<<
>>

4.3. Рекуррентные модели динамики финансовых ресурсов


Основной целью настоящего параграфа является развитие модели финансовой фирмы в направлении учета фактора времени и исследование тех изменений, которые вносят в стратегию привлечения средств связующие ограничения на ресурсы системы для смежных этапов ее функционирования.
При переходе к рекуррентной динамической модели сразу следует отметить, что прибыль, получаемая фирмой на отдельных этапах, не может быть единственным оценочным показателем ее деятельности — помимо нее необходимо учитывать также и такие характеристики, как величина собственных средств (капитала) фирмы, темпы его изменения и т. п. Введем обозначения:
t — индекс периода (te 1: Г);
qt — объем собственных средств фирмы в г-м периоде; xt — объем привлеченных средств в ?-м периоде; v — усредненная норма затрат на единицу привлеченных средств; и — усредненная норма дохода на единицу используемых средств;1 6 — доля собственных средств, превращаемых в активы, т. е. ис-пользуемых для получения дохода. Тогда
v ¦ хс — затраты на привлечение средств в t-u периоде; и ¦ (8 • qt_x + xt) — доход t-то периода,
и величина собственных средств определяется рекуррентным соотношением
+ С4-3-1)
1 Дополнительно подчеркнем, что величины, обозначенные как и и v, интерпретируются как некоторые усредненные нормы и с этой точки зрения отличаются от ставок процентных выплат rL и rD, использовавшихся в моделях, рассматриваемых в главе 3.
Описанная модель основана на следующих существенных допущениях, значительно упрощающих реальную ситуацию:
предполагается неизменность норм и, v, 0 для всех периодов t, что обусловливает возможность непосредственного использования данной модели для относительно непродолжительных временных периодов;
предполагается, что изменения объемов привлеченных и применяемых средств, а также расходы и получение дохода происходят дискретно.
Однако, несмотря на эти упрощения, данная модель может быть эффективно использована для анализа принципиальных зависимостей динамики показателей состояния финансовой фирмы от норм затрат на привлечение средств и дохода от активов.
Соотношение (4.3.1) с математической точки зрения является линейным разностным уравнением, для решения которого может быть, в частности, применено г-преобразование. Аппарат интегральных и дискретных преобразований основан на связывании однозначной функции комплексной переменной (изображения) с соответствующей функцией действительной переменной (оригиналом). Для многих практически значимых ситуаций это позволяет операции над оригиналами заменить более простыми операциями над изображениями, что широко используется при решении дифференциальных и интегральных уравнений (интегральные преобразования) и в теории импульсных систем (дискретное преобразование Лапласа, г-преобразование).
Напомним, что z-преобразованием функции дискретного аргумента
f(k) = fk, k-0, 1,... называется функция
F(z) = ±fk-zk,
feO
определенная на некоторой области комплексной плоскости.
Приведем выражение (4.3.1) к виду
qM =(1 + u-Q)-qt + u-xM-v-xt (4.3.2)
или
(4-3.7)
где
5,=
1, если t = 0;
0, если f >0. (4'38)
Пусть gt -»G{z) и 5( —> 1 — z-преобразования функций gt и 5г.
Тогда gl+l ->z-G{z), и изображающее уравнение для (4.3.7) примет вид
z-G{z)-p-G{z) = l. (4.3.9)
Следовательно,
ч 1 1 2 G(z) = = . (4.3.10)
z-р z 2-р V У
Оригиналом для
z-p
служит последовательность р?. Стало быть, по известным свойствам 2-преобразования О, если t = 0; pw, если t> 0.
&
.м , (4.3.11) Чтобы привести уравнение (4.3.6) к нулевому начальному условию, введем новую переменную ht=qc-q0. Если положить
t
Д=ж0-(и-аи1-о)-Г1йр (4.3.12)
;=1
то уравнение для ht примет вид
/2t+1-pA=A+(P-i)собственного капитала при различных нормах затрат на привлечение средств (вид 2)
зо
ного финансового объекта. Сделать это можно лишь с очень большими оговорками и ценой существенных потерь в точности получаемых результатов. Поэтому предлагаемые ниже примеры претендуют только на демонстрацию работоспособности рассматриваемых методов на принципиальном уровне.
В качестве статистической базы для контрольного примера представляется разумным взять ежегодную финансовую отчетность одного из банков США, а именно Банка Нью-Йорка (The Bank of New York), свободный доступ к которой можно получить на Web-cepeepe FDIC.
