2-4. Некоторые динамические аспекты макроэкономики: ставка процента и приведенная стоимость

Многие ключевые макроэкономические проблемы касаются решений, не просто имеющих место в какой-либо момент времени, но включающих время как фактор при принятии решений. Решение семьи о величине сбережений в данном году фактически является решением с учетом фактора времени: тратить ли средства на потребление теперь или позднее.

Потоки

Формула связи: прирост запасов — поток Капитал (К)

Чистые инвестиции (/ — DN) К — К. = J W—W<-S

-1

NIIP - NIIP_: = СА

Финансовое богатство (W)

Сальдо зарубежных инвестиций (NIIP)

Сбережения (S) Текущий платежный баланс (СА) Государстве н н ы й долг (D9)

09 _ D9_: = DEF

Дефицит бюджета (DEF) ворим, что домашнее хозяйство производит многопериодный, динамический (учитывающий фактор времени) выбор, т.

Мы рассмотрим оптимальные долгосрочные решения многопериод- ного характера в последующих главах. Здесь же нам нужно ввести в анализ динамических решений два важнейших элемента: процентные ставки и чистую приведенную стоимость.

Процентные ставки есть не что иное, как нормативы, на основе которых сегодняшние деньги или товары могут быть обменены на деньги или товары в определенный момент времени в будущем.

Используя величину ставки процента, мы можем рассчитать приведенную стоимость некоторой суммы денег в будущем. Предположим, что процентная ставка равна 10% годовых и вы хотите найти приведенную стоимость 1 долл. в каждом из двух последующих лет. Как мы только что видели, 1 долл. следующего года имеет приведенную стоимость, равную 0,91 долл. Дополнительный доллар через два года может быть получен в результате сегодняшнего депонирования 0,83 долл., поскольку произведение 0,83 • 1,10 • 1,10 составляет примерно 1 долл. Следовательно, депонируя сегодня 1,74 долл. (0,91 + 0,83), вы можете получать в течение каждого из двух последующих лет по доллару. Короче говоря, приведенная стоимость 1 долл. следующего года и 1 долл. год спустя равняется 1,74 долл.

Для более общего случая предположим, что ставка процента составляет і годовых. Теперь рассчитаем приведенную стоимость будущего дохода, обозначенного символом У{ для года 1 -го, У2 для года 2-го, У3 для года 3-го и так далее до года N-го, которому соответствует доход YN. Чтобы получить на следующий год доход У{, сегодня нам нужно иметь У{/( 1 + /). Аналогично, для того чтобы получить через два года доход У2, мы должны иметь сегодня У2/( 1 + і)2. Произведя подобные операции для каждого из N последующих лет, найдем приведенную стоимость всей последовательности доходов из следующего равенства:

PV .Jj- + -Il— + ... + УN ¦ (2.15)

(1 + 0 (1 + і)2 (1 + I)3 (1 + if

Во многих случаях семья, фирма или правительство должны принять решение о том, стоит ли из соображений будущих доходов У вложить сегодня сумму, равную /0.

NPV ш -j+JLi— + . yn (2Л6)

0+0 0+02 (І + і)"

Если NPFявляется положительной величиной, идея инвестирования приемлема; если отрицательной — предложение должно быть отвергнуто. (В последующих главах мы подвергнем инвестиционные решения более глубокому анализу.)

Один частный и чрезвычайно важный случай касается такого вложения средств, которое способно "вечно" приносить один и тот же объем дохода в единицу времени. Возьмем для примера облигацию, приносящую У годовых для любого года из последующего периода (такая бессрочная облигация известна под названием консоль). Ее приведенная стоимость PV может быть рассчитана следующим образом:

PV = —+ Y + ... +—X. + ... (247)

(1 + і) (1 + /)2 (1 + i)N

Эта формула представляет собой сумму бесконечного числа слагаемых. Найти ее значение не составляет особого труда, поскольку эта сумма является геометрической прогрессией. Из элементарной алгебры известно следу-ющее выражение:

і 2 3 N I *

I + 0+ 0 +0 + ... +0 + ... = •

(1-а)

Таким образом, соотношение (2.17) может быть переписано следующим образом:

¦Эта формула верна лишь при | а \ < I, что в рассмотренном случае имеет место, так как /' > 0 и < I. — Прим. науч. ред.

PV [1 + о + о2 + о3+ ... +aN + ...],

(1 + /)

где о = 1/(1 + /). Следовательно, PV= Y/(L + /)[1/(1 - о)], где о = 1/(1 + /). Отсюда непосредственно следует, что

PV =-• (2.17,а)

/