<<
>>

2.3. Реализованный процент (доходность)

Задача 2.61.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Инвестор полагает, что за пот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых.

Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения. Решение.

Через пять лет инвестору выплатят номинал облигации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования представляв собой будущую стоимость аннуитета. Поэтому она составит:

I^[(1 + 0,12)5-I]= 635.29/^.

Общая сумма средств, которые получит инвестор за пять лет, равна:

1000 + 635.29 = 1635,29 руб.

Задача 2.62.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 6% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Решение.

Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования за четыре года равна:

— [(1 + 0.06)4 -l]= 349,97руб. 0,061 J

С учетом выплаты номинала общая сумма средств по облигации через четыре года составит:

I (К)() + 349.97 = 1349,97руб. Задача 2.63.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб.. купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации шесть лет. Инвестор полаїает, что в течение ближайших двух лет он сможет реинвестировать купоны под 10%. а в оставшиеся четыре года под 12%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения. Решение.

Сумма купонов и процентов оі их реинвестирования та первые два года (по первым двум купонам) составит:

о 1\

—(l,l'-l)=168/;vr5.

0,Г

(То есть через гол инвестор получит первый купон и реинвестирует его на год под 10%. сше через год получит следующий купон. В сумме это даст 168 руб.) Полученная сумма инвестируется под 12% на оставшиеся четыре года:

168 • 1,124 = 264,35руб.

Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования под 12% в течение четырех последних лет составит:

^(ш- -\)=Ш,35руб.

Общая сумма, которую инвестор получит по облигации, равна:

1000 + 264.35 + 382,35 = \Ш,1 руб.

Задача 2.64.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 6%. выплачивается один раз в год. До погашення облигации три года. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух лет он сможет реинвестировать купоны под 7%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения. Решение.

Инвестор имеет возможность реинвестировать первый и второй купоны под 7%. Третий купон будеї выплачен при погашении облигации. Поэтому сумма купонов и процентов от их реинвестирования есть не что иное как трехлетний аннуитет. Fro будущая стоимость равна:

0.07 '

Общая сумма, которую инвестор получит по облигации, равна:

1000+ 192.89-1192.89/лтх

Задача 2.65.

Определить реализованный процент для условий задачи 2.64. Решение.

Реализованный процент - это процент, позволяющий приравнять сумму всех будущих поступлений, которые инвестор планирует получить по облигации, к ее сегодняшней цепе. Он определяется по формуле:

I

п (2.15)

-1 .

Г =

будущие поступления цена покупки . облигации j ^ 1192,89s'

Согласно (2.15) реализованный процент по облигации равен:

, 1000 у

-1 = 0,0606 или 6.06% годовых. Задача 2.66.

Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Инвестор покупает облигацию за 950 руб. До погашения облигации три года. Инвестор полагает, что он сможет реинвестировать купоны под 8%. Определить реализованный процент по облигации, если вкладчик продержит се до погашения.

Решение.

Обшая сумма средств на момент погашения облигации составит:

—(l,083 l)+1000 = 1194.78mtf. 0,08v ' F

Согласно (2.15) реализованный процент по облигации равен:

і

(1194 78 V4

; ' -1 = 0,0794 или 8,77% годовых. I 950 J

Задача 2.67.

Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности обшая сумма средств с учетом реинвест ирования купонов, которую инвестор получит

от владения облигацией при ее погашении, равна P(l + г)' . где п - время, остающееся до погашения бумаги. Решение.

Цена облигации равна:

с с с + лг

Умножим левую и правую части равенства (2.16) на (.1 + г) :

/>(і + г) = С(1 + гУ + C(l + г)Г2 +... + С + N . (2.17)

Равенство (2.17) показывает, что общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией

при горизонтальной структуре кривой доходности, равна Я(і + г)". Это следует из правой части равенства (2.17). В правой части первый купон, который инвестор получает через год, реинвестируется на период (и-1). второй купон на период (п-2) и т.д. При погашении облигации выплачивается последний купон и номинал. Формула (2.17) показывает, что общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов равна инвестированию суммы равной цене облигации под существующий процент до момента погашения бумаги.

Задача 2.68.

Инвестор купил облигацию и продаст ее за t лет до момента погашения сразу после выплаты очередного купона. Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности общая сумма средств с учетом реинвестирования

купонов, которую инвестор получит от владения облигацией, равна P(l + r) , где п — t — время, которое инвестор будет владеть облигацией. Решение.

