8.3. Историческое моделирование. Вектор дельтэ-VaR. Приростный VaR

Задача 8.54.

Портфель состоит только из обыкновенных акций компании А. Стоимость портфеля равна 1 млн. руб. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятност ью 90% на основе исторического моделирования.

8

10 11

10

10

11

Решение.

Определяем доходность акции компании Л в расчете на день за предыду- ший десятидневный период по формуле:

V

Данные представлены в таблице 8.2.

Таблица 8.2. Доходноеіь акции в расчете на день (в десятичных значениях) Дни 1 2 3 4 5 Доходность -0,111 -0,125 0,143 0.125 0.111 Дни 6 7 8 9 10 Доходность од -0.182 0,111 0.1 -0,091

(Например, доходност ь ш десятый день равна: 10/11 -1 = - 0,091.) Изменение стоимости портфеля для конъюнктуры первою дня наблюдений равно:

1000/иыс.-(-0.111) = -1 I \тыс.руб.

Изменение стоимости портфеля для конъюнктуры второго дня наблюдений составляет:

1 ОООтыс.• (- 0,125) = -\25тыс.руб.

Таблица 8.3. Изменение сюимоеіи портфеля за каждый день (тыс. руб.) Дни 1 2 з 4 5 Изменение стоимости -111 -125 143 125 111 Дни 6 7 8 9 10 Изменение стоимости 100 -182 111 100 -91

Расположим результаты в порядке возрасіания:

-182;-125;-111;-91; 100; 100; III; III; 125; 143

и найдем значение дохода, соответствующее персентилю 10%. (Доверительной вероятности 90% соответствует персситиль 10%).

Для дискретной случайной величины значение равное искомому персентилю рассчитывается по формуле:

(8.11)

WM

персентиль р% (значение)

глс xi - /'-ев порядке возрастания значение случайной величины;

vv.

рассматриваемом наборе ее значений, и и'. = -—у •

п - количество значений случайной величины в рассматриваемом наборе данных.

В примере значение -182 имеет порядковый номер I, а - 125 - 2. Соответственно w> - ^ \ =0 и и*. = 777-7 0,1 111. Значение равное персснтилю

10-1

10-1

10% равно:

-182+ (0.1 - 0) = -110 J тыс.руб, t

0,1111-0

Таким образом, доход, соответствующий персентилю 10%, равен -130,7руб. Следовательно, VaR с доверительной вероятностью 90% равен 1 30.7руб

Задача 8.55.

В портфель стоимостью 1 млн. руб. входят обыкновенные акции двух компаний -А и В. Уд. вес в портфеле акций компании А 60%, компании В 40%. Для исторического моделирования выбран период за предыдущие 14 дней. Доходности акций за этот период представлены в таблице 8.4.

Таблица 8.4. Доходность акций в расчете на день (%) Дни

1 2 3 4 5 6 7 А 0,5 1.2 0,3 -0.1 -0,6 0,1 -0.12 В 1,2 0,8 0,4 -0,5 -1,3 -0,4 0,13 Дни 8 9 10 П 12 13 14 А 0,7 1,8 -0,2 0,25 0,12 0.7 0.2 В 0,8 0.95 0,31 -0,4 -0,6 -0,37 -0,11

Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью: а) 90%; б) 95%. Решение.

а) Доходность портфеля за первый день наблюдений составила:

0,6 0,5 + 0,41,2 = 0.78%. Изменение стоимости портфеля за первый день равно:

1 ООО тыс. ¦ 0.0078 7$тыс.руб.

Доходность портфеля за второй день наблюдений составила:

0,6-1,2 +0.4 0.8 = 1,04%. Изменение стоимости портфеля за второй день равно:

I ООО тыс. • 0.0104 = 1 OA ты с. руб. и т.д.

Доходности и изменение стоимости портфеля за рассматриваемый период представлены соот ветственно в таблицах 8.5 и 8.6.

