<<
>>

20-3. Выбор оптимального портфеля ценных бумаг агентом, не склонным к риску


Мы убедились, что существует множество различных финансовых активов, а инвесторам становится все проще выбирать их на фондовых рынках во всем мире. В этом разделе мы рассматриваем теоретические основы выбора портфеля ценных бумаг из всех доступных инвесторам активов.
При каких условиях инвесторы будут предъявлять спрос на различные виды активов? Какова связь между спросом на данный финансовый актив и связанными с ним риском и ожидаемой доходностью? Современная теория выбора портфеля предлагает некоторые подходы к решению этих важных вопросов.
Вначале предположим, что большинство инвесторов не склонны к риску, т.е. стремятся не только максимизировать ожидаемую доходность, но и уменьшить риск. Если агенты заботятся только об ожидаемой доходности своих портфелей и не беспокоятся о риске, то говорят, что они нейтральны к риску. Однако если бы большинство агентов на самом деле были нейтральны к риску, то люди не покупали бы страховок, а инвесторы не прилагали бы никаких усилий по диверсификации финансовых портфе-лей. Им достаточно было бы владеть лишь одним активом — тем, который обещает наибольшую ожидаемую доходность. Но поскольку агенты покупают страховки и предпринимают значительные усилия, диверсифицируя портфели, предположение о том, что инвесторы не склонны к риску, представляется обоснованным.
Если агенты не склонны к риску, они стремятся распределять свое богатство среди множества различных доступных активов . Основной афо- ризм теории портфеля для агентов, не склонных к риску, — "не кладите все яйца в одну корзину". В мире международных финансов это правило звучит так: "Не помещайте все ваше богатство в финансовые активы одной страны или только в одну валюту".
Формально, портфель — это набор активов, как финансовых (деньги, облигации, акции и т.п.), так и реальных (земля, золото, картины и т.п.). Портфельная теория начинается с утверждения, что владельцы богатства должны заботиться о характеристиках портфеля в целом, а не о некоторых отдельных его компонентах или о каком-либо одном активе. Актив, который рискован сам по себе, может оказаться абсолютно надежным в портфеле с другими активами, которые компенсируют его риск. Поэтому мы будем предполагать, что инвесторы интересуются двумя основными показателями рискованного портфеля: ожидаемой доходностью и риском, отражаемым дисперсией портфеля.
Основы теории выбора портфеля впервые были разработаны нобелевским лауреатом Гарри Марковицем в статье, опубликованной в начале 50-х годов . Ее наиболее важное положение заключается в том, что агенты стремятся достичь некоторой оптимальной комбинации риска и доходности портфелей. Для этого оптимальная инвестиционная стратегия должна предусматривать диверсификацию портфеля, т.е. владение портфелем, который объединял бы небольшие количества различных финансовых активов из их широкого набора.
Для того чтобы определить оптимальное поведение при формировании портфеля, нужно понять, как его риск и доходность зависят от риска и доходности входящих в него активов. Когда мы установим связь между характеристиками инвестиционного портфеля и всех его активов, мы сможем найти для него оптимальную структуру.
Ожидаемая доходность портфеля
Для определения ожидаемой доходности портфеля активов начнем с понятия ожидаемой доходности отдельного актива.
Предположим, что доходность долгосрочной облигации " Максукомпани" с вероятностью 50% составляет 10% и с вероятностью 50% — 20%. Ожидаемая доходность — это взвешенная средняя величина возможных доходов, где весами являются вероятности получения каждого из них В данном примере ожидаемая доходность равна 15%: 0,5(10%) + 0,5(20%). В общем случае, если доходность актива составляет г{ с вероятностью доходность г2 — с вероятностью р2, доходность /j — с вероятностью рг и т. д. вплоть до гп — с вероятностью рп, то ожидаемая доходность ге актива равна:
re = ptr{ + р2г2 + ръгъ + ... + р„г„ (20.1)
Вероятности в уравнении (20.1) должны в сумме давать единицу: рх + р2 + + р3 + ... +р„=1.
