12.7. Алгоритм построения оптимального портфеля ценных бумаг
Для построения функции ожидаемой доходности портфеля, состоящего из безрисковых ценных бумаг и n типов рисковых ценных бумаг, используется следующий алгоритм.
Определяют состав оптимального портфеля из n типов рисковых ценных бумаг для экстремальной точки на кривой ap (ст )
(точка D на рис.
12.3) по формуле % = а-1 •Р .Определяют доходность и дисперсию в экстремальной точке по формулам (12.2) и (12.3) или по формулам (12.23).
Задаются рядом значений доходности портфеля, состоящего из n типов рисковых бумаг, больших и меньших, чем доходность в экстремальной точке. Для каждой из доходностей определяют состав оптимального портфеля по формуле (12.20), а затем дисперсию — по формуле (12.23).
По полученным результатам строят график ap(ст ) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг.
Определяют координаты точки касания. Для этих целей со- ставляют матрицу риск-доходность 0 2ст01 • • 2СТ0П a0 1 2ст10 2ст11 • • 2CT1n a1 1 Л = 2СТП0 2ст n1 • • 2CTnn an 1 a0 a1 • • an 0 0 1 1 • .1 0 0 и находят для этой матрицы обратную матрицу
-*00 a10
-'0,п+1 A1,N+1
A0,n+2 a1,n+2
0n
Л' = in0
n,n+2
¦in,n+1 "n+1,0 "n+1,1 an+2,0 an+ 2,1
"*n+1, n "n+1, n+1 "n+1, n+2 0n+2,n an+2,n+1 an+ 2,n+2 Состав портфеля ценных бумаг определяется соотношением x0 x1 xn = X n+ 2,0 "n+ 2,1
-•n+1, n "n+1, n+1
n+ 2,n "n+2,n+1 "n+ 2,n+2
" 0 " 0 0 ap p 1 Отсюда находим формулу для определения доходности ap в точке касания.
В общем случаех0 = a0,n+1 ' ap + a0,n+2Так как в точке касания х0 = 0 , то ap = —
0,n+1
6. Определяют структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания по формуле ' 0 " X1 Xn = X 00 a10
an0 an
°n+1,0 an+1,1 an+ 2,0 an+2,1
0n a1n
*n,n+1
n1
a0,n+1 a0,n+2 a1,n+1 a1
1, n+2
n,n+2
"*n+1, n "n+1, n+1 "n+1, n+2 an+2,n an+ 2, n+1 an+2,n+2
" 0 " 0 0 ap p 1 7.
Определяют дисперсию в точке касания по формулам (12.3) или (12.24). 8. На осиa
p
откладывают точку, координата которой равна до ходности безрисковой ценной бумаги a0.
Через эту точку проводят прямую, касательную к функции ap (a )
для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг (см. рис. 12.3). Отрезок, соединяющий точку на оси ap и точку касания K,
является искомой функцией ожидаемой доходности портфеля.
определяют состав портфеля инвестора. x0 а00 a01 • • a0n a0,n+1 a0,n+ 2 " 0 " x1 a10 a11 • • a1n a1,n+1 a1,n+2 0 Xn = an0 an1 • • ann an,n+1 an,n+2 0 X an+1,0 an+1,1 • • an+1, n an+1, n+1 an+1, n+2 ap an+ 2,0 an+ 2,1 • • an+2,n an+2,n+1 an+2,n+2 1 > Пример 12.5. Даны четыре типа ценных бумаг, три из которых — рисковые (j = 1, 2, 3) и одна — безрисковая (j = 0), с характеристиками, приведенными в табл. 12.6.
Таблица 12.6
j 0 1 2 3 aJ 0,04 0,05 0,1 0,15 a 2 0 0,25 0,5 0,8 Инвестор в соответствии со своей склонностью к риску может указать точку на отрезке прямой доходность-риск или задать только стандартное отклонение, характеризующее его отношение к риску. По формуле
Доходности ценных бумаг не коррелированны. Определить функцию ожидаемой доходности портфеля, состоящего из этих бумаг, от стандартного отклонения, а также доходность и состав портфеля инвестора при выборе им стандартного отклонения портфеля ст pu = 0,3.
Решение. 1—4. Следует обратить внимание на то, что в состав портфеля вошли те же ценные рисковые бумаги, что и в предыдущих двух примерах. Состав такого оптимального портфеля был определен, и была построена функция ар =ст(арj
(см. рис. 12.2). Данные представлены также в табл. 12.5. 5. Для определения координаты точки касания составим матрицу риск-доходность: 0 0 0 0 0,04 1 0 0,5 0 0 0,05 1 0 0 1 0 0,1 1 0 0 0 1,6 0,15 1 0,04 0,05 0,1 0,15 0 0 1 111 0 0
А =
1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081
и найдем для этой матрицы обратную матрицу:
А"1 =
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 -1,73817 1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176 -0,21452 -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528 0,275028 -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352
Доходность в точке касания равна а0,и+2
= 0,1164.
aP ="
0,и+1
1,523652 -13,0913 6.
Найдем структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания: А-1 =1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652 -1,73817 1,964796 -0,10561 -0,12101 1,760176 -0,07041 -0,21452 -0,10561 0,683168 -0,36304 5,280528 -0,21122 0,275028 -0,12101 -0,36304 0,209021 6,050605 -0,24202 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352 1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081 " 0" " -0,00018" 0 0,134477 0 0,403432 0 0,462266 0,1164 -6,72387 1 0,268955
Таким образом, состав портфеля в точке касания: x1 = 0,134; x2 = 0,403; x3 = 0,463^
Найдем дисперсию в точке касания по формуле (12.3):
стp = І І x1x]a1] = 0,1342 • 0,25 + 0,4032 • 0,5 +
i=1 j=1
+ 0,4632 • 0,8 = 0,25683; стр = 0,51.
По оси ординат откладываем координату, соответствующую доходности безрискового актива (рис. 12.4).
Стандартное отклонение
Рис. 12.4. Графики доходность-риск
Проводим через эту точку прямую, касательную к функции доходности от стандартного отклонения рискового портфеля. Точка касания имеет координаты ст pk = 0,51; apk = 0,116 ,
Риск портфеля, выбранный инвестором, составляет ст ри = 0,3. Связь доходности, желаемой инвестором, с желаемым риском определяется соотношением
ap,u = (ap k - a0)) + a0 = (0,116 - 0,04))- + 0,04 = 0,085^ ст p,k 0,51 -13,0913 1,760176 5,280528 6,050605 -88,0088 3,520352
1,523652 -0,07041 -0,21122 -0,24202 3,520352 -0,14081
1,677668 -1,73817 -0,21452 0,275028 -13,0913 1,523652
X =
-1,73817 -0,21452 0,275028 1,964796 -0,10561 -0,12101 -0,10561 0,683168 -0,36304 -0,12101 -0,36304 0,209021 1,760176 5,280528 6,050605 -0,07041 -0,21122 -0,24202 " 0" " 0,410891" 0 0,079208 0 0,237624 0 0,272277 0,085 -3,9604 1 0,158416 Таким образом, доля различных ценных бумаг в портфеле со-ставит: x0 = 0,411; x1 = 0,079;
x2 = 0,238; x3 = 0,272. Следует обратить внимание на то, что риск портфеля, равный 0,3, меньше риска самой малорисковой ценной бумаги, риск которой равен 0,5. С другой стороны, доходность портфеля, равная 8,5% годовых, больше доходности самой малорисковой ценной бумаги, доходность которой равна 5% годовых. Л
Еще по теме 12.7. Алгоритм построения оптимального портфеля ценных бумаг:
- 20-3. Выбор оптимального портфеля ценных бумаг агентом, не склонным к риску
- 87. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
- ?.?. ????????, ?93 ?.?. ??????. ????? ?????? ?????, 2006
- 43. ЭМИССИЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
- Шпаргалка по рынку ценных бумаг
- Осуществление эмиссии ценных бумаг
- 3.3. ЗАЛОГ ПРАВ И ЦЕННЫХ БУМАГ
- 23.2. Понятие и виды ценных бумаг
- 29. ПЕРВИЧНЫЙ РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
- 23.1. Понятие и субъекты рынка ценных бумаг
- 45. ДЕПОЗИТАРНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ НА РЫНКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ
- 51.1. СТРУКТУРА РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ
- 5. ВИДЫ ЦЕННЫХ БУМАГ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА