<<
>>

12.7. Алгоритм построения оптимального портфеля ценных бумаг


Для построения функции ожидаемой доходности портфеля, состоящего из безрисковых ценных бумаг и n типов рисковых ценных бумаг, используется следующий алгоритм.
Определяют состав оптимального портфеля из n типов рисковых ценных бумаг для экстремальной точки на кривой ap (ст )
(точка D на рис.
12.3) по формуле % = а-1 •Р .
Определяют доходность и дисперсию в экстремальной точке по формулам (12.2) и (12.3) или по формулам (12.23).
Задаются рядом значений доходности портфеля, состоящего из n типов рисковых бумаг, больших и меньших, чем доходность в экстремальной точке. Для каждой из доходностей определяют состав оптимального портфеля по формуле (12.20), а затем дисперсию — по формуле (12.23).
По полученным результатам строят график ap(ст ) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг.
Определяют координаты точки касания. Для этих целей со- ставляют матрицу риск-доходность 0 2ст01 • • 2СТ0П a0 1 2ст10 2ст11 • • 2CT1n a1 1 Л = 2СТП0 2ст n1 • • 2CTnn an 1 a0 a1 • • an 0 0 1 1 • .1 0 0 и находят для этой матрицы обратную матрицу
-*00 a10
-'0,п+1 A1,N+1
A0,n+2 a1,n+2
0n
Л' = in0
n,n+2
¦in,n+1 "n+1,0 "n+1,1 an+2,0 an+ 2,1
"*n+1, n "n+1, n+1 "n+1, n+2 0n+2,n an+2,n+1 an+ 2,n+2 Состав портфеля ценных бумаг определяется соотношением x0 x1 xn = X n+ 2,0 "n+ 2,1
-•n+1, n "n+1, n+1
n+ 2,n "n+2,n+1 "n+ 2,n+2
" 0 " 0 0 ap p 1 Отсюда находим формулу для определения доходности ap в точке касания. В общем случае
х0 = a0,n+1 ' ap + a0,n+2Так как в точке касания х0 = 0 , то ap = —
0,n+1
6. Определяют структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания по формуле ' 0 " X1 Xn = X 00 a10
an0 an
°n+1,0 an+1,1 an+ 2,0 an+2,1
0n a1n
*n,n+1
n1
a0,n+1 a0,n+2 a1,n+1 a1
1, n+2
n,n+2
"*n+1, n "n+1, n+1 "n+1, n+2 an+2,n an+ 2, n+1 an+2,n+2
" 0 " 0 0 ap p 1 7. Определяют дисперсию в точке касания по формулам (12.3) или (12.24). 8. На оси
a
p
откладывают точку, координата которой равна до ходности безрисковой ценной бумаги a0.
Через эту точку проводят прямую, касательную к функции ap (a )
для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг (см. рис. 12.3). Отрезок, соединяющий точку на оси ap и точку касания K,
является искомой функцией ожидаемой доходности портфеля.
определяют состав портфеля инвестора. x0 а00 a01 • • a0n a0,n+1 a0,n+ 2 " 0 " x1 a10 a11 • • a1n a1,n+1 a1,n+2 0 Xn = an0 an1 • • ann an,n+1 an,n+2 0 X an+1,0 an+1,1 • • an+1, n an+1, n+1 an+1, n+2 ap an+ 2,0 an+ 2,1 • • an+2,n an+2,n+1 an+2,n+2 1 > Пример 12.5. Даны четыре типа ценных бумаг, три из которых — рисковые (j = 1, 2, 3) и одна — безрисковая (j = 0), с характеристиками, приведенными в табл. 12.6.
Таблица 12.6
j 0 1 2 3 aJ 0,04 0,05 0,1 0,15 a 2 0 0,25 0,5 0,8 Инвестор в соответствии со своей склонностью к риску может указать точку на отрезке прямой доходность-риск или задать только стандартное отклонение, характеризующее его отношение к риску. По формуле
Доходности ценных бумаг не коррелированны. Определить функцию ожидаемой доходности портфеля, состоящего из этих бумаг, от стандартного отклонения, а также доходность и состав портфеля инвестора при выборе им стандартного отклонения портфеля ст pu = 0,3.
Решение. 1—4.
Следует обратить внимание на то, что в состав портфеля вошли те же ценные рисковые бумаги, что и в предыдущих двух примерах. Состав такого оптимального портфеля был определен, и была построена функция ар =ст(арj
(см. рис. 12.2). Данные представлены также в табл. 12.5. 5. Для определения координаты точки касания составим матрицу риск-доходность: 0 0 0 0 0,04 1 0 0,5 0 0 0,05 1 0 0 1 0 0,1 1 0 0 0 1,6 0,15 1 0,04 0,05 0,1 0,15 0 0 1 111 0 0
А =
1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081
и найдем для этой матрицы обратную матрицу:
А"1 =
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 -1,73817 1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176 -0,21452 -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528 0,275028 -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352
Доходность в точке касания равна а0,и+2
= 0,1164.
aP ="
0,и+1
1,523652 -13,0913 6. Найдем структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания: А-1 =
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652 -1,73817 1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176 -0,07041 -0,21452 -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528 -0,21122 0,275028 -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605 -0,24202 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081 " 0" " -0,00018" 0 0,134477 0 0,403432 0 0,462266 0,1164 -6,72387 1 0,268955
Таким образом, состав портфеля в точке касания: x1 = 0,134; x2 = 0,403; x3 = 0,463^
Найдем дисперсию в точке касания по формуле (12.3):
стp = І І x1x]a1] = 0,1342 • 0,25 + 0,4032 • 0,5 +
i=1 j=1
+ 0,4632 • 0,8 = 0,25683; стр = 0,51.
По оси ординат откладываем координату, соответствующую доходности безрискового актива (рис. 12.4).