Пусть инвестор владеет портфелем с числом N различных активов. Предположим, что инвестор располагает определенным богатством W0, которое он инвестирует в п активов. Часть портфеля, инвестируемую в актив j, обозначим а., т.е. всего ву'-й актив инвестируется OJWQ. Так как доли всех активов должны в сумме давать единицу, мы имеем: д, + а2 + аъ + ... + ап = 1.
Рассчитаем теперь ожидаемую доходность всего портфеля, которую обозначим как гер. Определим сначала ожидаемые доходы каждого из N активов по только что полученной формуле. Обозначим их как г\, ге2, ..., геп для активов 1, 2, ..., п соответственно. Тогда ожидаемая доходность портфеля (гр рассчитывается как взвешенная средняя величина доходностей п активов, входящих в портфель, где веса — это доли портфеля, инвестированные в каждый из активов. Формально:
гр - а\г\ + а2г2 + - + аЛ ¦ (20.2)
Таким образом, ожидаемая доходность портфеля зависит как от доходно-сти каждого входящего в портфель актива, так и от долей богатства, инвестированных в эти активы.
Рассмотрим простой пример. Пусть имеются два актива, 1 и 2. Актив 1 имеет ожидаемую доходность 10%, а актив 2 — 20%. Если портфель поровну распределен между этими двумя активами, т.е. д, = д, = 0,5, то ожидаемая доходность портфеля равна 15%: 0,5(10%) + 0,5(20%). Если 75% средств инвестировано в актив 1 и 25% — в актив 2, то ожидаемая доходность равна 12,5%: 0,75(10%) + 0,25(20%).
Инвесторы основывают свои решения на ожидаемой доходности портфеля (гр, а фактические результаты вложения их средств зависят от действительной доходности. Пусть некто располагает богатством в размере JV0 и инвестирует его полностью в портфель, действительная доходность которого равна гр. Тогда конечный результат инвестирования составит W{ = = W0(l + г ). Очевидно, при данном W0 размер W{ зависит только от действительной доходности гр. Однако инвесторы не знают, какой будет величина гр, и должны основывать свои решения на информации, которую они имеют: ожидаемой доходности (гр и риске, к рассмотрению которого мы теперь переходим.
Портфельный риск
Рискованность портфеля можно измерять дисперсией доходности, которую он приносит. Вначале рассмотрим понятие дисперсии для отдельного актива. Допустим, инвестор сталкивается с двумя различными активами: акцией "Бэнк оф Пруденс", которая постоянно имеет доходность 8%, и акцией "Бэнк оф Джембл", которая в неудачные годы не приносит никакого дохода (отдача равна 0%), но дает огромные прибыли в удачные годы (доходность 16%). Ожидаемая доходность обеих акций 8%. Однако акция "Бэнк оф Пруденс" не содержит риска, в то время как акция "Бэнк оф Джембл" рискованна в том смысле, что ее доходность переменна.
Традиционно используемой статистической мерой риска является дисперсия а2. Формально дисперсия дохода от актива определяется как сумма квадратов отклонений от среднего дохода, где каждое отклонение имеет вес, равный вероятности получения данного конкретного дохода. Используя ранее введенные обозначения, предположим, что актив имеет доходности гр г2, ..., гп с вероятностями pv р2, ..., рп соответственно. Ожидаемая доходность рассчитывается по формуле (20.1), а дисперсия оп-ределяется так:
а2 - р,(г,-ге)2 + р2(г2-ге)2 + ... + р„(г„-ге)\ (20.3)
В нашем примере с двумя банками ожидаемая доходность равна 8% для обоих, но дисперсии различны. Для "Бэнк оф Пруденс" дисперсия равна 0% (8%—8%), т.е. этот актив не содержит в себе риска. Для "Бэнк оф Джембл" дисперсия составляет:
сг2 = 0,5(0,0 - 0,08)2 + 0,5(0,16 - 0,08)2 = 0,64.
Стандартное отклонение а — другая традиционная в портфельном анализе мера риска — равно квадратному корню из дисперсии. Оно будет равно нулю для первого актива и 0,8 — для второго.
Наш следующий шаг — вычисление дисперсии портфеля (сг2), основанной на дисперсиях входящих в портфель активов. Дисперсия портфеля не является простой средневзвешенной дисперсий его активов (как это было в случае ожидаемой доходности). Чтобы понять, почему это так, рассмотрим один пример.
Пусть инвестор имеет акции двух компаний, в каждую из которых инвестирована половина его богатства. Одна из фирм, "Рейнкотс анли- митед", действует в сфере дизайна и продажи плащей-дождевиков. Если год очень дождливый, что, по предположению, имеет место в половине случаев, то доходность акции этой компании составляет 25%; если год оказывается солнечным (другая половина случаев), то их доходность составляет лишь 5%. Вторая компания (по производству солнцезащитных очков), "Сангласиз лимитед", дает 25% дохода в солнечные годы и только 5%, если год необычайно дождлив. Ожидаемая доходность обеих компаний равна 15% в год, а дисперсия — 0,01 для той и другой компании". Значит ли это, что дисперсия портфеля инвестора также равна 1% (средневзвешенной двух соответствующих дисперсий)?
Ясно, что ответ будет отрицательным. В дождливые годы инвестор получает 25% дохода от акций "Рейнкотс анлимитед" и 5% — от акций "Сангласиз лимитед". Поскольку в каждый из активов он инвестирует половину своего богатства, доходность портфеля равна 15% [0,5(25%) + + 0,5(5%)]. В солнечные годы инвестор получает только 5% дохода от акций "Рейнкотс анлимитед" и 25% — от акций "Сангласиз лимитед". Таким образом, доходность портфеля опять равна 15%. Запомните этот важнейший результат. Объединяя активы, доходности которых реагируют на всевозможные события (в нпшем примере — солнечная и дождливая погода) прямо противоположным образом, инвестор может получить портфель с нулевой дисперсией, т.е. безрисковый портфель!
В таком случае мы говорим, что доходности отрицательно коррелиру- ются, так как для одного актива они имеют тенденцию подниматься выше среднего уровня, а для другого — снижаться ниже среднего уровня. Иными словами, доходности имеют отрицательную ковариацию; это понятие мы вскоре определим более точно.
Пусть теперь наш инвестор покупает акции "Рейнкотс анлимитед" в сочетании с акциями компании по производству зонтов "Амбреллас лимитед", которая также зарабатывает хорошо в дождливые годы (доходность 25%) и плохо — в солнечные годы (доходность 5%). Таким образом, компания по производству дождевиков и компания по производству зонтов имеют одинаковую структуру доходности. Если инвестор держит по половине своего богатства в каждой компании, ожидаемая доходность его портфеля равна 15%, но риск остается большим, так как риски обоих активов не компенсируют один другой. Дисперсия портфеля, состоящего из
"Ожидаемая доходность каждого актива равна 15% [0,5(25%)+0,5(5%)]. Дисперсия равна 0,01 = = 0,5(0,25 - 0,15) + 0,5(0,05 — 0,15)2.
двух таких активов, равна 0,01, что совпадает с дисперсией отдельного актива12. В этом случае мы говорим, что доходности двух активов положительно коррелированы, другими словами, они имеют положительную кова- риацию.
Теперь мы можем формально ввести понятие ковариации двух активов. Используя это определение, мы рассчитаем дисперсию целого портфеля как функцию дисперсий и ковариаций входящих в него активов. Рассмотрим два актива, 1 и 2, каждый из которых имеет определенную доходность, связанную с риском. Пусть с вероятностью р{ эти активы имеют доходности /•,, и г21, с вероятностью р2 — доходности г12 и г22 и т.д. Предположим, что имеется п различных возможных комбинаций исходов и п вероятностей, соответствующих этим исходам. Ожидаемые доходности активов рассчитываются обычным образом и обозначаются г\ и ге2 соответственно. Ковариация доходносгей двух активов обозначается как cov(/-1, г2) и рассчитывается следующим образом:
cov(r,,r2) - Pi(ru-r\)(rlx-r\) + P,(rxl-r\){r22-re2) +
(20.4)
+ - + Pn(r{„-r\)(r2„-r\) .
Когда доходности активов имеют тенденцию одновременно подниматься выше среднего уровня, ковариация положительна; если доходности активов независимы друг от друга, то ковариация равна нулю; если в то время как один из активов имеет доходность выше средней, а другой — ниже, ковариация отрицательна.
Мы можем показать теперь, каким образом дисперсия совокупного портфеля зависит от соответствующих характеристик риска активов, входящих в портфель. Рассматривая вначале портфель, состоящий лишь из двух активов, мы можем утверждать, что дисперсия портфеля рассчитывается по следующей формуле |3:
сг2 = fl|2u2 + а2а2 + 2afa2 cov(r{,r2). (20.5)
О чем говорит нам это выражение? Дисперсия портфеля есть взвешенная сумма дисперсий входящих в портфель активов плюс слагаемое, зависящее от ковариации активов. Если ковариация отрицательна, то это слагаемое уменьшает дисперсию совокупного портфеля. Риски таких активов, как правило, компенсируют друг друга, поскольку, когда доходность одно12Формула дисперсии дохода портфеля, содержащего два актива (I и 2), такова:
уаг(^) - var(a,r, + а2г2); использовав определение г, из уравнения (20.2), получимvar[гр) -атУаг(г,) t a^var(r2) + 2fl|fl;Cov(r1,r2),
іде cov(r,, r2) - ст12 = i^ujp,;, a p12 — корре.тяция между лоходпостями активоп I и 2.
" Мы можем измерил, дисперсию поріфс.ія также исходя ш определения дисперсии, использованного ранее. Если имеется q возможных значений доходности портфеля (в соответствии с возможными дохолностями входящих в портфель активов), обозначим вероятности получения различных доходов через р|, рг. ... pq. Определим ожидаемую доходность портфеля по формуле (20.2). Тогда дисперсия портфеля Судет определяться так:
= Pi(rpi rP- г П*Гг - V1 +
(20.5а)
го высока, доходность другого низка. Если ковариация положительна, последнее слагаемое увеличивает дисперсию совокупного портфеля.
Мы можем также привести (без доказательства) более общее выражение для дисперсии портфеля, состоящего из п активов:
2 2 2 2 2 2 2 °Р т а\а\ + а2°2 + ¦¦¦ + ап°п +
+ 2e,e2cov(r,,r2) + 2й[й3 cov(/-,,/-3) + ... + 2ala„cm(rvrn) +
(ZU.o)
+ 2а2аъ со\(г2,гъ) + 2д2д4 cov(/-2,/-4) + ... + 2a2a„cov(r2,r„) + + ... + 2an_la„cov(rn_l,r„) .
Ожидаемая полезность как функция риска и доходности
Основная проблема для владельцев богатства состоит в том, как распределить его между п активами так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность, т. е. как выбрать доли портфеля av а2, аъ,..., ап. Портфельная теория предполагает, что владельцы богатства стремятся максимизировать свою ожидаемую полезность (Vе), которая, в свою очередь, зависит от ожидаемой доходности портфеля (гр и от его риска, измеряемого через стандартное отклонение ор (напомним, что стандартное отклонение портфеля есть квадратный корень из его дисперсии). Таким образом, мы можем записать:
V - Г(г'Р,°Р). (20.7)
+ Уравнение (20.7) говорит о том, что ожидаемая инвесторами полезность возрастает с увеличением ожидаемой доходности портфеля и уменьшается, когда доходность становится более изменчивой, т.е. когда о возрастает.
Мы можем изобразить карту кривых безразличия, связывающих доходность со стандартным отклонением (рис. 20-1). Как обычно, кривая безразличия соединяет все точки, соответствующие одному уровню благосостояния, или полезности. В данном случае кривые безразличия соединяют все точки одинакового уровня ожидаемой полезности. Кривые безразличия имеют положительный наклон, так как риск, представленный стандартным отклонением, уменьшает полезность, в то время как более высокая ожидаемая доходность увеличивает полезность. Двигаясь от точки А к точке В, инвестор остается на одном уровне благосостояния, компенсируя более высокий риск большей ожидаемой доходностью. Уровень полезности увеличивается с ростом ожидаемой доходности при неизменном риске или с уменьшением риска при неизменной ожидаемой доходности. Таким образом, на рис. 20-1 расположенная выше кривая безразличия ассоциируется с более высоким уровнем полезности.
