<<
>>

1.2. Сложный процент. Эффективный процент.Непрерывное начисление процентов

Задача 1.9.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится на счете через 5 лет?

Решение.

Сложный процент - это процент, который начисляется на первоначально инвестированную сумму и начисленные в предыдущий период проценты.

При начислении сложного процента с капитализацией одни раз в год используется формула:

Рп =Р(1+г)\ (1.3)

где Р инвестируемая сумма;

Р„ - сумма, получаемая через п лет;

п - число лет, которое сумма находится на счете:

г ставка процента.

Согласно формуле (1.3) по счету будет получена сумма:

Р} =1000(1 + 0, l)s =1610,51/7)*).

Задача 1.10.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 9% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

Л = 1000 (і + 0,09 j3 =1295,03 руб.

Задача 1.11.

Вкладчик размещает на счете в банке сумму Р.

Банк в конце года начисляет процент г. Докажите, что через три года сумма па счете инвестора составит величину Р = Р( I + г)3

Решение.

В конце первого года сумма на счете вырастет до величины:

Р, =Р(\ + Г). В конце второго года она возрастет до:

Р2 = Р(\ + г) + P(l + г)г = />(і +ГІ1 + г) = Р(\ + 7-f .

В конце третьего года она составит:

/> = р(I + г)2 + Р(1 + г)2 г = /°(| + rf (і + г) = /'(1 + г)\

Задача 1.12.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. на три года. Капитализация проценти осуществляется ежегодно. За первым год банк начисляет 10%, второй - 9%, третий 8% J одовых. Какая сумма денег получится на счет е через 3 года?

Решение.

Если банк начисляет разные проценты за разные периоды времени, то формула (1.3) принимает вид:

Я.-лі+ІІХІ+ІІМІ+О.

(1.4)

где у - процент за соответствующий год.

Рк = I ООО IJ -1,09 • 1,08 = 1294.92 руб.

Задача 1.13.

Вкладчик размешает в банке 1000 руб. под 9,5% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете через каждые полгода. Какая суммм денег получится на счете через 3 года? Решение.

В случае начисления сложного процента в рамках года формула (1.3) принимает вид:

( у»

1 = 1* + - > (1.5)

V т)

где т - периодичность начисления процентов в течение года. Согласно формуле (1.5) по счету будет получена сумма: и

0,095 а!

Р =1000

1 + = [12101 руб. Задача 1.14.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осущест вляет капитализацию процентов на счете ежеквартально. Какая сумма денег получится на счет е через 3 года? Решение.

( о ox V5 /> = 2000 I 4 I = 2536,48руб.

Задача 1.15.

В начале года вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого гола. В течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 90 дней? База 365 дней.

Решение.

По счету вкладчика за три года будет начислен сложный процент, за 90 дней простои процент. Общая сумма по счету в конце периода составит:

( 90 ^

2000(1 + 0,08) 1 + 0.08— =2569,12руб.

\ 365 >

Задача 1.16.

За 30 дней до окончания гола кладчик размешает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процептов в конце каждого года. В течение года по счету начисляется простои процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 120 дней? База 365 дней.

Решение.

До начала следующего года сумма находится на счете 30 дней. По неіі начисляется простой процент. Через три года сумма будет находится на счете еще 90 дней. По ней также начисляется простой процент. За іри целых і ода будет начислен сложный процент. Общая сумма по счету в конце периода составит:

2000) 1 + 0,08-^ (1 + 0,08)"| 1 + 0,08-9|^ - 2586,02руб.

Задача 1.17.

Банк начисляет по счету 10% годовых.

Капитализация процентов осуществляется два раза в і од. Определит ь величину эффективного процента.

Решение.

Эффективный (реальный) процент - это процент, который получается по итогам года при начислении сложного процента в рамках года. Он определяется по формуле: / \ »>

(1.6)

=

1+^1 -1 т где г1ф - эффективный процент;

г - проегой процент в расчете на год, который задан по условиям

финансового инструмента:

т периодичность начисления процентов в течение года. Согласно формуле (1.6) эффективный процент равен: V

0.1

1 +

г» =

-1 = 0,1025 или 10,25% годовых. Задача 1.18.

Выведите формулу (1.6). Решение.

Если вкладчик инвестирует сумму И на год под процент г с капитализацией т раз в год, то в конце периода согласно (1.5) будет получена

сумма ^ + т • Если он инвестирует сумму Р на год под эффективный

процент , то в конце периода будет получена сумма + Проценты г и г^ эквивалентны в том случае, если обе суммы одинаковы. Поэтому приравняем их друг к другу:

\ та

V w.

или

1 +

т)

или

г, = 1+ — -1 * I /77

Задача 1.19.