Стандартное отклонение
Рис. 12.4. Графики доходность-риск
Проводим через эту точку прямую, касательную к функции доходности от стандартного отклонения рискового портфеля. Точка касания имеет координаты ст pk = 0,51; apk = 0,116 ,
Риск портфеля, выбранный инвестором, составляет ст ри = 0,3. Связь доходности, желаемой инвестором, с желаемым риском определяется соотношением
ap,u = (ap k - a0)) + a0 = (0,116 - 0,04))- + 0,04 = 0,085^ ст p,k 0,51 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352
1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652
X =
-1,73817 -0,21452 0,275028 1,964796 -0,10561 -0,12101 -0,10561 0,683168 -0,36304 -0,12101 -0,36304 0,209021 1,760176 5,280528 6,050605 -0,07041 -0,21122 -0,24202 " 0" " 0,410891" 0 0,079208 0 0,237624 0 0,272277 0,085 -3,9604 1 0,158416 Таким образом, доля различных ценных бумаг в портфеле со-ставит: x0 = 0,411; x1 = 0,079;
x2 = 0,238; x3 = 0,272. Следует обратить внимание на то, что риск портфеля, равный 0,3, меньше риска самой малорисковой ценной бумаги, риск которой равен 0,5. С другой стороны, доходность портфеля, равная 8,5% годовых, больше доходности самой малорисковой ценной бумаги, доходность которой равна 5% годовых. Л
<< | >>
Источник: Б.Т. Кузнецов. Макроэкономика. 2011

Еще по теме 12.7. Алгоритм построения оптимального портфеля ценных бумаг:

  1. 20-3. Выбор оптимального портфеля ценных бумаг агентом, не склонным к риску
  2. 87. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  3. ?.?. ????????, ?93 ?.?. ??????. ????? ?????? ?????, 2006
  4. 43. ЭМИССИЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  5. Шпаргалка по рынку ценных бумаг
  6. Осуществление эмиссии ценных бумаг
  7. 3.3. ЗАЛОГ ПРАВ И ЦЕННЫХ БУМАГ
  8. 23.2. Понятие и виды ценных бумаг
  9. 29. ПЕРВИЧНЫЙ РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
  10. 23.1. Понятие и субъекты рынка ценных бумаг
  11. 45. ДЕПОЗИТАРНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ НА РЫНКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ
  12. 51.1. СТРУКТУРА РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ
  13. 5. ВИДЫ ЦЕННЫХ БУМАГ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА