<<
>>

2.7. Разные задачи

Задача 2.182.

Докажите, что если доходность до погашения купонной облигации равна купонному проценту, ее цена равна номиналу. Решение.

10.

Пена облигации равна : 1(2.80)

+

N

г

(1 + гГ Величина С равна ';Л", где К - купонный процент.

Подставим данное выражение в формулу (2.80): N

1

+ •

1(1 + г)"

(1 + гГ Учитывая, что по условию задачи rc = г . после сокращения получим: N

1

1+ ¦

Г = N (1 + rY

(1 + гу или Г = N.

Задача 2.183.

Покажите, что величина равная отношению цены облигации к номиналу представляет собой средневзвешенную величину купонного процента, деленного на доходность до погашения, и единицы. Решение.

Цена облигации равна: N

I

+ ¦

(2.81)

I(1 + гУ Разделим левую и правую части (2.81) на номинал облигации:

1(2.82)

(1 + г)"

Р_ C/.V .? ~ г

0 + '-)_ Формула (2.82) показывает, что величина равная отношению пены облигации к номиналу (/УЛ') равна средневзвешенной величине купонного процента,

10 См.

задачу 217.

С/N

деленного на доходность до погашения ~ , и единицы. Весами выступают и

величины

(1 + г)"

О+'У Задача 2.184.

Доказать, что стандартное отклонение относительного изменения цены облигации является линейной функцией стандартного отклонения изменения процентной ставки. Решение.

Относительное изменение цены облигации равно: (2.83)

р т

Возьмем дисперсию от левой и правой частей выражения (2.83):

Уаг

или СІР

Уаг

= D2mVar[dA. Извлечем квадратный корень: / \ dP

Р

\ /

(2.84)

а

= Dn\ dr І. Выражение (2.84) показывает, что стандарті нос отклонение относительною изменения цены облигации - гго линейная функция стандартного отклонения изменения процентной ставки.

Задача 2.185.

Доказать, что в день выплаты купона цена облигации с плавающим купоном равна номиналу.

Решение.

Согласно формуле (2.79) цена облигации находится дисконтированием будущего купона и номинала под спотовую процентную ставку. В день выплаты купона определена новая спотовая процентная ставка для следующею периода, пусть она равна г;. В следующем периоде соответственно будет

выплачен купон в размере rxN . С учетом сказанного цена облигации равна:

p_riN + N ^N(l + r}) v 1 + г, 1 + /j

Задача 2.186.

11а рынке обращаются годичные бескунонныс облигации номиналом 1000 руб. Инвестор в начале года покупает данные облигации на 1000 руб. В конце года они погашаются. 13 начале каждого следующего года он реинвестирует полученные от погашения облигаций средства в новые аналогичные облигации. Доходность до погашения облигаций в течение всего периода инвестирования постоянна и равна г. Определить, какое количество облигаций инвестор купит в начале п -го года. Облигации предполагаются делимыми. Решение.

Обозначим цену бескупонной облигации через Р руб. Поскольку доходность до погашения облигаций одинакова для всего периода времени, то в начале каждого следующего года новые облигации покупаются по одинаковой цене. В начале первого года на 1000 руб. инвестор покупает облигации в коли чес і ве:

1000 ,

= 1 + г штук.

Р

В начале второго года в результате погашения облигаций он получает сумму 1000( 1 + г) руб. и реинвестирует ее в:

1000(1 +г) 1000, , Ul . \2 = I + /•) = (1 + Г)(1 + /-) = (1 + /-) облигаций.

В начале третьего года он покупает:

1000(1 +г)

= 0 + г) облигаций.

Р

Аналопічно рассуждая, получаем: в начале "-го года инвестор купит 0+'*) облигаций.

Задача 2.187.

Тїа рынке обращаются годичные осекупоппые облигации номиналом 1000 руб. Инвестор в начале года покупает данные облигации на 10000 руб. В конце года они погашаются. В начале каждого следующего года он реинвестирует полученные от погашения облигаций средства в новые аналогичные облигации. Доходность до погашения облигаций в течение всего периода инвестирования постоянна и равна /¦.