В табл. 4.3.1 содержатся данные по динамике собственного капитала, обязательств и объемов процентных доходов и расходов в Банке Нью-Йорка за период с 1992 по 1997 год. На их основе находятся пер-вичные оценки значений нормы дохода от применения средств м , по-лучаемые как усредненное отношение процентного дохода Ut ко всему капиталу x,+qt, и нормы затрат на их привлечение v , равные усредненному отношению процентного расхода V\ к объему обязательств предыдущего периода xt_,. Учитывая то, что из рассмотрения опущены такие факторы, как непроцентные доходы и расходы, расходы на выплату налогов и т. п., для соотнесения объемов чистого проТаблица 4.3.1. Данные по динамике собственного капитала, обязательств, процентным доходам и расходам для Банка Нью-Йорка Год Обязательства, $ млн, Собственный капитал,
$ млн,
& Годовой прирост собствен-ного капитала, $ мот,.
н Процентный доход, $ млн,
и, Процентный расход, $ млн,
V, Чистый процентный доход, $ млн
ut-vt 1992 34 038 2 606 - 2 065 1 131 934 1993 33 207 2 881 3 053 1 808 836 972 1994 36 226 3 062 3 541 2 087 1 030 1057 1995 39 225 3 487 4 072 2 634 1 447 1186 1996 48 096 4 025 4 651 2 785 1 419 1366 1997 51 193 4 961 5 281 3 093 1 599 1494 Источник: html://wwwidic.gov
центного дохода Ut-Vt с приростами собственного капитала Aqt необходимо введение нормирующего коэффициента, значение которого определяется как отношение
АЪ
ut-vt'
Л После умножения на него первичных оценок норм дохода и затрат ("> v\ мы получаем их окончательные оценки (и, и). Оговоримся, что понятия первичности и окончательности оценок употребляются в контексте их использования для интерпретации модели (4.3.1). Применяя для нахождения оценки величины коэффициента элементарного перехода объема обязательств А формулу (4.3.20) и подставив вместо и и v их оценки й и v в формулу (4.3.21), можно найти прогнозные значения объемов собственного капитала qt по годам рассматриваемого периода. Результаты данного расчета представлены в табл. 4.3.2 (значение параметра 0, влиянием которого при столь высоком уровне погрешности, заложенном в исходной информации, можно пренебречь, взято равным 0,05, соответственно, р = 1,001 ).
Таблица 4.3.2. Фактические и прогнозные значения объема собственного капитала для Банка Нью-Йорка Год Обяза-тельства, $ млн, Xt Собст-венный капиталфакт, $ млн, qt Собст-венный капитал- прогноз, $ млн, Ч, В том числе по составляющим Отклонение прогноза
от факта,
% ЧоР' А-р 1992 34 038 2 606 - - - - 1993 33 207 2 881 3 053 2 609 445 -6,0 1994 36 226 3 062 3 541 2 612 930 -15,7 1995 39 225 3 487 4 072 2 615 1 458 -16,8 1996 48 096 4 025 4 651 2 618 2 033 -15,6 1997 51 193 4 961 5 281 2 621 2 661 -6,5 Источник: расчет по данным html://ww\v.fdic.gov

Год
Рис. 4.3.3. Динамика фактических и прогнозных значений объема собственного капитала для Банка Нью-Йорка
Относительно высокиц уровень отклонений между расчетными и действительными величинами, достигающий в отдельные годы (-16,8%), адекватен уровню ошибки, заложенному в используемых данных. По сериям, содержащимся в табл. 4.3.2, построены графики динамики фактического и прогнозного значений объема собственного капитала за период с 1993 по 1997 год, представленные на рис. 4.3.3.
Следующий пример аналогичен по структуре, но в нем в качестве объекта для исследования рассматривается не отдельный финансовый институт, а все банки-участники FDIC, что также демонстрирует и возможности применения рассматриваемых экономико-математиче- ских методов на разных уровнях агрегации. Суммарные данные по динамике собственного капитала, обязательств и объемов процентных доходов и расходов приведены в табл. 4.3.3.
Результаты расчета прогнозов объемов собственного капитала qt, полученные по описанной выше методике, помещены в табл. 4.3.4. Заслуживает внимания уменьшение отклонения прогнозных величин от фактических, что, в первую очередь, объясняется сглаживанием локальных колебаний и выбросов в рядах данных при их обобщении.