Таблица 8.5. Доходность портфеля (%) Дни 1 2 3 4 5 6 7 Дох-сть 0,78 1,04 0.34 -0,26 -0,88 -0,1 -0.02 Дни 8 9 10 1 1 12 13 14 Дох-сть 0,74 1,46 0.004 -0,01 -0,168 0,272 0,076

Таблица 8.6. Изменение стоимост и портфеля (тыс.руб.)

Дни 1 2 3 4 5 6 7 Изменение 7.8 10.4 3,4 -2,6 -8.8 -1 -0,2 стоимости Дни 8 9 10 11 12 13 14 Изменение 7,4 14.6 0,04 -0.1 -1.68 2,72 0,76 стоимости

-8,8 -2,6 -1,68 -1 -0,2 -0,1 0.04 0.76 2,72 3,4 7.4 7,8 10,4 14,6 В примере значение 2.6 имеет порядковый номер 2.

2-1 3-1

Соответственно и\ = =0,076923 и и\ = = 0,153846. Согласно

14-1 14-1

формуле (8.11) значение равное персентилю 10% равно:

-1.68-(-2,6)

2.6 +

(0.1 - 0,076923) = -2,324тыс.руб.

0,153846-0,076923

Таким образом, доход, соответствующий персентилю 10%, равен минус 2,324 тыс. руб. Следовательно, VaR с доверительной вероят нос тью 90% равен минус 2,324 тыс. руб.

б) Доверительной вероятности 95% соответствует иерсентиль 5%. По формуле (8.11) ои равен минус 4,77 тыс. руб.

Задача 8.56.

Курс доллара 1 долл. = 28 руб., курс евро 1 евро - 34 руб. Банк купил на енотовом рынке 300 тыс. долл. и 400 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете па один день составляет 0.6%, евро - 0.65%, коэффициент

корреляции равен 0,85 и ковариация составляет 0.3315. Определить вектор DelVar портфеля для однодневного VaR с доверительной вероятностью 95%. Поясни ть полученные цифры. Решение.

Долларовая позиция банка в рублях составляет:

ЗООтыс.долл.- 2% руб. = 8,4 млн. руб.

Позиция по евро в рублях:

400 тыс.діжі.-34 руб. -13,6мл і І. руб.

VaR по долларовой позиции равен:

ЪАмлн.руб. • 0,006 • 1,65 = 83,16тыс.руб.

VaR по евро равен:

13,6млн.руб. • 0.0065 • 1,65 = 145,86тыс.руб. VaR портфеля составляет: [. 71 0,85 Y 83.16 ^

= 220.9Зтысруб.

VaR =j(83,16 145,86І

* f Л 0,85 1 J^ 145,86 Векюр Del VaR определяется по формуле: Qp_

VaR

(8.12)

Del VaR = где О - матрица ковариации, скорректированная на требуемый уровень доверительной вероятности;

р - маїрица-столбсц потоков денежных средств:

VaR., рассчитанный VaR портфеля.

Q =

Ковариационная матрица для доверительной вероятности 95% составляет: ( 1,652 -0,0062 1,65"' -0,00003315^1 1,652 -0.00003315 1.652 • 0.00652 0.00009801 0,000090251 0,000090251 0.000115026/

Согласно формуле (8.12) вектор DelVar равен:

/ 0. (Ю009801 0.000090251 V 8400 ^ 0,000090251 0,000115026

13600

/ 0,00928 х

220.93

0.01051,

Полученные значения вектора DelVaR интерпретируются следующим образом. Если увеличить долларовый фактор риска портфеля в эквивалентных цифрах еще на один рубль, то VaR портфеля вырастет приблизительно на

DelVaR

0.00928 руб. Если увеличить фактор риска по евро в эквивалентных цифрах на один рубль, то VaR портфеля приблизительно вырастет па 0,01051 руб.

Задача 8.57.

Для условий задачи 8.56 определить приростный (предельный) VaR портфеля, если банк купил дополнительно 20 тыс. дохл, и 10 тыс. евро. Определить на основе значений вектора дельта-Га/? новый VaR портфеля. Решение.