<<
>>

2.4. Дюрация

Задача 2.81.

Выведите формулу дюрации Маколся на основе определения дюрацин как эластичности цены облигации по процентной ставке. Решение.

Согласно определению дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке можно записать:

О &Л + г)

Р ' ] + г

или

dP dr

D = Р І + /•' или (2.25)

dr /

где D - дюрация Маколся; Р цена облигации;

dP - небольшое изменение цены облигации; г доходное і ь до погашения облиі ации: dr - небольшое изменение доходноеI и до погашения.

В формуле (2.25) стоит знак минус, чтобы сделать показатель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в противоположных направлениях.

JP

В уравнении (2.25) отношение по производная йены оолигации по

dr

процентной счавке. На основе формулы цены облигации с выплатой купонов одни раз в год (2.1) она равна:

dP (-1 )С (-2)С ч (-л)С ] (- n)N dr (] + r)2 ' (U,-)1 "" (1 + гГ О + 'Г

или nN

dr

dr

2 С nC

+ ...

+

1 + г

dp dr

или

tC

I +.Г (l + r)2 ' (1 + /-Г (I + r)"_

I

(2.26)

nN

+

l + r|tT(l+r)' (! + ;-)"_ dP

І Іодставим в равенство (2.25) значение из равенст ва (2.26):

dr tC

1

1 + /•

D =

nN

+ —

1 + г

р

^(l+r)' (1 + г)" _ или к:

nN

(2.27)

Г) =

S(l + r)' (1+ /•)"_ Задача 2.82.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один ра* в год. до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8?/. Определить дюрашпо Маколея облигации. Решение.

Цена облиіацин равна: 100

1

11.084

0,08

1^ = 1066.24^. 1,08 Дюрация составляет: = 3,504гос>с7.

1100 2-100 3100 4-100 4-1000

+

1066.24

1.08 1.082 1,08' 1,084 1,084 J Г.іава 2.

Облигации и процентные станки

Задача 2.83.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%. выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации. Решение.

Согласно (2.27) дюрация равна:

/1 100 2-100 3-100 4-100 41000^ 1 , л

+ г- + — + :— = 3,4^7 года.

1.1 1Л2 1,13 и4 и4 Jiooo Задача 2.84.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год. до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 12%. Определить дюрацию Маколея облигации. Решение.

Цена облигации равна:

( і ^

100 0,12

1.124

1000 о™-,* - г = 939,25руб.

1,12

У Дюрация сост авляет:

/

1

= ЪАЬЭгода.

1100 2-100 3-100 4-100 4-1000

+

+

939.25

I 12

V

1.121,12" 1.124 1,124 Задача 2.85.

Номинал облигашш 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бу маї и 4 года, доходность до погашения 13%. Определить дюрацию Маколея облигации. Ответ.

D ЗАвгода.

Вопрос 2.86.

Как зависит дюрация Маколея от неличины доходности до погашения облигации?

От вет.

Чем больше доходность до погашения, тем меньше дюрация. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.82-2.85.

Задача 2.87.

Номинал облигации 1000 руб. купон 6%, выплачивается один раз в год. до погашения бумаги 8 лет. доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.

От вет.

D = 6,632года.

Задача 2.88.

Поминал облигации 1000 руб. купон 6,5%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Ответ.

D = 6,562года.

Задача 2.89.

Номинал облигации 1000 руб. купон 7%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Ответ.

D = 6,495года.

Вопрос 2.90.

Как зависит дюрация Маколея от величины купона облигации?

Ответ.

Чем больше купон, тем меньше дюрация.

Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.87 2.89.

Задача 2.91.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Решение.

Платежи по облигации осуществляются каждые полгода. Сумма выплаты составляет 50 руб. Согласно (2.27) дюрация, выраженная в купонных периодах, равна:

1-50 2-50 3-50 4-50 5-50 6-50 7-50 8-1050) 1 . __..

+ - + г + - + г+ + + = 6,7864.

1.05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05* 1,05 1,05s JlOOO

Дюрашія в годах составляет:

6,7864/2 = 3,393года.

Задача 2.92.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 12%. Определит ь дюрацию Маколея облигации.

Решение.

Цена облигации равна:

0.12

=937,90^.

1.06*

Дюраиия. выраженная в купонных периодах, равна:

1

= 6.7405.

1 50 2-50 3-50 4-50 5-50 6-50 7 50 8-10501

937,90

. 1,06 + 1,06" +Г0(УГ 1,064 + 1,06' 1.066 ^ l,067 + 1.06у

Дюраиия R годах составляет:

6.7405/2 = ХН года. Задача 2.93.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год. до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определит ь дюрацшо Маколея облигации. Решение.

50

1000 '

— = 1067,33руо.

Цена облигации равна:

I

0,08

1,04

I1,04'

Дюраиия в купонных периодах, равна: 1

= 6,8312.

+

+

1-50 2-50 3-50 4-50 5-50 6-50 7-50 8-1050

+ ¦

+ г+1067,32

1,04 1,04: 1.043 1,04J 1,045 1,04' 1.047 1,04ч Дюрация в годах составляет:

6,8312/2 = 3,41 Ьгода.

Задача 2.94.

Упростить формулу (2.27) определения дюрацни. Решение. \

Р

D =

nN

_tT(l + г)' (l + r)"_ или _1_

р'

D =

1С 2 С nC nN

+ Т VT+... + - — +

1 + г (1 + г)2 (і + г)я (1 + г)\ или nN

D = — Р

С 1С nC

+ - —-К..+

Р(\ + г)" '

1 + г (і + г): " (і + г)г С

Вынесем за скобки величину

1 + г С

mV

п

П =

(2.28)

Р(1 + г)

3

1 + г (1 + г):"' (1 + г)"' Обозначим = а и запишем равенство (2.28) в квадратных скобках с

1+г

использованием Ч :

С f, ~ ^ л-11 л/V'

?> = —7 г l + 2tf + + . /2 29Ї

Упростим выражение в квадрашых скобках равенства (2.29). Оно представляет производную ряда геометрической прогрессии: (2.30)

1 + 2с/ + 3

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО РЫНКУ ЦЕННЫХ БУМАГ, СРОЧНОМУ РЫНКУ И РИСК-МЕНЕДЖМЕНТУ. 2008

Еще по теме 2.4. Дюрация:

  1. 6. Дюрация (длительность)
  2. 3.2. Проведение оценки по выбранным критериям
  3. Содержание
  4. Параметры стратегий
  5. Система исследований
  6. Литература и источники в Интернет
  7. 4. Оценка инвестиционных инструментов коммерческого банка с позиций портфельного инвестирования
  8. § 3. Субъекты финансового права
  9. § 4. Защита прав субъектов финансового права
  10. § 5. Гарантии защиты и восстановления нарушенных прав субъектов финансового права
  11. § 5. Финансовое право и финансовая политика государства