могут и совпадать. Введение производных логических констант посредством дефиниций осуществляется в семан-тическом языке. На метаязыке строится теория моделей того или иного логического исчисления.На этом языке формулируются все теоремы о свойствах логических формализ-мов — теорема компактности, теоремы Геделя о полноте и неполноте и т. д. Наиболее распространенной метаязыковой теорией является теория синтаксических категорий. Более специализированное рассмотрение М. имеет место в разделе математи-ческой логики — теории моделей. В этой теории прослеживается связь между дедуктивными и семантичес-кими (алгебраическими) понятиями. Пример подобной связи — элемен-тарная теорема, по которой каждое высказывание Y, выводимое из мно-жества высказываний К, истинных в модели М, само истинно в М. Допу-стим, что Y выводимо из высказыва-ний Хі, Хг, ..., Хп, истинных в М, т. е. сложное высказывание "если Xi и Хг и ... Хп, то Y" является теоремой. Отсюда Y должно быть истин-ным в М, в противном случае данное сложное высказывание не будет теоремой (по смыслу импликации). Известно также, что если высказыва-ние Y определено и истинно в каждой структуре М, являющейся моделью множества высказываний К, то Y выводимо из К. Наиболее важными теоремами теории моделей, эксплици-рующими метатеоретические свойства логики первого порядка (непротиворечивых и полных логик), являются теоремы компактности и Левенгей- ма—Сколема. В соответствии с первой теоремой, если для каждого конечного подмножества То произвольного множества аксиом логики первого порядка Т существует модель для всех аксиом из То, то существует модель для всех аксиом из Т. Другими словами, формула Y теории Т является истинной в Т тогда и только тог-да, когда Y является истинной в некоторой конечно аксиоматизируемой части теории Т. Вторая теорема вы-ражает тот алгебраический факт, что если непротиворечивое множество К конечно, то оно обладает конечной или счетной моделью М. Если К бесконечно с кардинальным числом (мощностью) к, то оно обладает моделью, кардинальное число которой не превосходит к. По теореме Линдстрема, логика первого порядка является единственной логикой, замкнутой относительно конъюнкции, отрицания и квантора существова-ния и удовлетворяющей теоремам компактности и Левенгейма—Сколема. В теории моделей формулируется также теорема Геделя—Россера о неполноте: если теория Т является рекурсивно аксиоматизированным расширением системы аксиом для натуральных чисел, то теория Т неполна.
А. Н. Шуман
<< | >>
Источник: А. А. Грицанов. Всемирная энциклопедия: Философия. 2001

Еще по теме МЕТАТЕОРИЯ:

  1. МЕТАТЕОРИЯ
  2. МЕТАЯЗЫК
  3. 1.5. Методология комплексного исследования экономических и социальных проблем труда
  4. СИНТАКСИЧЕСКИХ КАТЕГОРИЙ ТЕОРИЯ
  5. ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНЫЙ СУБЪЕКТ
  6. ПОДХОД
  7. МАМАРДАШВИЛИ Мераб (1930-1990)
  8. ТЕОРИЯ
  9. СОЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ
  10. СЕМАНТИЧЕСКИХ КАТЕГОРИЙ ТЕОРИЯ
  11. ПОДТВЕРЖДЕНИЕ
  12. УНИВЕРСАЛИИ (лат. universalis - общий
  13. Авторы статей
  14. УНИВЕРСАЛИИ
  15. СОЦИОЛОГИЯ ЗНАНИЯ
  16. СТРУКТУРНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
  17. ЛЕНИНИЗМ