<<
>>

12.5. Определение составаоптимального портфеля в Excel


> Пример 12.3. Даны три типа ценных бумаг с характеристиками, приведенными в табл. 12.4. Уровни доходностей ценных бумаг не коррелированны.
Таблица 12.4 j і 2 3 a; 0,05 0,1 0,15 ст2 0,25 0,5 0,8
Определить зависимость состава оптимального портфеля от его ожидаемой доходности и построить график функции ap (стp j
при оптимальном составе портфеля.
Решение. Построим матрицу риск-доходность: А =
0,5 0 0 0,05 1 0 1 0 0,1 1 0 0 1,6 0,15 1 0,05 0,1 0,15 0 0 1110 0 Вычислим обратную матрицу, используя Excel. Алгоритм вы-числения обратной матрицы имеет следующий вид.
Выделить поле для записи обратной матрицы.
Нажать на кнопку « fx ».
В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».
Выделить преобразуемую матрицу.
ОК.
F2 ^ одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.
В результате получим матрицу, обратную матрице А: А'1 =
0,1639 -0,3279 0,1639 -11,8033 1,5082 -0,3279 0,6557 -0,3279 3,6066 -0,0164 0,1639 -0,3279 0,1639 8,1967 -0,4918 -11,8033 3,6066 8,1967 -190,164 15,4098 1,5082 -0,0164 -0,4918 15,4098 -1,5246 Для нахождения столбца состава портфеля нужно перемножить две матрицы: " 0 " 0 0 ap p 1 X =
0,1639 -0,3279 0,1639 -11,8033 1,5082 -0,3279 0,0100 -0,3279 3,6066 -0,0164 0,1639 -0,3279 0,1639 8,1967 -0,4918 -11,8033 3,6066 -0,4918 -137,7049 15,4098 1,5082 8,1967 -0,0164 15,4098 -1,5246 Алгоритм вычисления произведения матриц имеет следующий вид.
Выделить поле для записи произведения матриц.
Нажать на кнопку « fx ».
В категориях «Математические» выбрать функцию «МУМНОЖ».
Выделить первую матрицу.
Выделить вторую матрицу.
ОК.
F2 ^ одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.
Для того чтобы компьютер вычислил произведение двух матриц, надо ар задать в виде числа. Однако более целесообразно получить зависимость состава оптимального портфеля как функцию от доходности ар . Для этих целей произведение двух матриц
можно представить как сумму двух произведений матриц: "0" 0 0 1 0 " 0 0 0 1 ар +
0,1639 -0,3279 0,1639 -0,3279 0,0100 -0,3279 0,1639 -0,3279 0,1639 -11,8033 3,6066 -0,4918 1,5082 8,1967 -0,0164
0,1639 -0,3279 0,1639 -0,3279 0,0100 -0,3279 0,1639 -0,3279 0,1639 -11,8033 3,6066 -0,4918
1,5082 8,1967 -0,0164
X=
-11,8033 1,5082 3,6066 -0,0164 8,1967 -0,4918 -137,7049 15,4098 15,4098 -1,5246
-11,8033 1,5082" 3,6066 -0,0164 8,1967 -0,4918 137,7049 15,4098 15,4098 -1,5246 " -11,8033 " " 1,5082" 3,6066 - 0,0164 8,1967 ар + - 0,4918 -137,7049 15,4098 15,4098 -1,5243 -11,8033ap + 1,5082 3,6066ap - 0,0164 8,1967ap - 0,4918 -137,7049a p +15,4098 15,4098ap - 1,5243
Доли ценных бумаг первого (x1 j , второго (x2 ) и третьего (x3 j
типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля. Используя нормировку (12.1), можно провести проверку полу-ченного результата. При этом сумма полученных зависимостей состава портфеля должна быть равна единице:
x1 + x2 + x3 = -11,8033ap +1,5082 + + 3,6066ap - 0,0164 + 8,1967ap - 0,4918 = 1 .
Для построения графика ap (стp j для заданных доходностей
проводят расчет состава портфеля и риска. Например, для ap = 0,1 состав портфеля определяется соотношениями
x1 = 0,32787; x2 = 0,34426; x3 = 0,32787 .
Дисперсию портфеля находим по формуле
CTP = XJ2ctJ2 + x22a2 + X32ct2 = 0,327872 • 0,25 + 0,344262 • 0,5 + + 0,327872 • 0,8 = 0,17213.
Стандартное отклонение ст = 0,415 . Результаты расчета представлены в табл. 12.5.
Таблица 12.5 ap 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,157 x1 0,8 0,682 0,564 0,446 0,328 0,009 x2 0,2 0,236 0,272 0,308 0,344 0,442 x3 0 0,082 0,164 0,246 0,328 0,549 ст p 0,424 0,387 0,372 0,382 0,415 0,582 Построение графика функции ap (стp j в Excel приведено в примере 12.2. График функции ap (стp j представлен на рис. 12.2.