По аналогии с рис. 4.3.3 на рис. 4.3.4 приводятся графики динамики фактического и прогнозного значений за рассматриваемый период.
Таблица 4.3.3. Суммарные данные по динамике собственного капитала, обязательств, процентным доходам и расходам по банкам-участникам FDIC Год Обязатель-ства, $ млн, Собствен-ный капитал, $ млн, qt Годовой прирост собственного капитала, $ млн, Дqt Процентный доход, $ млн, Ut Процент-ный расход, $ млн, Vt Чистый процентный
доход, $ млн,
ut-vt 1985 2 561 554 169 117 - 248 220 157 323 90 898 1986 2 758 556 182 143 13 026 237 765 142 829 94 936 1987 2 819 298 180 651 -1 491 244 839 144 953 99 886 1988 2 934 250 196 546 15 894 272 277 165 028 107 249 1988 3 094 540 204 822 8 276 317 371 205 142 112 229 1989 3 170 873 218 616 13 794 320 476 204 952 115 524 1990 3 198 983 231 698 13 082 289 214 167 302 121 912 Источник: html://www.fdic.gov
Таблица 4.3.4. Фактические и прогнозные (по формуле (4.3.21)) значения объема собственного капитала по банкам-участникам FDIC
Год Обяза-тельства, $ млн, xt Собствен-ный капиталфакт, $ млн, qt Собствен-ный капитал- прогноз, $ млн, Я, В том числе по составляющим Отклоне-ние прогноза
от факта,
% ) = с ¦ (1 - (1 + а • а) • ехр(-ао). (4.3.23)
Напомним, что вопросам построения подобных функциональных зависимостей был посвящен п. 3.4.3. Подставив (4.3.23) в (4.3.1), получим
qM=(l+u-e)-qi+(u-v)-x, (4.3.24)
что, учитывая (4.3.4) и обозначив
A = (u-v)-x, (4.3.25)
можно записать в виде соотношения
qM-p-qt = А. (4.3.26)
Рис. 4.3.4. Динамика фактических и прогнозных (по формуле (4.3.21)) значений объема собственного капитала для банков-участников FDIC
т-1
¦2 1=0
получаем
Зададим г-преобразование qt —» Q(z). Тогда, используя его свойство їьш-ьґіт-(4.3.27) qM->z(Q(z)-q0). (4.3.28)
Правая часть (4.3.26) может быть представлена как произведение Л-Г|(, где
"0, г0, (4-329>
есть функция, для которой существует стандартное (табличное) преобразование
(4.3.30)
и соответственно
А-г
л-T|t->—7- (4.3.31)
2-1
На основании (4.3.26), (4.3.28) и (4.3.31) можно получить соотношение
(4.3.32)
или
(z-p)-Q(z)-z-qa = ~. (4.3.33)
Проведем преобразования / \ л у ч A-z A + z-q0-q0
(4.3.34)
(z-p)Q(z) =—- + z-q0 = z ^
2-1 2-1 и получим
A + z-q0-q0 ~ ^' (z — 1) • (z — р) (4.3.35)
ИЛИ (4.3.36)
Q(z) _ A-q0+zq0 z (z-V)-(z-p)' Дробь
А-Чо+г-Яо
(z-l).(z-p)
можно разложить на сумму элементарных дробей вида/>а Ь
2-1 2-р
где значения коэффициентов анЬ находятся с помощью стандартных подстановок z = 1 и z = р в выражение
A-q0+z-q0=a-(z-p) + b.(z-l) (4.3.37)
и соответственно равны:
1-P
1-Р
(4.3.38)
Откуда имеем
Q(z) а Ь А 1 -Л + О0-Ол- р 1
= + = + 40 Чй г (4.3.39)
Z 2-1 2-р 1-р 2-1 1-р 2 — р
ИЛИ Q(z)=
(4.3.40)
_Л 2 | -;4 + fl,-g„-p 2
1-P 2-1 1-р 2-р" Используя обратные табличные преобразования
z < z
—-=>1 и — 2-1 2-р •Р (4.3.41)
мы можем вернуться к оригиналу для Q(z) => qt: _ Л -Л + go-go-p
1-Р 1-Р 1-Р 1-Р и окончательно, учитывая (4.3.23) и (4.3.25), получаем
А
(4.3.42)
?t=?o-P'+ —-(P'-I). где Л = с • (1 - (1 + а ¦ v) ¦ ехр(-сю)) • (и - v).
Экономическая интерпретация формулы (4.3.42) в значительной степени аналогична интерпретации формул (4.3.21) и (4.3.22) — объем собственных средств финансовой фирмы на момент времени t по-прежнему определяется составляющими, зависящими от величины начального капитала (q0 ¦ р() и доходов от эксплуатации привлеченных средств
(P!-1)
Р-1
Поведение последовательности qt при различных значениях нормы затрат на привлечение средств v, изменяющихся в пределах [0; 0,4], и ?е 0:30 иллюстрируется поверхностью, изображенной на рис. 4.3.5.

Рис. 4.3.5. Динамика объема собственного капитала при различных нормах затрат на привлечение средств
Таблица 4.3.5. Фактические и прогнозные (по формуле (4.3.42)) значения объема собственного капитала по банкам-участникам FDIC Год Обяза-тельства, $ млн, xt \
Собственный капиталфакт, $ млн, qt Собственный капитал- прогноз, $ млн, Ч, В том числе по составляющим Отклонение вкладчиком одной операции: если после операции, проведенной в момент времени ґ„_,, остаток на счете равен x(t„A ) , то после непосредственно следующей операции, проводимой в момент времени tn, на счете остается вклад случайной величины
x(tn) = x(tn_i) а.
Предположим, что случайная величина бс имеет логарифмически нормальное распределение (аєіп(ра,о2)) с математическим ожиданием ра и с дисперсией о2 , то есть предположим, что логарифм этой случайной величины имеет нормальное распределение с математическим ожиданием р. и с дисперсией о2 (In а є N(p, о2)). Плотность распределения (1па-р )2 2а2
а>0, (4.4.6)
/(а;а) = -у= ехр случайной величины а позволяет наити ее математическое ожидание ' о2^ р + —
2
+оо
(4.4.7)
р0 = Ма = J а/(а ,a)da =ехр
о второй начальный момент
¦к»
Ма2 = J a2/(a;a)da = р2 + о2 =ехр(2р + 2а2) (4.4.8) о
и дисперсию
о2 = Da2 = Ма2 - (Ма)2 = ехр(2р + 2о2) - ехр(2р + о2). (4.4.9)
Для того чтобы охарактеризовать центр распределения логарифмически нормальной случайной величины а, можно использовать наряду с уже вычисленным математическим ожиданием Ма моду (локальный максимум плотности /(а;а)) moda = exp(p-o2) и
медиану med(a) = ехр(р), определяемую как корень уравнения F(med(a), a) = 1/2, где слева стоит функция распределения случайной величины a, выражаемая через стандартную нормальную функцию распределения г С ( 1\ X jexp ™ \ У dx
(4.4.10)
формулой
lna-p
л/2*
(4.4.11)
F(a ;a ) = Ф Найдем теперь случайный коэффициент a(п) изменения величины вклада на счете после п операций, предполагаемых взаимно независимыми. Эту случайную величину можно представить как произведение
п
а(п) = а, •...•«„ = fja, м
одинаково распределенных независимых случайных величин а,,..., ал, а, є Ія(ра,а2), Іпа, є iV(p,a2). Очевидно, что случайный коэффициент а(п) имеет логарифмически нормальное распределение: а(п)е Ln(n\i ,т2). Отсюда получаем выражения р + — 2
ч
Ма(п) = ехр[г;
Ма\п) = ехр[2и(р + а2)] = (Мое2)" = (р2 + а2) Da(n) = ехр[2и(р + о2)] - ехр[я(2р + о2)] = (р2 + о2)" - р2" для математического ожидания, второго начального момента и дисперсии случайной величины а(п) соответственно.
Заметим, что ситуация, когда операции начисления и списания не проводились, может быть формально описана вырожденной случайной величиной а(0), принимающей с вероятностью единица значение a(0) = 1. Эта случайная величина определяется функцией распределения 0, F(a ;a(0)) =
(4.4.15)
а1, имеет математическое ожидание Ма(0) = 1 и нулевую дисперсию. Предполагая, что к моменту времени t счет не ликвидирован, введем случайную величину a(n(t0,t)), представляющую собой случайный коэффициент изменения величины начального вклада х0 к моменту времени г (после случайного числа n(t0,t) операций с депозитом). Используя формулу полной вероятности, функцию распределения F(a ;a(n(t0,t))) случайной величины a(n(t0,t)) можно представить как дискретную смесь
F(a ;a(n(t0,t))= ^F(a;a(n))P.{n(t0,t) = n} =
и=0 MzfoE
п\
(4.4.16)
= ехр [ -X(t - *„)] ? F(a; й(п)) функций распределения непрерывных случайных величин а(1) а(п)
и вырожденной случайной величины а(0). Весовые коэффициенты этой смеси задаются распределением дискретной случайной величины n(t0,t).
Так как а(п)е Ьп(щ,па2), то (4.4.16) можно преобразовать в фор-мулу
F(a ;a(n(t0,t))) = F(a ;a(0))exp[-X(i-?„)] + Іпа -п\х a -Jn
Wt-tpW
п\
+exp[-X(?-?0)] ?Ф
(4.4.17)
дающую явное выражение для функции распределения случайной ве- „ личины a(n(t0,t)).
Для нахождения математического ожидания Ma(n(t0,t)) проведем ряд простых преобразований, учитывающих соотношение (4.4.16):
Ma(n(t0,t)) = jadF(a ;a(h(t0,t))) = [4t-tp)Y'
n\
•h
d_ da
ехр[-Х(ґ-?0)] Jf(a ;a(n))
jadF(a;a(n))
n\
=ехр[-Х(г-г0)] J
n=0 =exP[-x(?-f0>] jrlMLAКмт=
71=0 П'
Г * М vt^-^o) ЦаГ
п=0 ЯІ
= ехр[-Л(ї-*0)] • exp[X(?-?0) ра]. (4.4.18)
Отсюда получаем выражение
Ш( n(t0,t)) = exp[A(t-?0)(pa -1)] (4.4.19)
математического ожидания случайного коэффициента изменения величины депозита на промежутке времени [?0,ї] через математическое ожидание ра коэффициента изменения депозита при одной операции и параметр интенсивности X пуассоновского потока h(t) таких операций.
Проведя преобразования
Ma2(n(t0,t)) = J a2dF(a-,a(n(t0,t))) =
о
= ехр[-X(t-t0)] I[>-(t~7°)r Ма2(п) = п\
= ехр[-Л(?-?0)] ¦ ехр[Х(г-г0)(р2+а2)], (4.4.20)
аналогичные преобразованиям (4.4.18), получаем выражение
Ma2(n(f0,?)) = exp[X(?-it0)(p2 + а2 -1)] (4.4.21)
второго начального момента случайного коэффициента a(n(t0,t)) через математическое ожидание ра и дисперсию сх2 случайного коэффициента а изменения величины депозита при одной операции и через параметр интенсивности X пуассоновского потока n(t) таких операций.
Из (4.4.19) и (4.4.21) находим выражение
Da(n(t0,0) = Ma2 (n(tQ, t)) - [Ма(й(?0, t))f =
= ехр[Л(? -10 )(p2 + a2 -1)] - exp[2X(? -10 )(pa -1)] (4.4.22)
дисперсии случайного коэффициента изменения депозита за промежуток времени [?0,?] через математическое ожидание ра и дисперсию а2 случайного коэффициента а и через интенсивность X соответствующего пуассоновского процесса.
До сих пор мы предполагали, что рассматриваемый счет не будет ликвидирован к моменту времени t. Для учета возможности закрытия счета к моменту времени ? введем коэффициент а(?0,?) изменения начального вкладало за промежуток времени [?0,?] при помощи следующих соотношений: а(?0,?) = а(я(?0,?)) с вероятностью x0-exp[(t-t0)(X(K-i)-X_)]. (4.4.27)
Здесь ра = Ма — математическое ожидание коэффициента изменения величины вклада при одной операции, X — интенсивность потока операций с данным счетом, — интенсивность потока обстоятельств, вызывающих закрытие счета. Если величина вклада на момент време
Рис. 4.4.1. Схема событий для модели поведения реального
вкладчика
ни ? оценивается математическим ожиданием р0(?0,?), то точность такой оценки имеет смысл измерять при помощи стандартного отклонения о0(?„,?), связанного с дисперсией случайной величины f0(?0,?) формулой
a20(t0,t) = Dx0(?0,?) = х\ ¦ Da(t0,t) = (4.4.28)
= xl ¦ (ехр[(? -t0)[X (р2 + о2 -1)-X.]] - ехр[2(?-?0)[Х (цп-1)-Х_]]), где а2а — дисперсия случайного коэффициента изменения величины вкладу при одной операции. Если же величине вклада на момент времени ? дается интервальная оценка вида [лг_,х+], то вероятность того, что случайная величина вклада x0(t0,t) попадает в указанный интервал, определяется формулой
Р{х_ < х0(?0,?) < х+ }= Р J ^ < й(?0,?) < Ь- = -F
= F
—МЧА
(4.4.29)
Хп
—А (?„,?) .тп где F(a;a(te,t)) есть функция распределения (4.4.23) случайной величины fl(?0,?).
4.4.2. Модель поведения потенциального вкладчика
Рассмотрим теперь модель поведения потенциального вкладчика, то есть вкладчика, еще не открывшего своего счета к моменту времени t0. В этой модели предполагается, что счет открывается в некоторый случайный момент времени т>?0 под влиянием обстоятельств, появление которых во времени описывается пуассоновским стохастическим процессом k+([) с параметром интенсивности . Таким образом, случайное число k+ (?0, ?) = (?) — (?0) появлений за промежуток времени [?0,?] обстоятельств, способствующих открытию счета потенциальным вкладчиком, имеет распределение Пуассона: k+(tQ,t)ePn(k+(t-t0)) ¦ Для упрощения модели предполагается, что потенциальный вкладчик не может многократно открывать и закрывать свой счет на промежутке времени [?0,?].
Возможны два варианта поведения потенциального вкладчика на промежутке времени [?„,/]:
с вероятностью
рЛЧЛ = Р{КМ> 0} = l-expR+ (?-?„)]- (4.4.30)
в случайный момент времени из промежутка [?„,?] он открывает счет;
с вероятностью
q+ (ta,t) = i- (t0,t) = ехр[-Л+ (t -10)] - (4.4.31)
счет не открывается к моменту времени t (см. рис. 4.4.2).
Рассмотрим подробнее вариант, при котором счет открывается в случайный момент времени из промежутка [ї0,?]. Как известно, случайная величина х -?0 промежутка времени между двумя соответству-ющими соседними событиями, поток которых описывается пуассонов- ским процессом k^ (с) с интенсивностью , имеет экспоненциальную функцию распределения: х-?0 є Ер(к+). Математическое ожидание и

Рис. 4.4.2. Схема событий для модели поведения потенциального
вкладчика
дисперсия случайной величины т > t0 равны t0 + А,"1 и Х~2 соответ-ственно. Если предположить, что счет открывается на промежутке вре-мени [t0,f], то случайное время j(t0,t)e [?0,?] открытия этого счета имеет экспоненциальное распределение, суженное на промежуток [?0,г]. Функция распределения случайной величины х(t0,t) определяется формулой
F(x ;x(t0,t)) = = bEEllMlzM (4 4 32)
для значений хє [?0,?]. Для этих же значений переменной т плотность случайной величины т(t0,t) имеет вид
/(X = ЄХР^ГДг (4.4.33)
Знание плотности (4.4.33) случайной величины х(t0,t) позволяет найти ее математическое ожидание
Mz(t0,t) = t0 + ^-(t-t0)1~P;(t°^ (4.4.34)
К рЛ*О.О
и дисперсию
= (4.4.35)
Если счет будет открыт в момент времени хє [f0,?], то дальнейшие возможные варианты поведения вкладчика на промежутке времени [x,t] совпадают с уже изученными при анализе первой модели вариан-тами его поведения на промежутке времени [?„,?] (см. рис. 4.4.1,4.4.2). Поэтому случайный коэффициент a{i,t) изменения величины депо-зита на промежутке времени [т,?] определяется функцией распределения F(a -,a(x,t)), задаваемой формулой (4.4.23). Используем этот факт для нахождения распределения случайного коэффициента a(x,t) изменения к моменту времени t величины вклада, лежащего на счете, открытом в случайный момент времени хє [?0,?]. Функция распределения этого случайного коэффициента есть смесь
»
t
F(a ;й(х,0) = JF(a ;5(t,f)) /(x ;х(г0,0) dx (4.4.36)
функций распределения случайных коэффициентов a(i,t) , те [?„,?], в которой роль весовой функции играет плотность распределения случайного временц т(?0,?) открытия счета. Проведя ряд простых преобразований
Ma(x,t) = j a dF(a ;a(x,t)) = о
~ ft
= ja d JF(a ;a(x,t)) f(x;x(t0,t)) dx
О
г f= J/(t ;x(?0,?) J a dF(a ;a(x,?))