Определить, какое количество облигаций инвестор купит в начале -го года. Облигации предполагаются делимыми. Решение.

Обозначим цену бескупонной облигации через Р. В начале первого года па 10000 руб. инвестор покупает облигации в количестве:

10000 1П1000 . —— = 10—- = 10(1 + г) штук.

В начале второго гола в результате погашения облигаций он получаеі сумму 10(1 + г)1 ООО руб. и реинвестирует се в:

10(1 + - 10(1 + rf облипший.

Аналогично рассуждая, получаем: в начале п -го года инвестор купит 10(1 • г) облигаций.

Задача 2.188.

Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 1000 руб.. купон 7,1%, выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для одного года 6.9%, двух лет 7%, трех лег 7,2% годовых. Инвестор может выпускать дисконтные векселя с любым номиналом и на любые сроки под ставки спої1, а также выпускать купонные облигации, доходность которых определяется ставками спої. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль.

Решение.

Согласно существующим ставкам спот цена купонной облигации должна быть равна:

71 71 1071 00-7 С '

+ - + г = 997.8 руб.

1,069 1,07 1,072

Поскольку теоретическая цена облигации, определяемая ставками спот, не равна ее цене, можно получить арбитражную прибыль. 1

Задача 2.189.

Ставка спот для одного года 6,9%, двух лег 7%, ірех лл 7,2% юдовых. Инвестор планирует выпустить трехлетнюю купонную облигацию. Купон выплачивается один раз в год. Какую величину купона следует назначить по облигации, чтобы ее цена была равна номиналу. Решение.

Величину купона определим из следующего равенства:

С С С +1000 . „

+ + — = 1000 руб.

1,069 1.07 - 1,072

или ґ 1 1 1 '

+

С

1,069 1.07 1,072Jj Решая ею. получаем: С" 71.84руб. или 7,184%.

v

1,072

Пример арбитражной операции см. в задаче 2.175. Задача 2.190.

Доказать, что при восходящей форме кривой доходности бескупонных облигаций кривая доходности форвардных ставок будет располагаться над этой кривой.

Решение.

Если кривая доходности бескупонных облигаций имеет восходящую форму, то г: > г , где rt - доходность бескупонной облигации, погашаемой

через t дет.

, - доходность бескупонной облигации, погашаемой через / I год. Отсюда следует, чт о:

(l + r,y>(l + r,,y. (2.85)

В свою очередь:

(l + rJ-O + r^ + rJ, (2.86)

где гф - форвардная ставка для периода времени t - (/ -1). Подставим (2.86) в (2.85):

(l + rr-i)' 1(1 + ^)>(, + '; іУ- (2.87)

Чтобы выдерживаюсь неравенство (2.87), должно выполняться условие: rp>rr Это означает, что кривая форвардных ставок располагается выше кривой доходности бсскупонных облигаций.

Задача 2.191.

Доказать, что при нисходящей кривой доходности бескупонных облигаций кривая доходности форвардных ставок будет располагаться под этой кривой. Решение.

Если кривая доходности бескупонных облигаций имеет нисходящую форму, то >; < >; ,. Отсюда следует, что:

(«+';)'

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО РЫНКУ ЦЕННЫХ БУМАГ, СРОЧНОМУ РЫНКУ И РИСК-МЕНЕДЖМЕНТУ. 2008

Еще по теме 2.7. Разные задачи:

  1. Ты и я – такие разные
  2. Существуют самые разные типы покупателей
  3. 1.2. Задачи криминалистики
  4. 1 Ключевые задачи
  5. ЗАДАЧИ ПЛ. КАПИЦЫ
  6. Задачи
  7. ЗАДАЧЕ-ОРИЕНТОРОВАННЫЙ
  8. 13. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
  9. 2.1. Задачи ранжирования альтернатив
  10. Детализация задач
  11. 1.1. Цели и задачи
  12. Задачи аудита
  13. Задачи для контроля
  14. 2. Определение задачи (ГБ
  15. 4.1. Задачи порядковой классификации альтернатив
  16. III. ЗАДАЧИ
  17. Задача философии
  18. 1.2. Задачи и система показателей