Пена облигации равна:

С С С С С C + /V

Г = - + Г- + ...4 г4- Г + ...+ - + . (2 ш

(1 + г) (1 + г)- (1+г)"' (1+гГ- (1 + г)" (1 + г)"

Инвестор планирует продать бумаїу за і лет до ее погашения сразу после выплаты очередного купона, т.е.

он продержит ее в течение n — t лет. Умножим

левую и правую часть равенства (2.18) на О + г) ':

гл/л у/ ¦ 1 /->{« \n-i-2

С С C+jV />(Н-г) =С(1 + г) +С(1 + г) + ... + С+—+...+- —+——.(2.19)

I+' 0+г) (1+/) В равенсіве (2.19) последние слагаемые представляют собой пс что иное как цену облигации, когда до ее погашения останется t лет. обозначим ее через Р :

С С C+N

' I-і-/- (1 + гХ ' +(1 + гУ ' Поэтому запишем (2.19) как:

Р(| + г)Г = С(\ + /-Г'' + С( 1 + гУ'1 +... + Р(. (2.20)

Равенство (2.20) показывает, что обшая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией,

равна Р(\ + г ) '.

Задача 2.69.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет, за 887 руб. Купон но облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до I!%, и цена ее выросла до 941.11 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов (реализованную доходность), если процентная ставка останется на уровне 11%, и он продаст бумагу через три года.

Решение.

Согласно формуле (2.20) общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией

и продажи ее r момент /, равна Р[\ + г)'. Общая сумма дохода, полученная инвестором по облигации через три года равна:

общая сумма дохода= 941,1 l(l +0,11)3 = 1287.09руб. Инвестор купил бумагу за 887 руб. Реализованная доходность равна:

(1287,09 V'3

-1=0.1321 или 13.21% годовых.

887

Примечание.

R задаче 2.69 формулу определения реализованной доходности можно представить в одно действие:

Гг =

или р

и

Р

(2.21)

Г г =

Ы-1, где Гг - реализованная доходность;

Р„ новая цена облигации после изменения процентной ставки на рынке: Р - цена, по которой облигация была куплена; г - процентная ставка, соответствующая новой цене облигации.

Задача 2.70.

Для условий задачи 2.69 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит но облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет.

Решение.

Согласно формуле (2.21) реализованная доходность по облиі ации за девять лет равна:

( 941,11 V

(l + 0,1I) -1 = 0,1173 или 11,73% годовых.

I 887 )

Задача 2.71.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет.

за Ю64.18 руб. Купон по облигации выплачивается одни раз в год. На следующий день доходност ь до погашения облигации упала до 8%, и цена ее выросла до 1134,20 руб. Определить доходность в расчете на год, которую іпівсстор получит но облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 8%. и он продаст бумагу через три года.

Решение.

Согласно (2.21) реализованная доходност ь по облигации за три года равна: / \ 1/Я

1134,20 1064,18,

(1 + 0.08)-1 = 0,1032 или 10,32% годовых. Задача 2.72.

Для условий задачи 2.71 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получи і по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет. Решение.

(1134,20 V'9

(1 + 0,08)-1 = 0.0877 или 8,77% годовых.

1064,18;

Задача 2.73.

В задаче 2.71 инвестор после трех лет владения облигацией получил реализованную доходность равную 10.32%. В задаче 2.72 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 9 лет получил реализованную доходность равную 8,77%. Обьяспите. почему во втором случае доходное»ь от владения облигацией снизилась.

РешеЕІИе.

В задачах 2.71 и 2.72 после покупки облигации се доходность до погашения упала, следовательно выросла цена. От падения ставки выиграл краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный оффекі проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации ее цена приближается к номиналу. В то же время краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более низкий процент (8%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность долгосрочного инвестора будет ниже, чем у краткосрочной).

Задача 2.74.

Инвестор купил купонную облигацию, ло погашения которой осталось пятнадцать лет. за 928.09 pyf>. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 12%. и цена ее упала до 863.78 руб.

Определить доходность в расчете на год. которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 12%. и он продаст бумагу через четыре года.

Решение.

Согласно (2.21) реализованная доходность по облигации за четыре года равна: ? \ 0.25

863,78 928.09,

(1 + 0,12)- 1 = 0.10 или 10% годовых. Задача 2.75.