Состав портфеля
Предпочтения инвесторов являются лишь одной стороной проблемы выбора портфеля. Другая сторона — это доступные им возможности выбора. В принципе инвесторы могут выбирать среди всех существующих активов и составлять любые возможные портфели из любого числа акций, представляющих эти активы. Таким образом, каждый актив или каждое сочетание активов в некотором портфеле могут быть представлены одной точкой в координатах "риск — доходность". Другими словами, мы можем характери
Рис. 20-1
Карта безразличия не склонного к риску инвестора
зовать любой портфель определенным сочетанием ожидаемой доходности и стандартного отклонения.
Предположим, что портфель может быть составлен из двух активов, представленных точками 1 и 2 на рис. 20-2а. Каждая точка характеризует риск и доходность отдельного актива. В соответствии с рисунком актив 1 имеет более высокую доходность, чем актив 2, но стандартные отклонения активов одинаковы. Комбинированием двух активов в одном портфеле могут быть созданы новые сочетания доходности и риска. Рассматривая все значения ах и а2 (доли богатства, вложенные в активы 1 и 2 соответственно) и используя формулы для расчета доходности и риска портфеля, мы можем определить все сочетания риска и доходности, которые могут быть достигнуты комбинированием двух активов в различных пропорциях . Если доходности двух активов независимы друг от друга (т.е. имеют кова- риацию, равную 0), то портфели, составленные из этих активов, дают сочетания, показанные на рис. 20-26. Если активы отрицательно коррелиру- ются (с коэффициентом —1), то результат оказывается таким, как показано на рис. 20-2в двумя соединяющимися прямыми. Заметьте, что в точке 3 на этом рисунке половина портфеля инвестирована в актив 1, а половина—в актив 2 и весь риск при этом элиминируется.

і
(а)
С
(б)
Рис. 20-2
Возможные составы портфеля из двух активов
Набор всевозможных портфелей, которые можно сформировать сочетанием активов 1 и 2, имеет замысловатое название — допустимое множество портфелей. Оно объединяет все комбинации риска и доходности, которые могут быть получены выбором различных портфелей. Конечно, на практике инвесторы стремятся сосредоточить свое внимание на некотором важном подмножестве множества допустимых портфелей, а именно на множестве эффективных портфелей. В каждом из двух случаев, показанных на рис. 20-2, жирной линией выделена верхняя часть кривой портфеля. Она показывает допустимые портфели, являющиеся одновременно эффективными в том смысле, что они дают максимальную доходность при данном риске или минимальный риск при фиксированной доходности. Инвесторы всегда стремятся формировать эффективные портфели, с тем чтобы максимизировать ожидаемую доходность. Например, как следует из рис. 20-2в, инвестор никогда не остановит свой выбор на портфеле В (включающем 25% актива 1 и 75% актива 2), так как портфель С (включающий 75% актива 1 и 25% актива 2) также является доступным. Портфель С имеет тот же риск, но более высокую доходность по сравнению с портфелем В. В отличие от портфеля В портфель С является эффективным портфелем (так как нет способа получить более высокую доходность, не увеличивая при этом риск). На рис. 20-26 множество эффективных портфелей лежит на кривой, соединяющей точки А и 1, а на рис. 20-2в — на прямой, соединяющей точки 1 и 3.
Выбор оптимального портфеля
Разумный инвестор, очевидно, будет выбирать портфель из множества эф-фективных портфелей, но какой именно? Для нахождения оптимального среди всех эффективных портфелей необходимо вернуться к кривым безразличия на рис. 20-1. Рассмотрим случай, когда два актива независимы, как показано на рис. 20-26. Он воспроизведен в увеличенном размере на рис. 20-3 вместе с кривыми безразличия.