4 J

038 или 10.38% годовых.

Банк начисляет по счету 10% годозых. Капитализация процентов осуществляется ежеквартально. Определить величину эффективного процента. Решение.

Задача 1.20.

Доходность финансового инструмента с погашением через 270 дней равна 10% годовых. Определить эффективный процент. База 365 дней. Решение.

В случае, если в рамках года не укладывается целое число периодов начисления процентов, формула (1.6) принимает вид': t

1 + г-1

оаза

(1-7) где t - период финансовой операции (например, время краткосрочного банковского депозита, время с момента покупки до продажи или погашения ценной бумаги меньшее года).

Согласно формуле (1.7) эффективный процент равен:

365 о,270 4 + 0,1

365

~' -1 = 0,10128 или 10,128% годовых. Задача 1.21.

Доходность финансового инструмента с погашением через 50 дней равна 5.4% годовых.

Определит ь эффективный процент. База 365 дней. Решение.

.W5

( 50 50

1\ф - 1 +0,054— I 1 =0.05527 или 5,527% годовых.

365 )

Задача 1.22.

В расчете на 80 дней доходность финансовой операции инвестора составила 10%. Определить эффективный процент. База 365 дней.

Решение.

Поскольку инвестор получил 10% в расчете не на год, а на 80 дней, то формула 11.7) принимает вид:

% = 0 + f -і , (1.8) где /; - доходность за период t.

Согласно формуле (1.8) эффективная доходность равна:

}¦ = (1 + 0,1 рг -1 ^ 0,5447 или 54.47% годовых.

Задача 1.23.

Банк предлагает три годичных депозита: I) ставка 10% годовых, начисление процента по завершении і ода; 2) ставка 9,9%. капитализация процентов осуществляется ежеквартально; 3) ставка 9,8%, капитализация процентов осуществляется ежемесячно. Определить, какой депозит следует выбрать инвестору, если он планирует разместить деньги в банке на один год.

Решение.

По второму депозиту' эффективный процент равен: ' 0,099 N 4 l +

-1 = 0,1027 или 10,27% годовых.

4

По третьему депозиту эффект ивный процент равен: 0.0984'

1 +

1 = 0,1025 или 10.25% годовых.

12

Инвестору с.ісдуеі выбрать второй депозит. Задача 1.24.

Эффективный процент равен 8,16% годовых. Определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год, если начисление процентов осуществляется каждые полгода. Решение.

Из формулы (1.6) простой процент равен":

г = тЩ\+г+ -l). (1.9)

Согласно (1.9) эквивалентный простой процент равен:

г = 2^1 + 0,0816 -1 )= 0,08 или 8% годовых.

Задача 1.25.

Эффективный процент равен 8,77% годовых. Определить эквивалентный ему простой пропет в расчете на год, если начисление процентов осуществиіяегся ежеквар тапьно. Решение.

г - 4\ф 4 0,0877 -1 )= 0,084955 или 8,4955% годовых.

Задача 1.26.

Вкладчик размещает в байке І000 руб. под 10% годовых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денег он получит па счете через 2 года.

Решение.

Непрерывное начисление процента получается в том случае, если в формуле (1.5) периодичность начисления процента устремить к бесконечности (т—ж). Дли непрерывно начисляемого процента формула (1.5) принимает следующий вид:

Рп=Ре"\ (1.10)

где г - непрерывно начисляемый процент:

п - количество лет начисления процента:

?> = 2.71828...

Через два года сумма на счете составит:

Р. = 1000t>O12 = 1221,4 руб.

Задача 1.27.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. пэд 10% головых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денег он получит на счете через 5 лет.

Решение.

Р: = 1000еЛ1' = 1648,72/w5.

Задача 1.28.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денеї он получит на счете через полгода.

Решение.

Для времени равному полгола п = 0.5 .

;=1000

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО РЫНКУ ЦЕННЫХ БУМАГ, СРОЧНОМУ РЫНКУ И РИСК-МЕНЕДЖМЕНТУ. 2008

Еще по теме 1.2. Сложный процент. Эффективный процент.Непрерывное начисление процентов:

  1. 3. 1. 2. Сложный процент
  2. 33.3. МЕТОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  3. 3. 1. ПРОСТОЙ И СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ
  4. 4. Способы начисления процентов в российских банках
  5. Исчисление сложного процента и дисконтирование
  6. 3. 1. 1. Простої! процент
  7. Проценты и их виды
  8. 4-9. Потребление, сбережения и ставка процента
  9. Глава 29. ПРОЦЕНТ И КАПИТАЛ
  10. 13. Прибыль, ссудный процент, рента
  11. Проценты на подлежащие возмещению суммы НДС