Для условий задачи 2.74 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит но облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через десять лет. Решение.

863.78

Л 0,1

928,09,

(1 + 0,12)-1=0,112 или 11.2% годовых.

Задача 2.76.

В задаче 2.74 инвестор после четырех лет владения облигацией получил реализованную доходност ь равную 10%. В задаче 2.75 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 10 лет получил реализованную доходность 11,2%. Объясните, почему во втором случае доходность от владения облигацией выросла.

Решение.

В задачах 2.74 и 2.75 после покупки облигации се доходность до погашения выросла, следовательно снизилась цена. Оі рое і а ставки теряет краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный эффект проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации се цена приближается к номиналу. В дополнение к этому краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более высокий процент (12%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность для долгосрочного инвестора будет выше, чем у краткосрочного.

Задача 2.77.

Инвестор купил купонную облшацию, до погашения которой десять лет. за 887 руб. Доходность до погашения облигации 12%. Купон по облигации выплачивается

одіпі раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 11%, и цена ее выросла до 941.11 руб. Определить, сколько времени должен продержать іпівестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 11%. Решение.

Реализованная доходность равна:

(2.22)

где Т - время, которое держит облигацию инвестор.

Найдем из (2.22) значение Т. Для этого преобразуем (2.22) следующим образом:

1 + /",

Р

и

1/7*

1 + г

. Р

(2.23)

Возьмем от обеих частей (2.23) натуральный логарифм и вынесем показатель степени за знак логарифма: 1 + г/ =!,п ' Р \

' н 1 + г, Т yPj In

Отсюда: Т =

In (PJP)

(2.24)

ln(l + /;./1+г)

Для іоіо, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:

1п(941.11/887)

Т =

= 6.6 года.

1п(Ь 0,12/1 + 0,11)

Задача 2.78.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой десять лет, за 887 руб. Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается одни раз в год. Доходност ь до погашения облигации 12%. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 13%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процент ная ставка на рынке останется на уровне 13%.

Решение.

При росте доходности до погашения до 13% цена облигации упала до 837,21 руб. Для 1-ого, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:

_ In (837,21/887) ^ ^

Т ~ 1 - 6,5 лет.

1п(1+0,12/1 + 0,13)

Задача 2.79.

Для условий задачи 2.78 определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12,3%. если процентная ставка на рынке останется на уровне 13%.

Ответ.

9.3 года.

Задача 2.80.

Инвестор купил купонную облигацию с доходность до погашения 8%. Номинал облигации 1000 руб., купон 8,5%, выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до ІЮІ ашения облигации выросла до 8.2%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 8%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 8,2%. До погашения облигации 5 лет.

Решение.

Инвестор купил облигацию по цене 1019.96 руб. После роста доходности до погашения цена облигации упала до 1011.92 руб. Инвестор должен продать облигацию через:

1п(1011,92/1019.96) Т = = 4,28 года.

In (1,08/1,082)

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО РЫНКУ ЦЕННЫХ БУМАГ, СРОЧНОМУ РЫНКУ И РИСК-МЕНЕДЖМЕНТУ. 2008

Еще по теме 2.3. Реализованный процент (доходность):

  1. ГЛАВА 7. ДОХОДНЫЙ ПОДХОД. МЕТОДЫ ДОХОДНОГО ПОДХОДА В ОЦЕНКЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ
  2. Глава 11. Как реализовать план
  3. Как реализовать план
  4. 7.2. РЕАЛИЗОВАННЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРОГРАММЫ РАЗВИТИЯСТРОИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА В РОССИИ
  5. 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДНОСТИ ОБЛИГАЦИИ
  6. 3. 1. 2. Сложный процент
  7. Кривая доходности
  8. 3. 1. 1. Простої! процент
  9. Проценты и их виды
  10. 33.3. МЕТОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  11. Ожидаемая доходность
  12. 3. 1. ПРОСТОЙ И СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ
  13. 4.3 Доходный подход
  14. 51. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДНОСТИ АКЦИИ
  15. Исчисление сложного процента и дисконтирование
  16. Глава 29. ПРОЦЕНТ И КАПИТАЛ
  17. Определение доходности акцнн
  18. ДОХОДНЫЙ МЕТОД
  19. 7.3 Особенности применения методов доходного подхода