Как обычно, инвестор будет стремиться выбрать такой портфель, который позволит ему достичь наивысшей кривой безразличия. Ясно также, что его выбор будет ограничен множеством эффективных портфелей. Портфельное равновесие достигается в точке касания множества эффективных портфелей (кривая от А до 1) и наивысшей кривой безразличия. На рис. 20-3 равновесие достигается в точке Е, в которой кривая безразличия U\ касается эффективного набора. Заметьте, что точка Е соответствует портфелю, состоящему из обоих активов, что верно в общем случае. Конечно, инвестор хотел бы достичь уровня полезности ?/|, но это невозможно, так как нет портфеля, который имел бы столь благоприятную ком-бинацию риска и доходности.
С помощью алгебраических преобразований этот анализ можно рас-пространить и на случай с несколькими активами. На рис. 20-4 показано 5 активов, обозначенных точками от 1 до 5. Комбинируя эти точки, мы можем найти множество доступных портфелей, которое изображено областью, ограниченной кривой от С до 5. Множество эффективных портфелей, как и раньше, находится на верхней границе этой области между точками А и С. Портфельное равновесие вновь достигается в точке Е, где кривая безразличия касается множества эффективных портфелей. В общем случае точка Е соответствует портфелю, включающему большинство или все пять существующих активов.
Некоторые характеристики оптимального портфеля
Вернемся к равновесию на рис. 20-3. Инвестор, стремясь к оптимизации, включает в свой портфель актив 2, хотя этот актив имеет меньшую доход-
1
Рис. 20-3
о
Допустимый набор, эффективный набор и портфельное равновесие U•
Рис. 20-4
о
Портфельное равновесие в случае нескольких активов ность по сравнению с активом 1. Делая это, он жертвует частью ожидаемой доходности, чтобы получить более безопасный портфель. Если инвестор нейтрален к риску, то он будет включать в портфель лишь актив 1, достигая тем самым максимума ожидаемой доходности. Вообще говоря, мотив диверсификации побуждает людей включать в портфель большинство-или все доступные активы, хотя бы и в небольших количествах. Двумя исключениями из этого общего принципа являются: 1) случай, когда один актив полностью коррелируется с другим (или группой активов), а поэтому включение этого актива в портфель не уменьшает совокупного риска; 2) случай, когда трансакционные издержки делают слишком дорогим делом включение в портфель слишком маленьких долей большого числа активов.
Чем будет жертвовать инвестор ради включения в свой портфель одного актива? Это зависит от двух факторов. Конечно же, первый — это его отношение к риску. Если он почти нейтрален к риску, тогда при прочих равных условиях он не будет включать в свой портфель большое число активов с низкой доходностью. Вторым фактором является то, в какой степе-ни этот отдельный актив уменьшает риск совокупного портфеля. Однако зависит это не только — и на самом деле не в основном — от рисковости самого актива, а от ковариации этого актива с другими активами в портфеле. Эффективные портфели имеют одну важную характеристику: они включают активы с низкой ожидаемой доходностью, но лишь в том случае, если имеют сильную отрицательную корреляцию с остальной частью портфеля.
<< | >>
Источник: Сакс Дж.Д., Ларрен Ф.Б.. MACROECONOMICS IN THE GLOBAL ECONOMY, Макроэкономика. Глобальный подход. 1996

Еще по теме 20-3. Выбор оптимального портфеля ценных бумаг агентом, не склонным к риску:

  1. 87. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  2. ?.?. ????????, ?93 ?.?. ??????. ????? ?????? ?????, 2006
  3. 43. ЭМИССИЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  4. Шпаргалка по рынку ценных бумаг
  5. 29. ПЕРВИЧНЫЙ РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ
  6. Осуществление эмиссии ценных бумаг
  7. 3.3. ЗАЛОГ ПРАВ И ЦЕННЫХ БУМАГ
  8. 23.2. Понятие и виды ценных бумаг
  9. 23.1. Понятие и субъекты рынка ценных бумаг
  10. 45. ДЕПОЗИТАРНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ НА РЫНКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ
  11. 51.1. СТРУКТУРА РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ
  12. 5. ВИДЫ ЦЕННЫХ БУМАГ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
  13. 23.3. Инфраструктура рынка ценных бумаг
  14. 28. МЕТОДЫ РАЗМЕЩЕНИЯ ЦЕННЫХ БУМАГ