0,14 -| 0,12 - 0,10 к
| 0,06- § 0,04 - 0,02 - 0,8
0,2 0,4 0,6
Стандартное отклонение Рис. 12.2. Доходность-риск оптимального портфеля Л
При увеличении или уменьшении ожидаемой доходности оптимального портфеля ap по сравнению с граничными значениями,
представленными в табл. 12.5, доли общего вложения x. становятся отрицательными.
Из графика функции ap (стp j примера следует, что возможно
существование экстремальной точки, в которой стандартное отклонение (дисперсия) портфеля имеет минимальное значение. Эту задачу можно решить с помощью метода множителей Лагранжа:
n n
^ = ЕЕ ^j'^n ^ min
i=1 j=1
при
I x, -1 = 0 .
j=1
Целевая функция Лагранжа для этого условия имеет вид:
n n
L = II xxj aj + Hi=1 j=1
( n Л
Ix, -1
j=1 Координатні экстремальной точки x, находятся из системы линейных уравнений
dL = _dL = 0
ox, dp.
Систему этих линейных уравнений можно решить матричным методом. Ее решение имеет вид: 2am 1
2a 2n 1
2ann 1 1 0 x1 0 x2 0 xn 0 1 " 2a 2a 2a11 2a12 2a21 2a 22
2an1 2an2
2a11 2а12 '21 2а 22
2am 1
2a2n 1
Если матрицу риска обозначить через а = 2an1 2an2
1
2ann 1 10 x
x а вектор правой части че
вектор состава портфеля через % = рез р =
, то систему уравнений можно записать в виде
а = Р. Найдем решение этого уравнения:
(12.24)
X = а 1 •Р ,
где а-1 — матрица, обратная матрице а . минимально
> Пример 12.4. Условия примера 12.3. Определить состав оптимального портфеля для возможной дисперсии в матричной форме. Решение. Составим матрицу риска
а =
0,5 0 0 1 0 10 1 0 0 1,6 1 1110 Найдем матрицу а , обратную матрице риска а. Алгоритм вычисления обратной матрицы имеет следующий вид.
Выделить поле для записи обратной матрицы.
Нажать на кнопку « fx ».
В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».
Выделить преобразуемую матрицу.
ОК.
F2 ^ одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.
В результате получим матрицу, обратную матрице а : а-1 =
0,897 -0,552 -0,345 0,552 -0,552 0,724 -0,172 0,276 -0,345 -0,172 0,517 0,172 0,552 0,276 0,172 -0,276 0,552 0 0,552 0,276 0 0,276 0,172 0 0,172 0,276 1 -0,276 Находим матрицу-столбец состава портфеля:
X =
0,897 -0,552 -0,345 -0,552 0,724 -0,172
-0,345 -0,172 0,517 0,552 0,276 0,172 Доли ценных бумаг первого (x1 j , второго (x2 j и третьего (x3 j
типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля. Стандартное отклонение портфеля равно: V
2 2 . 2 2. 2 2 x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 =
= УІ0,5522 • 0,25 + 0,2762 • 0,5 + 0,1722 • 0,8 = 0,372. Ожидаемая доходность такого портфеля
ap = x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0,552 • 0,05 + 0,276 • 0,1 + 0,172 • 0,15 = 0,081.
Таким образом, при доходности портфеля 8,1% его стандартное отклонение a p = 0,371, а при доходности 9% имеем a = 0,382
(см. пример 12.3), т.е. при увеличении доходности в 1,125 раз стандартное отклонение увеличилось в 1,03 раза. Л
Эта экстремальная точка является исходной при анализе доходности и риска портфеля ценных бумаг. После определения этой точки инвестор будет знать ожидаемую доходность при минимально возможном риске. Так как в этой точке доходность растет существенно быстрее, чем стандартное отклонение, то инвестор имеет возможность изменить состав портфеля так, что ожидаемая доходность может заметно увеличиться при незначительном увеличении риска. При этом необходимо иметь в виду, что изменение состава портфеля на заданную величину стандартного отклонения может как увеличить, так и уменьшить ожидаемую доходность.
Метод выбора оптимального состава портфеля можно свести к следующему. Выбрав тип ценных бумаг, инвестор рассчитывает состав портфеля для минимально возможной дисперсии. Затем рас-считывается минимально возможное стандартное отклонение и соответствующая ему ожидаемая доходность. Если инвестор предпочитает повысить ожидаемую доходность, то он для ряда новых до- ходностей определяет стандартное отклонение по приведенной выше методике Марковца и выбирает приемлемый для себя вариант.
<< | >>
Источник: Б.Т. Кузнецов. Макроэкономика. 2011

Еще по теме 12.5. Определение составаоптимального портфеля в Excel:

  1. Страхование инвестиционного портфеля
  2. 87. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  3. ГЛАВА 2.ОСОБЕННОСТИ EXCEL, ПОЛЕЗНЫЕ БУХГАЛТЕРУ
  4. ГЛАВА 3.ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ EXCEL В БУХГАЛТЕРИИ
  5. 67. ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
  6. ГЛАВА 1.ОСНОВЫ РАБОТЫ С ЭЛЕКТРОННЫМИ ТАБЛИЦАМИ EXCEL
  7. 1.1. Знакомство с Excel
  8. Коцюбинский А.О., Грошев С.В.. Excel для бухгалтера в примерах., 2003
  9. 4.2. Ведение налогового учета с помощью Excel
  10. 2. Принципы управления единым портфелем активов и пассивов банка
  11. 20-3. Выбор оптимального портфеля ценных бумаг агентом, не склонным к риску
  12. 1. 8. Установление факта смерти лица в определенное время и при определенных обстоятельствах
  13. § 1. Прекращение трудового договора в связи с нарушением приговора суда о лишении лица права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью
  14. § 2. ЛИШЕНИЕ ПРАВА ЗАНИМАТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ДОЛЖНОСТИ ИЛИ ЗАНИМАТЬСЯ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ (СТ. 47 УК
  15. 8.2. Исполнение наказаний в виде штрафа, лишения права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью, лишения специального, воинского или почетного звания, классного чина и государственных наград
  16. Определение инвестиций
  17. Определение обязательств
  18. Определение влюбленности
  19. Определение целей