dx = і
(4.4.37)
= JMa(x;t) fix ;«(?„,?)) />и дисперсии
a2(t0,t) = Dx(t0,t) = Мх] ¦ ¦ M2A(t0,t) =
_ (p20 + a20)-X^gXt0,t) x X (p2+a2-l) + X+-X.
x [exp[(J-?0)(X (p2 +o2 -i)+X+-X.)]-l] \i20-Xl-q2+(t0,t) x (X (Pa-1)+X+-X.)2
х[ехр[(г-?0)(Я (ра-1)+Л+-А.)]-і]2. (4.4.48)
Полученное математическое ожидание р (?„,?) можно использовать в качестве искомой оценки величины вклада, лежащего к моменту времени t на счете потенциального вкладчика, еще не открывшего счет к моменту времениt0. Тогда стандартное отклонение o(t0,t) может служить мерой точности оценки р(t0,t). Если величине вклада потенциального вкладчика дается интервальная оценка вида x(tf>,t)e[x_,x+\, то достоверность такой оценки можно измерить вероятностью
P{x(t0,t)e [а,Ь]} = F(x+;x^,t))-F(x.;x(t0,t)). (4.4.49)
Итак, построены две стохастические модели поведения вкладчика: первая модель описывает случайную величину x0(t0,t) вклада, лежащего к моменту времени t на счете, реально открытом вкладом размера х0 > 0 к моменту времени t0t0) значения ро(?о,?)±0о(?о,?), р (f0,?) + a (t0,t) величин вкладов, лежащих на соответствующих счетах.
4.4.3. Модель поведения совокупности вкладчиков
Перейдем к рассмотрению стохастической динамики суммарной вели-чины вкладов. Пусть к моменту времени t0 открыто г0 счетов. Предполагается, что вкладчики, владеющие этими счетами, действуют взаимно независимо и поведение каждого из них описывается разработанной выше моделью (см. рис. 4.4.1) с одинаковыми для всех параметрами ЯД_,ра,ста. Пусть х— величина вклада, лежащего на г-м счете в момент t0. Тогда на этом счете к моменту времени t будет лежать, согласно нашей модели, вклад случайной величины • a,(?0,?)»
г = 1,..., г0. Случайные величины й((?0,?),..., aro(tg,t) предполагаются независимыми в совокупности и имеющими одно и то же распределение — распределение случайной величины a(t0,t) .
Обозначим через Х0 = х^ +... + х(0Го) сумму вкладов, лежащих на счетах, открытых к моменту времени ?0> а через X0(t0,t) = x§\t0,t)+ +... + x(0ro}(t0,t) — случайную сумму вкладов, лежащих на этих же счетах к моменту времени t. Оценим ожидаемое значение суммы вкладов X0(t0,t) математическим ожиданием
м 0(t0,t) = MX0(ta,t) = ?Мг«(ї0,г) =
і=1
= Х0 ехр[(г -10 )[Х (ца -1) - X. ]]. (4,4.50)
Тогда точность полученной оценки M0(?0,t) может быть измерена стандартным отклонением 20(?0,О случайной величины X0(t0,t), вычисляемым по формуле
Zjfo.t) = DX0(t0,t) = ^Dxl'\t0,t) = і=І
= J Daf(t0,t) = Da{t,,t)Jlxf J = -exp[2(i-i0)[X (ра-1)-Л_]]) 5[хотклонение
Z(t0,O = px(t0,t) = px0(t0,t)+DX+(t0,t) (4.4.66)
этой случайной величины можно использовать для оценки точности прогноза M(t0,t).
Безусловно, предложенные модели стохастической динамики вкладов являются весьма приблизительными и не отражают многих важных особенностей реального движения депозитных финансовых потоков. Однако, несмотря на это, они могут достаточно успешно применяться на практике за счет «настраивания» их многочисленных параметров на конкретные ситуации. Помимо этого идеи, заложенные в данных моделях, носят принципиальный характер и находят дальнейшее развитие в их более сложных модификациях.
Основные выводы
Приведем в обобщенном виде основные положения настоящей главы, которая была посвящена моделям, описывающим процессы стохастической динамики финансовых ресурсов и потоков в банке.
В общем случае процессы деятельности банка (финансовой фирмы) могут быть описаны либо с помощью траектории векторов, состояния банка
X(t) = (х,(?) Xj(t),...,x„(f)), tє T,
либо через задание векторного ресурсного потока х(?) = (х,(?),...,*,(?) ,...,хпт teT.
В условиях неопределенности моделью динамики состояния банка может служить векторный случайный процесс
m=(xl(t),..,xj(t),...,x„(t)),
t
где каждая компонента х;(?) определяет стохастическую динамику j-й характеристики (ресурса) банка.
Для построения прогнозов значений отдельных финансовых ресурсов, фигурирующих в деятельности банков, может быть ис-пользована мультипликативная стохастическая модель, в рамках которой переход объема ресурса, определяемого действительным ЧИСЛОМ Х;_, > 0 в момент времени t = і - 1, к ресурсу величиной х, > 0, соответствующему моменту времени ? = і, описывается со- » отношением
Xj — а,. * хм,
где а,- — некоторый коэффициент элементарного перехода. Особый интерес представляет случай, при котором все значения а, независимы и могут рассматриваться как реализации случайных величин а;, имеющих логарифмически нормальное распределение. ¦ Прогнозы значений финансовых ресурсов, полученные с помощью мультипликативной стохастической модели, сохраняют свою справедливость в случае неизменности условий, при которых они были построены. Оперативное выявление момента изменения условий («момента разладки») может быть осуществлено за счет процедур мониторинга среднего (на основе вычисления скользящей дроби Стьюдента) и дисперсии (на основе расчета скользящей F- дроби).
Для изучения влияния решений, принимаемых финансовой фирмой в области проводимой политики привлечения заемных ресурсов, на динамику ее развития (в частности, на динамику ее собственного капитала) могут достаточно эффективно применяться рекуррентные динамические модели, в основе которых лежит математический аппарат линейных разностных уравнений.
Для построения прогнозов ожидаемых значений объемов финансовых ресурсов депозитной природы, аккумулируемых на основе средств значительного числа вкладчиков (однотипных счетов), могут быть использованы стохастические модели банковских депозитов. В их основе лежат гипотезы о возможности описания процессов, ведущих к изменению количества счетов, и числа операций с ними с помощью случайных величин, распределенных по закону Пуассона, а коэффициентов относительного изменения счетов в ходе отдельной операции — с помощью случайных величин, имеющих логарифмически нормальное распределение. 1. Литература
Вишняков И. В. Экономико-математические модели оценки деятельности коммерческих банков. СПб, 1999.
Хованов Н. В. Математические модели риска и неопределенности. СПб, 1998.
<< | >>
Источник: Конюховский П. В.. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. 2001 {original}

Еще по теме 4.3. Рекуррентные модели динамики финансовых ресурсов:

  1. 6.3. Модель учета процесса приобретения (заготовления) ресурсов
  2. 1.5. Финансовые ресурсы
  3. 2.2. КРУГООБОРОТ ФИНАНСОВЫХ РЕСУРСОВ
  4. ГЛАВА 4. ФИНАНСОВЫЕ РЕСУРСЫ И ОСНОВНОЙ КАПИТАЛ КОРПОРАЦИИ
  5. 6.1 Базовая модель оценки финансовых ак-тивов
  6. 32. Уставный капитал и имущество предприятий. Финансовые ресурсы
  7. Глава 6. РОЛЬ И ЗАДАЧИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА В ПРИВЛЕЧЕНИИ РЕСУРСОВ
  8. 4.1. Финансовые ресурсы: источники образования и вложения в активы и пассивы.
  9. § 1. Источники финансовых ресурсов государственных и муниципальных предприятий
  10. 6.6. Модель учета процесса формирования и использования финансовых результатов
  11. 4.1. Бухгалтерская модель как способ оценки финансовой устойчивости организации
  12. Глава 22. Правовые основы планирования и использования финансовых ресурсов государственных и муниципальных предприятий
  13. 5.4. РАВНОВЕСИЕ И НЕРАВНОВЕСИЕ НА РЫНКЕ БЛАГ: ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ, МОДЕЛЬ «КРЕСТ КЕЙНСА»
  14. ГРУППОВАЯ ДИНАМИКА
  15. 3.3. Динамика потребностей
  16. Динамика затрат
  17. НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИК ТЕОРИЯ
  18. 2.5. Анализ динамики и структуры товарооборота